浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·上虞月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面的对称点．
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性判断即可.
2．（2025高二上·上虞月考）直线l： x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．90°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线l： x+y﹣3＝0的倾斜角为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：C。
【分析】将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
3．（2025高二上·上虞月考）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：易知，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得，
则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量加法先求，再根据向量共线定理可得，列方程组求解即可.
4．（2025高二上·上虞月考）过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线过点和，所以直线的截距式方程为，
整理得，即直线的一般式方程为.
故答案为：C.
【分析】先求直线的截距式方程，再化截距式为一般式方程即可.
5．（2025高二上·上虞月考）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义直接求解即可.
6．（2025高二上·上虞月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，
由图可知：当直线与线段相交时，，，
则斜率取值范围是或，即.
故答案为：D.
【分析】作出图形，利用斜率公式先求直线的斜率，再数形结合求解即可.
7．（2025高二上·上虞月考）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设，，
，，
则
，
当时，取得最小值.
故答案为：C．
【分析】设，利用向量的线性坐标运算求、的坐标，再利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质化简求解即可.
8．（2025高二上·上虞月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，直线方程为，
的重心为，即，
设，关于直线对称点为，则，
解得，则，
易知关于轴的对称点为，
根据光线反射原理知四点共线，且，，
直线的方程为，即，
又因为直线过，所以，解得或（舍去），
所以，，，，
故的周长为.
故答案为：A．
【分析】 以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，再计算即可得的周长．
9．（2025高二上·上虞月考）已知直线：，直线：，则（ ）
A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．若，则或
【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；两条直线的交点坐标；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、当时，直线：，直线：，
联立，解得，则两直线的交点为，故A正确；
B、直线为，令，解得，则直线恒过点，故B错误；
C、若，则，解得，故C正确；
D、若，则，解得或，
当时，直线：，直线：两直线重合，不符合题意，舍去，
当时，直线：，直线：，两直线平行，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】将代入，联立直线方程求交点即可判断A；求出直线过定点坐标即可判断B；根据两直线垂直、平行（注意检验）求出参数即可判断CD.
10．（2025高二上·上虞月考）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、易知，
则
，
即，故A正确；
B、，且，
，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为 ，故B错误；
C、，，
则
，即，故C正确；
D、由，可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】用基底 表示，根据向量的数量积运算即可判断A；表示，并求模，再根据向量的数量积运算求，结合向量的夹角公式求解即可判断B；根据向量的数量积运算求和即可判断CD.
11．（2025高二上·上虞月考）定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
【答案】B,C,D
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
A、若，则，
整理可得，
则直线的方程为：，
因为，所以直线与直线平行，故A正确；
B、设直线，取，
则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误；
C、由B选项可得：也成立，故C错误；
D、直线，取，，成立，此时与直线重合，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】设，若，根据有向距离的定义列式化简求得直线的方程，即可判断A；举反例即可判断BCD.
12．（2025高二上·上虞月考）已知，，且，则
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2025高二上·上虞月考）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为 .
【答案】或
【知识点】直线的倾斜角；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
直线与间的距离，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以，即，
又因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°，
则直线m的倾斜角可以是或.
故答案为：或.
【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，利用两平行直线的距离公式求直线之间的距离，结合直线m被平行线截得的线段长，求得，即，再根据直线的斜率求得倾斜角为30°，从而求直线m的倾斜角.
14．（2025高二上·上虞月考）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为共面，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，用为基底表示向量，再利用向量共面基本定理求解即可.
15．（2025高二上·上虞月考）中，顶点，，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
【答案】（1）解：点，，则直线的斜率，
所在直线的方程为，即；
（2）解：点，，则的中点坐标，即，
由（1）可得边的垂直平分线的斜率，
则边上垂直平分线所在直线的方程为，即.
【知识点】斜率的计算公式；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用斜率计算公式求直线的斜率，再根据直线的点斜式求解即可；
（2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，结合直线垂直的斜率关系与点斜式求解即可.
（1）因为，，故的斜率，
故所在直线的方程为，即.
（2）因为，，故的中点坐标，即.
垂直平分线的斜率，
故边上垂直平分线所在直线的方程为，即.
16．（2025高二上·上虞月考）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
（1）用表示，并求EF的长；
（2）求与夹角的大小．
【答案】（1）解：因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
所以
，
又因为正四面体ABCD的棱长为1，所以，且，
则
，
即，故EF的长为；
（2）解：由题意得
，
则，
即，即与的夹角为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）由题意，结合空间向量的线性运算用表示，再根据向量的数量积运算求即可求得的长；
（2） 由题意，结合空间向量的线性运算用表示 ，再根据向量的数量积运算可得，即可求与夹角的大小.
