湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·临澧月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由，
得，
又因为函数在上单调递增，
所以，
解得，
则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数型函数的定义域和对数函数的单调性，从而解出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高三上·临澧月考）双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：在双曲线中，，
得，
则渐近线方程为，
所以.
则.
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的渐近线方程为结合已知条件，从而求出的值，进而得出的值.
3．（2025高三上·临澧月考）正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：作出示意图，如图所示：
第一个正方形是，记为，
由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，
所以正方形的面积为，记为，
依次类推，可得第三个正方形的面积为，记为，
可得第个正方形的面积为，
所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，
则前11个正方形的面积和为.
故答案为：D.
【分析】由平面几何知识和已知条件以及等比数列的定义，可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的前项和公式得出前11个正方形的面积和.
4．（2025高三上·临澧月考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的概念，从而得出复数.
5．（2025高三上·临澧月考）若函数 是奇函数，则 =（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
6．（2025高三上·临澧月考）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，
由分步乘法计数原理，共有种涂法.
故答案为：D.
【分析】先涂C区域，再涂D区域，涂A区域，涂B区域，再根据分步乘法计数原理，从而可得不同的涂色方法种数.
7．（2025高三上·临澧月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
8．（2025高三上·临澧月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，令，
则，，
所以，
则①，
由，令，
则，
由，
则，
所以，
整理得，
由，
则，
所以，
整理得，
所以，
整理得②，
联立①②，得，，
则，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】令，，利用三角函数定义得出，，，再结合椭圆的定义和勾股定理，从而得出、，联立方程组和同角三角函数基本关系式，从而得出椭圆E的离心率.
9．（2025高三上·临澧月考）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若的值为3，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
所以的值为，故A正确；
对于B：由，可得，
因为，
所以，
则，故B正确；
对于C：当时，，
因为，所以，
所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，
则，
所以，
则，
解得，
当时，，，，，
，，
所以；
当时，，，，，
所以，，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合向量平行的坐标表示，从而列方程求出的值，则判断出选项A；先求出向量的坐标表示，再结合向量的模的坐标表示求出的值，则判断出选项B；结合向量共线定理，举反例判断出选项C；利用已知条件和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数的值，再利用分类讨论的方法得出，，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高三上·临澧月考）设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则
B．若，则A，B相互独立
C．若A，B互斥，则A，B相互独立
D．与相等
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，
则，故A正确；
对于B：由相互独立事件的概念知，
若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；
对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，
例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，
事件与事件互斥，但，，
所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；
对于D：，
，
所以与相等，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用互斥事件加法概率公式，则可判断选项A；由相互独立事件的概念可判断选项B；由互斥事件和相互独立事件的概念，则可判断选项C；由条件概率公式化简，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2025高三上·临澧月考）在中，，，D为边BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．最大时，
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
，
，
则保存进入下一题，
整理得，
，
，
，
则.
对于A，，，
，
，
，
，
，
，不能确定，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，设，在中，，，
由余弦定理，知，
在中，，，
由余弦定理，知，
，
整理得，
在三角形中，两边之和大于第三边，
，
，
，
，故C正确；
对于D，在中，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
的最小值为，
，
，
的最大值为；此时不妨设，则，
又因为，D为边BC的中点，
所以，
，
，
为边BC的中点，
，
又因为，
所以是边长为2的正三角形，
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先将已知条件变形化简得出，则可得，利用三角形内角和定理判断出选项A；利用可判断选项B；分别在和中利用余弦定理，再利用两边之和大于第三边的性质求解，则判断出选项C；在中利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，再利用三角形的面积公式，从而得出当最大时的 的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高三上·临澧月考）在的展开式中含的项的系数为 ．
【答案】40
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由知，，
令，.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项公式，从而求出第项，再令的指数为2得出在的展开式中含的项的系数.
13．（2025高三上·临澧月考）已知数列满足若，表示的前n项和，则 .
【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
，，，，
可见4是数列的一个周期，且，
则.
