广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·天河期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
故答案为：D.
【分析】根据集合确定集合（利用找 ），求与的交集，求交集在中的补集.描述法集合的转化、交集与补集的定义，按“求→算→找”的步骤推进.
2．（2025高一上·天河期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
3．（2025高一上·天河期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据指数幂运算法则，结合根式的运算求值即可.
4．（2025高一上·天河期中）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（ ）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x)，当x<0时，-x>0，即可得出f(-x)= =-f(x)， ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
5．（2025高一上·天河期中）关于x的不等式的解集为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由得，，所以.所以选A.
【分析】1.含参的二次不等式的解法.
6．（2025高一上·天河期中）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，则，解得，即，
故正实数a的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，利用基本不等式求的最小值，问题转化为，解不等式即可得正实数a的最小值.
7．（2025高一上·天河期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，
因为，所以，
则，解得，即的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：函数在区间上单调递减，再根据，得到求解即可.
8．（2025高一上·天河期中）已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，当x趋近于正无穷时，函数和都趋向负无穷，显然不符合要求；
当时，由于恒成立，若对称轴，即时，满足题意；
若对称轴，则需判别式，即，
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】当m≤0时，函数在x趋近正无穷时都为负值，不符合要求；当m>0时，由于f(0)=1>0恒成立，只需对二次函数的对称轴位置进行讨论，结合判别式条件即可确定m的范围.
9．（2025高一上·天河期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B． 是 的必要不充分条件
C．集合 与集合 表示同一集合
D．设全集为R，若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；补集及其运算；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中 推不出 ，反之若 可以得到 ，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合特称命题的真假性判断方法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，同一集合的判断方法，集合间的关系与补集的运算法则，从而找出真命题的选项。
10．（2025高一上·天河期中）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、实数，，满足，
则，整理得，当且仅当，即时取等号，故A错误；
B、，则，当且仅当，即时取等号，故B正确；
C、由，可得，
则，当且仅当时取等号，故C正确；
D、，
则，即，
当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；将代入，再利用基本不等式求解即可判断B；由可得，利用基本不等式，“1”的代换的方法求解即可判断C；对作平方处理，结合基本不等式求解即可判断D.
11．（2025高一上·天河期中）定义在上的函数满足，且当时，，则有( )
A．为奇函数
B．存在非零实数a，b，使得
C．为增函数
D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 定义在上的函数满足，
A、令，则，解得；
令，则，即，函数为奇函数，故A正确；
C、且，则，
因为，所以，
则，，即为增函数，故C正确；
D、，故D错误；
B、因为，所以，
则，，当，，所以存在，使得，故B正确.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，对适当赋值即可判断A；根据函数单调性的定义法即可判断C；利用赋值法和单调性即可判断D；利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题求解即可判断B.
12．（2025高一上·天河期中）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【分析】根据题意，利用，列出方程，即可求解.
13．（2025高一上·天河期中）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数，
当时，易知函数在上单调递增，且，
当时，函数在上单调递增，且，则函数在R上是增函数，
不等式转化为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式确定函数的单调性，借助函数的单调性脱去法则，转化为解一元二次不等式即可得不等式的解集.
14．（2025高一上·天河期中）设函数，若对任意的，存使得，则实数a的取值范围为 ；若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围为 ．
【答案】；；
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，易知函数在上单调递增，
则函数在处取得最小值，即，
因为且，所以在上单调递增，则函数在处取得最小值，
即，
对任意的，存使得 ，则，即；
由上述分析可知：在处取得最大值，即，当时，的值域，
在处取得最大值，即，当时，的值域，
要使得对任意的，存在使得，
根据与的连续性可知：，则，解得.
故答案为：；．
【分析】分离常数法化简函数，判断其单调性，并求其最小值，易知函数的单调性和最小值，由题意可得，代入求解a的取值范围即可；要使得对任意的，存在使得，得到在上值域是在上值域的子集，利用单调性与集合的包含关系列不等式组求a的取值范围即可.
15．（2025高一上·天河期中）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）当时，集合，
因为结合或，所以或；
（2）易知，
由题意可得：集合A是的真子集，
当时，，解得a<0；
当时，要使A是的真子集，则，解得，
综上：a<1，即实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再根据集合的交集的定义求解即可；
（2）根据补集的定义先求，由题意可得集合A是的真子集，分和讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
16．（2025高一上·天河期中）已知二次函数的图象经过点（2，-6），方程的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若，求在上的最值.
【答案】解：（1）由题意，设二次函数，因为的图象经过点，所以，即，则；（2）因为，所以，则的图象的对称轴为，根据二次函数图象与性质可知：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.
（1）解：由题意，设二次函数，
因为的图象经过点，所以，即，
则；
（2）解：因为，所以，
则的图象的对称轴为，
根据二次函数图象与性质可知：当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意设二次函数为，将点代入，求得a的值，即可得函数解析式；
（2）先求得解析式，再求函数的对称轴，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求函数在区间上的最值即可.