（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
可得
，
因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且，
可得
，
即，所以EF的长为.
（2）由题意得
，
因此
，
即，即与的夹角为.
17．（2025高二上·上虞月考）已知空间中三点，，．
（1）设，且，求的坐标；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：由点，，可得，
因为，所以设，
又因为，所以，解得，
则或；
（2）解：设，因为ABCD是平行四边形，所以，
由，，，可得，，
则，解得，故；
（3）解：易知，，
，，
则，
因为，所以，
则的面积．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）先求的坐标，再根据，设，根据模长求得即可求得的坐标；
（2）设，由题意可得，利用向量相等的坐标表示列式求解即可；
（3）根据空间向量模长及夹角公式，结合三角形面积公式求解即可.
（1）由已知得．
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或．
（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，
由，，，
得，，
所以，故．
（3）由题可得，，
所以，，
所以，
又，所以，
所以的面积．
18．（2025高二上·上虞月考）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明： 在图1中，因为，，所以，则，即，
由，可得，即，
在图2中，，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，则，
由，得，
又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：由已知及（1）得平面平面，平面平面，，则平面，
即直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
则，
由图知二面角为锐二面角，可得二面角的余弦值为；
（3）解： 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，可得，
设点到平面的距离为，
因为三棱锥的体积为，所以，解得，则点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由，满足，可得，，在图2中，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质证明即可；
（2）由已知及（1）得直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解即可；
（3）先求的面积，设点到平面的距离为， 根据三棱锥的体积为，求得 ，再利用点到平面的距离的向量公式计算即可.
（1）在图1中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
19．（2025高二上·上虞月考）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
【答案】（1）解：由，可得圆台的侧面积为；
（2）证明 ：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（3）解：延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，所以直线即为直线，
又因为平面，所以点，即为点，
由，可得，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
在等腰梯形中，，梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，
则，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据圆台侧面积公式求解即可；
（2）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，即可得，再根据线面平行的判定定理证明直线平面；
（3）延长交于点， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.
（1）因为，
所以圆台的侧面积为；
（2）取中点，连接，如图，
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（3）延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，
所以直线即为直线，
又平面，
所以点，即为点，
，则，
以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
则有：，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
1 / 1浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·上虞月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高二上·上虞月考）直线l： x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．90°
3．（2025高二上·上虞月考）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2025高二上·上虞月考）过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·上虞月考）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·上虞月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·上虞月考）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·上虞月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·上虞月考）已知直线：，直线：，则（ ）
A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．若，则或
10．（2025高二上·上虞月考）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
11．（2025高二上·上虞月考）定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
12．（2025高二上·上虞月考）已知，，且，则
13．（2025高二上·上虞月考）若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为 .
14．（2025高二上·上虞月考）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .
15．（2025高二上·上虞月考）中，顶点，，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
16．（2025高二上·上虞月考）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
（1）用表示，并求EF的长；
（2）求与夹角的大小．
17．（2025高二上·上虞月考）已知空间中三点，，．
（1）设，且，求的坐标；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）求的面积．
18．（2025高二上·上虞月考）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（2025高二上·上虞月考）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于平面的对称点．
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性判断即可.
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线l： x+y﹣3＝0的倾斜角为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：C。
【分析】将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合直线倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
3．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：易知，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得，
则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量加法先求，再根据向量共线定理可得，列方程组求解即可.
4．【答案】C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线过点和，所以直线的截距式方程为，
整理得，即直线的一般式方程为.
故答案为：C.
【分析】先求直线的截距式方程，再化截距式为一般式方程即可.
5．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义直接求解即可.
6．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，
由图可知：当直线与线段相交时，，，
则斜率取值范围是或，即.
故答案为：D.
【分析】作出图形，利用斜率公式先求直线的斜率，再数形结合求解即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设，，
，，
则
，
当时，取得最小值.
故答案为：C．
【分析】设，利用向量的线性坐标运算求、的坐标，再利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质化简求解即可.
8．【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，直线方程为，
的重心为，即，
设，关于直线对称点为，则，
解得，则，
易知关于轴的对称点为，
根据光线反射原理知四点共线，且，，
直线的方程为，即，
又因为直线过，所以，解得或（舍去），
所以，，，，
故的周长为.