故答案为：.
【分析】通过代入值发现数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出该数列的前2025项和.
14．（2025高三上·临澧月考）在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则 ．
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量共线（平行）的坐标表示；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作AP的平行线为轴，BC，BA分别为x，y轴，如图建系：
令，
则，，，，，
因为E，F，G分别在PB，PC，PD上，
令，，，
，，，
则，，
因为，
，
，
因为，，，
，
，
则.
故答案为：.
【分析】过点作AP的平行线为轴，BC，BA分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示和向量相等的坐标表示，从而得出，，再利用求解得出t的值，从而得出PA的长.
15．（2025高三上·临澧月考）已知数列{an}，其前n项和记为Sn，满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）解：由题意，，
，
是等差数列，且公差，
又，
，
，
则.
（2）解：，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据和已知关系式，再利用等差数列的定义，从而得出该数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出和的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式.
（2）利用数列{an}的通项公式得出数列{bn}的通项公式，再利用裂项相消法得出数列{bn}的前n项和Tn.
（1）解：由题意得：
是等差数列，且公差
又
，即
（2）
16．（2025高三上·临澧月考）如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足．
（1）证明：平面；
（2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
由中位线定理，可得：，
又因为，
由，
所以，
则，
所以四边形为平行四边形，
则，
又因为不在平面内，在平面内，
所以平面.
（2）解：因为平面，都在平面内，又因为，
所以，两两垂直，如图建系：
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
设，可得，
所以，
设直线BC与平面所成角为，
则，
所以，直线BC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理和向量共线定理，从而得出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行.
（2）利用线面垂直和线线垂直建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线BC与平面所成角的正弦值.
（1）取的中点，连接，
由中位线可得：，
又，由，
所以，
所以，
即四边形为平行四边形，
所以，
又不在平面内，在平面内，
所以平面；
（2）因为平面，都在平面内，
又，
所以可得：两两垂直，如图建系：
则，
，
设平面的法向量为，
则，
设，可得，
所以，
设直线BC与平面所成角为，
，
即直线BC与平面所成角的正弦值为.
17．（2025高三上·临澧月考）电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
（1）求n的值；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整）
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
若，则．
【答案】（1）解：列联表如下：
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
，由，解得，
因为，所以；
（2）解：由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
；
（3）解：（i），那么，则该同学能被评为“反诈标兵”，
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，
“反诈达人”的概率为，
则，解得，即参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据被调查的男女生人数均为，完成列联表，代入公式计算，解不等式即可；
（2）由题意可知，随机变量服从，根据二项分布列的分布列，求数学期望即可；
（3）（i）根据全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，求出，即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，根据正态分布求出“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数．
（1）由已知，完成列联表，
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
，
根据条件，可得，解得，
因为，所以．
（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以．
（3）（i），那么，
则该同学能被评为“反诈标兵”．
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，
“反诈达人”的概率为，
则，解得，
所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
18．（2025高三上·临澧月考）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
（1）求的方程；
（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，可知，
解得，，
又因为，
所以椭圆方程为.
（2）解：由（1）知，设，则的中点为.
①当时，的垂直平分线方程为，此时，
则或，
所以或；
当时，的垂直平分线方程为：，
由，
消得：
，
整理得：，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则
所以，
整理得，
则，
因为，
所以，
又因为，也满足该式，
所以，点的方程为，
则．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，
且圆心为椭圆左焦点，
易知点在圆内，
则，
由椭圆的性质知，，
得到，
则所求线段长度的取值范围是.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的离心率公式、椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3，从而建立方程组求解求出的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接得出或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线方程与椭圆方程，再结合已知条件和直线与椭圆的位置关系，从而得出，再化简求解得出动点的轨迹方程.