17．（2025高一上·天河期中）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）解关于的不等式．
【答案】（1）解：由题意可得：对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由（1）可知，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为；
（3）解：由已知，
当时，，解集为；
当时，方程的两个根为，解集为；
当时，对方程，
①当，即时，解集为，
②当，方程的两个根，即时，解集为，
③当，方程的两个根，即时，解集为．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；时，解集为．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得对一切实数恒成立 ，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式列不等式求解即可；
（2）由（1）可知，对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可；
（3）将不等式因式分解后，对参数分情况讨论求解集即可．
（1）由已知得对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立．
当时，，不满足题意；
当时，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为．
（2）由（1）可知，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
（3）由已知，
当时，，解集为；
当时，方程的两个根为，解集为；
当时，对方程，
①当，即时，解集为，
②当，方程的两个根，即时，解集为，
③当，方程的两个根，即时，解集为．
综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为；
时，解集为；时，解集为．
18．（2025高一上·天河期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，直线将分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为，各边长的倒数和为.
（Ⅰ） 分别求函数和的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当时，多边形是三角形（如图①），三边长分别为，，，
此时，，
当时，多边形是四边形（如图②），各边长为，，，，
此时，
，
则，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函数的单调递减区间是，
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
即，
则，即在区间上单调递减，
当时，函数和在上均单调递减，，
故存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减，且的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（Ⅰ）由图可知：当时，多边形是三角形，三边长分别为，，；
当时，多边形是四边形，各边长为，，，，再根据题意，分别求和的解析式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知：函数的单调递减区间是，通过单调性的定义说明函数在区间上单调递减，存在，据此求的最大值即可.
19．（2025高一上·天河期中）已知函数，其中，是非空数集且.设，.
（1）若，，求；
（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；
（3）若且，，单调递增，求集合，.
【答案】解：（1）若，则，
，，
则；
（2）若，则，不合题意，
则，，，得，
若，则，
因为，所以的原象且，所以，矛盾，
故，此时可取，满足题意；
（3）因为是单调递增函数，所以对任意，
，同理可得：，
若存在，使得则，
于是，记，
，同理可知，由，
得，
，
对于任意，取
中的自然数，则
综上所述，满足条件的必有如下表示：
，其中，
或，其中，
或，或.
【知识点】并集及其运算；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）由题意，分别求函数的值域，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由，求得不合题意，可得，根据求得a的范围，再由推出矛盾，由此可确定；
（3）根据函数的单调性，结合题意求解即可.
1 / 1广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·天河期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·天河期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一上·天河期中）计算（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·天河期中）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（ ）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
5．（2025高一上·天河期中）关于x的不等式的解集为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·天河期中）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2025高一上·天河期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·天河期中）已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2025高一上·天河期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B． 是 的必要不充分条件
C．集合 与集合 表示同一集合
D．设全集为R，若 ，则
10．（2025高一上·天河期中）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2025高一上·天河期中）定义在上的函数满足，且当时，，则有( )
A．为奇函数
B．存在非零实数a，b，使得
C．为增函数
D．
12．（2025高一上·天河期中）已知函数是偶函数，则 .
13．（2025高一上·天河期中）已知函数，则不等式的解集为 .
14．（2025高一上·天河期中）设函数，若对任意的，存使得，则实数a的取值范围为 ；若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围为 ．
15．（2025高一上·天河期中）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．（2025高一上·天河期中）已知二次函数的图象经过点（2，-6），方程的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若，求在上的最值.
17．（2025高一上·天河期中）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）解关于的不等式．
18．（2025高一上·天河期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，直线将分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为，各边长的倒数和为.
（Ⅰ） 分别求函数和的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
19．（2025高一上·天河期中）已知函数，其中，是非空数集且.设，.
（1）若，，求；
（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；
（3）若且，，单调递增，求集合，.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
故答案为：D.
【分析】根据集合确定集合（利用找 ），求与的交集，求交集在中的补集.描述法集合的转化、交集与补集的定义，按“求→算→找”的步骤推进.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
3．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据指数幂运算法则，结合根式的运算求值即可.
4．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x)，当x<0时，-x>0，即可得出f(-x)= =-f(x)， ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由得，，所以.所以选A.
【分析】1.含参的二次不等式的解法.