故答案为：A．
【分析】 以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，再计算即可得的周长．
9．【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；两条直线的交点坐标；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、当时，直线：，直线：，
联立，解得，则两直线的交点为，故A正确；
B、直线为，令，解得，则直线恒过点，故B错误；
C、若，则，解得，故C正确；
D、若，则，解得或，
当时，直线：，直线：两直线重合，不符合题意，舍去，
当时，直线：，直线：，两直线平行，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】将代入，联立直线方程求交点即可判断A；求出直线过定点坐标即可判断B；根据两直线垂直、平行（注意检验）求出参数即可判断CD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、易知，
则
，
即，故A正确；
B、，且，
，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为 ，故B错误；
C、，，
则
，即，故C正确；
D、由，可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】用基底 表示，根据向量的数量积运算即可判断A；表示，并求模，再根据向量的数量积运算求，结合向量的夹角公式求解即可判断B；根据向量的数量积运算求和即可判断CD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
A、若，则，
整理可得，
则直线的方程为：，
因为，所以直线与直线平行，故A正确；
B、设直线，取，
则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误；
C、由B选项可得：也成立，故C错误；
D、直线，取，，成立，此时与直线重合，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】设，若，根据有向距离的定义列式化简求得直线的方程，即可判断A；举反例即可判断BCD.
12．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】或
【知识点】直线的倾斜角；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
直线与间的距离，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以，即，
又因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°，
则直线m的倾斜角可以是或.
故答案为：或.
【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，利用两平行直线的距离公式求直线之间的距离，结合直线m被平行线截得的线段长，求得，即，再根据直线的斜率求得倾斜角为30°，从而求直线m的倾斜角.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为共面，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，用为基底表示向量，再利用向量共面基本定理求解即可.
15．【答案】（1）解：点，，则直线的斜率，
所在直线的方程为，即；
（2）解：点，，则的中点坐标，即，
由（1）可得边的垂直平分线的斜率，
则边上垂直平分线所在直线的方程为，即.
【知识点】斜率的计算公式；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用斜率计算公式求直线的斜率，再根据直线的点斜式求解即可；
（2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，结合直线垂直的斜率关系与点斜式求解即可.
（1）因为，，故的斜率，
故所在直线的方程为，即.
（2）因为，，故的中点坐标，即.
垂直平分线的斜率，
故边上垂直平分线所在直线的方程为，即.
16．【答案】（1）解：因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
所以
，
又因为正四面体ABCD的棱长为1，所以，且，
则
，
即，故EF的长为；
（2）解：由题意得
，
则，
即，即与的夹角为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）由题意，结合空间向量的线性运算用表示，再根据向量的数量积运算求即可求得的长；
（2） 由题意，结合空间向量的线性运算用表示 ，再根据向量的数量积运算可得，即可求与夹角的大小.
（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
可得
，
因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且，
可得
，
即，所以EF的长为.
（2）由题意得
，
因此
，
即，即与的夹角为.
17．【答案】（1）解：由点，，可得，
因为，所以设，
又因为，所以，解得，
则或；
（2）解：设，因为ABCD是平行四边形，所以，
由，，，可得，，
则，解得，故；
（3）解：易知，，
，，
则，
因为，所以，
则的面积．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）先求的坐标，再根据，设，根据模长求得即可求得的坐标；
（2）设，由题意可得，利用向量相等的坐标表示列式求解即可；
（3）根据空间向量模长及夹角公式，结合三角形面积公式求解即可.
（1）由已知得．
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或．
（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，
由，，，
得，，
所以，故．
（3）由题可得，，
所以，，
所以，
又，所以，
所以的面积．
18．【答案】（1）证明： 在图1中，因为，，所以，则，即，
由，可得，即，
在图2中，，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，则，
由，得，
又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）解：由已知及（1）得平面平面，平面平面，，则平面，
即直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
则，
由图知二面角为锐二面角，可得二面角的余弦值为；
（3）解： 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，可得，
设点到平面的距离为，
因为三棱锥的体积为，所以，解得，则点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由，满足，可得，，在图2中，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质证明即可；
（2）由已知及（1）得直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解即可；
（3）先求的面积，设点到平面的距离为， 根据三棱锥的体积为，求得 ，再利用点到平面的距离的向量公式计算即可.
（1）在图1中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
19．【答案】（1）解：由，可得圆台的侧面积为；
（2）证明 ：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（3）解：延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，所以直线即为直线，
又因为平面，所以点，即为点，
由，可得，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
在等腰梯形中，，梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，
则，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据圆台侧面积公式求解即可；
（2）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，即可得，再根据线面平行的判定定理证明直线平面；
（3）延长交于点， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.
（1）因为，
所以圆台的侧面积为；
（2）取中点，连接，如图，
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（3）延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，
所以直线即为直线，
又平面，
所以点，即为点，
，则，
以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
则有：，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
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