②利用点恰为圆心结合圆的性质，则，再求出的取值范围，从而得出线段的长度的取值范围．
（1）由题可知，，解得，，
又，所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，设，则的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，则或；即或
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则，
即，
整理得，
即，
因为，所以，
而，也满足该式，
故点的方程为，即．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，则，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段MQ长度的取值范围是
19．（2025高三上·临澧月考）已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，的定义域为，
当时，，
所以，
则，
因为，
所以，在处的切线方程为，即.
（2）解：且，
则，
当时，即当时，，
则在上单调递减，
当时，即当时，
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：因为方程有两个不同实根，
等价于方程有两个不同实根，
设且，
则且，
当时，则当时，；当时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，，
则，使，
在上，；在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又因为，
设，
则，
所以在上单调递减，
则，，
，
又因为，
所以在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，且在上，；在上，，
在上单调递减，在上单调递增，且，
只有一个零点，不符合题意；
当时，，，
则，使，
在上，单调递减；在上，单调递增，
，，
当时，在上单调递增，
因为，，
所以，
在上存在一个零点，
又因为，
时有两个零点，符合题意；
综上所述，当方程有两个不同实根时，或．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式得出函数在处的切线方程.
（2）对函数求导，再利用分类讨论和对应导数的区间符号判断函数的单调性.
（3）利用已知条件，将问题化为方程有两个不同实根，再构造结合导数分类讨论研究函数的零点个数，从而确定实数a的取值范围.
（1）由题意，的定义域为，当时，
所以，则，又，
所以在处的切线方程为，即；
（2）且，则，
当，即时，，则在上单调递减，
当，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，时在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根，
设且，则且，
当时，时，时，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合；
当时，在上单调递增，
当时，，，即使，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，又，
设，则，
所以在上单调递减，则，，
，又，则在上和上各有一个零点，符合；
当时，，且在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，且，
只有一个零点，不符合；
当时，，，即使，
在上，单调递减，在上，单调递增，
，，
又时，在上单调递增，
又，，所以，
在上存在一个零点，又，
时有两个零点，符合；
综上，方程有两个不同实根时，或．
1 / 1湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·临澧月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·临澧月考）双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2025高三上·临澧月考）正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·临澧月考）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·临澧月考）若函数 是奇函数，则 =（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．（2025高三上·临澧月考）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
7．（2025高三上·临澧月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．9
8．（2025高三上·临澧月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·临澧月考）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若的值为3，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．（2025高三上·临澧月考）设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则
B．若，则A，B相互独立
C．若A，B互斥，则A，B相互独立
D．与相等
11．（2025高三上·临澧月考）在中，，，D为边BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．最大时，
12．（2025高三上·临澧月考）在的展开式中含的项的系数为 ．
13．（2025高三上·临澧月考）已知数列满足若，表示的前n项和，则 .
14．（2025高三上·临澧月考）在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则 ．
15．（2025高三上·临澧月考）已知数列{an}，其前n项和记为Sn，满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．（2025高三上·临澧月考）如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足．
（1）证明：平面；
（2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2025高三上·临澧月考）电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
（1）求n的值；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．（四舍五入后取整）
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
若，则．
18．（2025高三上·临澧月考）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
（1）求的方程；
（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
19．（2025高三上·临澧月考）已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由，
得，
又因为函数在上单调递增，
所以，
解得，
则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数型函数的定义域和对数函数的单调性，从而解出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：在双曲线中，，
得，
则渐近线方程为，
所以.
则.
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的渐近线方程为结合已知条件，从而求出的值，进而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：作出示意图，如图所示：
第一个正方形是，记为，
由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，
所以正方形的面积为，记为，
依次类推，可得第三个正方形的面积为，记为，
可得第个正方形的面积为，
所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，
则前11个正方形的面积和为.
故答案为：D.
【分析】由平面几何知识和已知条件以及等比数列的定义，可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的前项和公式得出前11个正方形的面积和.
4．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的概念，从而得出复数.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，
由分步乘法计数原理，共有种涂法.
故答案为：D.