6．【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，则，解得，即，
故正实数a的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，利用基本不等式求的最小值，问题转化为，解不等式即可得正实数a的最小值.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，
因为，所以，
则，解得，即的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：函数在区间上单调递减，再根据，得到求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，当x趋近于正无穷时，函数和都趋向负无穷，显然不符合要求；
当时，由于恒成立，若对称轴，即时，满足题意；
若对称轴，则需判别式，即，
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】当m≤0时，函数在x趋近正无穷时都为负值，不符合要求；当m>0时，由于f(0)=1>0恒成立，只需对二次函数的对称轴位置进行讨论，结合判别式条件即可确定m的范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；补集及其运算；存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中 推不出 ，反之若 可以得到 ，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合特称命题的真假性判断方法，再利用充分条件、必要条件的判断方法，同一集合的判断方法，集合间的关系与补集的运算法则，从而找出真命题的选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、实数，，满足，
则，整理得，当且仅当，即时取等号，故A错误；
B、，则，当且仅当，即时取等号，故B正确；
C、由，可得，
则，当且仅当时取等号，故C正确；
D、，
则，即，
当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；将代入，再利用基本不等式求解即可判断B；由可得，利用基本不等式，“1”的代换的方法求解即可判断C；对作平方处理，结合基本不等式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 定义在上的函数满足，
A、令，则，解得；
令，则，即，函数为奇函数，故A正确；
C、且，则，
因为，所以，
则，，即为增函数，故C正确；
D、，故D错误；
B、因为，所以，
则，，当，，所以存在，使得，故B正确.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，对适当赋值即可判断A；根据函数单调性的定义法即可判断C；利用赋值法和单调性即可判断D；利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题求解即可判断B.
12．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【分析】根据题意，利用，列出方程，即可求解.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数，
当时，易知函数在上单调递增，且，
当时，函数在上单调递增，且，则函数在R上是增函数，
不等式转化为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式确定函数的单调性，借助函数的单调性脱去法则，转化为解一元二次不等式即可得不等式的解集.
14．【答案】；；
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，易知函数在上单调递增，
则函数在处取得最小值，即，
因为且，所以在上单调递增，则函数在处取得最小值，
即，
对任意的，存使得 ，则，即；
由上述分析可知：在处取得最大值，即，当时，的值域，
在处取得最大值，即，当时，的值域，
要使得对任意的，存在使得，
根据与的连续性可知：，则，解得.
故答案为：；．
【分析】分离常数法化简函数，判断其单调性，并求其最小值，易知函数的单调性和最小值，由题意可得，代入求解a的取值范围即可；要使得对任意的，存在使得，得到在上值域是在上值域的子集，利用单调性与集合的包含关系列不等式组求a的取值范围即可.
15．【答案】解：（1）当时，集合，
因为结合或，所以或；
（2）易知，
由题意可得：集合A是的真子集，
当时，，解得a<0；
当时，要使A是的真子集，则，解得，
综上：a<1，即实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再根据集合的交集的定义求解即可；
（2）根据补集的定义先求，由题意可得集合A是的真子集，分和讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
16．【答案】解：（1）由题意，设二次函数，因为的图象经过点，所以，即，则；（2）因为，所以，则的图象的对称轴为，根据二次函数图象与性质可知：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.
（1）解：由题意，设二次函数，
因为的图象经过点，所以，即，
则；
（2）解：因为，所以，
则的图象的对称轴为，
根据二次函数图象与性质可知：当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意设二次函数为，将点代入，求得a的值，即可得函数解析式；
（2）先求得解析式，再求函数的对称轴，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求函数在区间上的最值即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得：对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由（1）可知，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为；
（3）解：由已知，
当时，，解集为；
当时，方程的两个根为，解集为；
当时，对方程，
①当，即时，解集为，
②当，方程的两个根，即时，解集为，
③当，方程的两个根，即时，解集为．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；时，解集为．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得对一切实数恒成立 ，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式列不等式求解即可；
（2）由（1）可知，对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可；
（3）将不等式因式分解后，对参数分情况讨论求解集即可．
（1）由已知得对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立．
当时，，不满足题意；
当时，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为．
（2）由（1）可知，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
（3）由已知，
当时，，解集为；
当时，方程的两个根为，解集为；
当时，对方程，
①当，即时，解集为，
②当，方程的两个根，即时，解集为，
③当，方程的两个根，即时，解集为．
综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为；
时，解集为；时，解集为．
18．【答案】解：（Ⅰ）当时，多边形是三角形（如图①），三边长分别为，，，
此时，，
当时，多边形是四边形（如图②），各边长为，，，，
此时，
，
则，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函数的单调递减区间是，
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
即，
则，即在区间上单调递减，
当时，函数和在上均单调递减，，
故存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减，且的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（Ⅰ）由图可知：当时，多边形是三角形，三边长分别为，，；
当时，多边形是四边形，各边长为，，，，再根据题意，分别求和的解析式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知：函数的单调递减区间是，通过单调性的定义说明函数在区间上单调递减，存在，据此求的最大值即可.
19．【答案】解：（1）若，则，
，，
则；
（2）若，则，不合题意，
则，，，得，
若，则，
因为，所以的原象且，所以，矛盾，
故，此时可取，满足题意；
（3）因为是单调递增函数，所以对任意，
，同理可得：，
若存在，使得则，
于是，记，
，同理可知，由，
得，
，
对于任意，取
中的自然数，则
综上所述，满足条件的必有如下表示：
，其中，
或，其中，
或，或.
【知识点】并集及其运算；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）由题意，分别求函数的值域，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由，求得不合题意，可得，根据求得a的范围，再由推出矛盾，由此可确定；
（3）根据函数的单调性，结合题意求解即可.
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