【分析】先涂C区域，再涂D区域，涂A区域，涂B区域，再根据分步乘法计数原理，从而可得不同的涂色方法种数.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
8．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，令，
则，，
所以，
则①，
由，令，
则，
由，
则，
所以，
整理得，
由，
则，
所以，
整理得，
所以，
整理得②，
联立①②，得，，
则，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】令，，利用三角函数定义得出，，，再结合椭圆的定义和勾股定理，从而得出、，联立方程组和同角三角函数基本关系式，从而得出椭圆E的离心率.
9．【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
所以的值为，故A正确；
对于B：由，可得，
因为，
所以，
则，故B正确；
对于C：当时，，
因为，所以，
所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，
则，
所以，
则，
解得，
当时，，，，，
，，
所以；
当时，，，，，
所以，，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合向量平行的坐标表示，从而列方程求出的值，则判断出选项A；先求出向量的坐标表示，再结合向量的模的坐标表示求出的值，则判断出选项B；结合向量共线定理，举反例判断出选项C；利用已知条件和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数的值，再利用分类讨论的方法得出，，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，
则，故A正确；
对于B：由相互独立事件的概念知，
若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；
对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，
例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，
事件与事件互斥，但，，
所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；
对于D：，
，
所以与相等，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用互斥事件加法概率公式，则可判断选项A；由相互独立事件的概念可判断选项B；由互斥事件和相互独立事件的概念，则可判断选项C；由条件概率公式化简，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
，
，
则保存进入下一题，
整理得，
，
，
，
则.
对于A，，，
，
，
，
，
，
，不能确定，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，设，在中，，，
由余弦定理，知，
在中，，，
由余弦定理，知，
，
整理得，
在三角形中，两边之和大于第三边，
，
，
，
，故C正确；
对于D，在中，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
的最小值为，
，
，
的最大值为；此时不妨设，则，
又因为，D为边BC的中点，
所以，
，
，
为边BC的中点，
，
又因为，
所以是边长为2的正三角形，
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先将已知条件变形化简得出，则可得，利用三角形内角和定理判断出选项A；利用可判断选项B；分别在和中利用余弦定理，再利用两边之和大于第三边的性质求解，则判断出选项C；在中利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，再利用三角形的面积公式，从而得出当最大时的 的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】40
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由知，，
令，.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项公式，从而求出第项，再令的指数为2得出在的展开式中含的项的系数.
13．【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
，，，，
可见4是数列的一个周期，且，
则.
故答案为：.
【分析】通过代入值发现数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出该数列的前2025项和.
14．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量共线（平行）的坐标表示；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作AP的平行线为轴，BC，BA分别为x，y轴，如图建系：
令，
则，，，，，
因为E，F，G分别在PB，PC，PD上，
令，，，
，，，
则，，
因为，
，
，
因为，，，
，
，
则.
故答案为：.
【分析】过点作AP的平行线为轴，BC，BA分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示和向量相等的坐标表示，从而得出，，再利用求解得出t的值，从而得出PA的长.
15．【答案】（1）解：由题意，，
，
是等差数列，且公差，
又，
，
，
则.
（2）解：，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据和已知关系式，再利用等差数列的定义，从而得出该数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出和的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式.
（2）利用数列{an}的通项公式得出数列{bn}的通项公式，再利用裂项相消法得出数列{bn}的前n项和Tn.
（1）解：由题意得：
是等差数列，且公差
又
，即
（2）
16．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
由中位线定理，可得：，
又因为，
由，
所以，
则，
所以四边形为平行四边形，
则，
又因为不在平面内，在平面内，
所以平面.
（2）解：因为平面，都在平面内，又因为，
所以，两两垂直，如图建系：
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
设，可得，
所以，
设直线BC与平面所成角为，
则，
所以，直线BC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理和向量共线定理，从而得出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行.
（2）利用线面垂直和线线垂直建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线BC与平面所成角的正弦值.
（1）取的中点，连接，
由中位线可得：，
又，由，
所以，
所以，
即四边形为平行四边形，
所以，
又不在平面内，在平面内，
所以平面；
（2）因为平面，都在平面内，
又，
所以可得：两两垂直，如图建系：
则，
，
设平面的法向量为，
则，
设，可得，
所以，
设直线BC与平面所成角为，
，
即直线BC与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：列联表如下：
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
，由，解得，
因为，所以；
（2）解：由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
；
（3）解：（i），那么，则该同学能被评为“反诈标兵”，
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，
“反诈达人”的概率为，
则，解得，即参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据被调查的男女生人数均为，完成列联表，代入公式计算，解不等式即可；
（2）由题意可知，随机变量服从，根据二项分布列的分布列，求数学期望即可；
（3）（i）根据全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，求出，即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，根据正态分布求出“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数．
（1）由已知，完成列联表，
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
，
根据条件，可得，解得，
因为，所以．
（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
对“反诈”知识了解的概率为，则，
，
，
，
，
，
．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以．
（3）（i），那么，
则该同学能被评为“反诈标兵”．
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，
“反诈达人”的概率为，
则，解得，
所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
18．【答案】（1）解：由题意，可知，
解得，，
又因为，
所以椭圆方程为.
（2）解：由（1）知，设，则的中点为.
①当时，的垂直平分线方程为，此时，
则或，
所以或；
当时，的垂直平分线方程为：，
由，
消得：
，
整理得：，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则
所以，
整理得，
则，
因为，
所以，
又因为，也满足该式，
所以，点的方程为，
则．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，
且圆心为椭圆左焦点，
易知点在圆内，
则，
由椭圆的性质知，，
得到，
则所求线段长度的取值范围是.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的离心率公式、椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3，从而建立方程组求解求出的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接得出或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线方程与椭圆方程，再结合已知条件和直线与椭圆的位置关系，从而得出，再化简求解得出动点的轨迹方程.
②利用点恰为圆心结合圆的性质，则，再求出的取值范围，从而得出线段的长度的取值范围．
（1）由题可知，，解得，，
又，所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，设，则的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，则或；即或
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则，
即，
整理得，
即，
因为，所以，
而，也满足该式，
故点的方程为，即．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，则，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段MQ长度的取值范围是
19．【答案】（1）解：由题意，的定义域为，
当时，，
所以，
则，
因为，
所以，在处的切线方程为，即.
（2）解：且，
则，
当时，即当时，，
则在上单调递减，
当时，即当时，
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：因为方程有两个不同实根，
等价于方程有两个不同实根，
设且，
则且，
当时，则当时，；当时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，，
则，使，
在上，；在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又因为，
设，
则，
所以在上单调递减，
则，，
，
又因为，
所以在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，且在上，；在上，，
在上单调递减，在上单调递增，且，
只有一个零点，不符合题意；
当时，，，
则，使，
在上，单调递减；在上，单调递增，
，，
当时，在上单调递增，
因为，，
所以，
在上存在一个零点，
又因为，
时有两个零点，符合题意；
综上所述，当方程有两个不同实根时，或．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式得出函数在处的切线方程.
（2）对函数求导，再利用分类讨论和对应导数的区间符号判断函数的单调性.
（3）利用已知条件，将问题化为方程有两个不同实根，再构造结合导数分类讨论研究函数的零点个数，从而确定实数a的取值范围.
（1）由题意，的定义域为，当时，
所以，则，又，
所以在处的切线方程为，即；
（2）且，则，
当，即时，，则在上单调递减，
当，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，时在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根，
设且，则且，
当时，时，时，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合；
当时，在上单调递增，
当时，，，即使，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，又，
设，则，
所以在上单调递减，则，，
，又，则在上和上各有一个零点，符合；
当时，，且在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，且，
只有一个零点，不符合；
当时，，，即使，
在上，单调递减，在上，单调递增，
，，
又时，在上单调递增，
又，，所以，
在上存在一个零点，又，
时有两个零点，符合；
综上，方程有两个不同实根时，或．
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