浙江省宁波六校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高一上·宁波期中）已知集合，，则（ ）
A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由题意可得：或，
当时，解得或，
若，则，与集合元素互异性矛盾，故舍去；
若，则，集合，符合题意，故；
当时，， 与集合元素互异性矛盾，故舍去；
故.
故答案为：D.
【分析】 由题意可得：或， 求出的值，注意检验集合元素互异性即可.
2．（2025高一上·宁波期中）已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题：，的否定为， .
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2025高一上·宁波期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，定义域为R，且为偶函数，故排除D；
，得函数在上单调递增，故排除C；
当时，函数的图象在下方，故排除A.
故答案为：B.
【分析】函数为幂函数且定义在R上的偶函数，利用幂函数的性质判断即可.
4．（2025高一上·宁波期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数在上单调递减，则，即；
幂函数在上单调递增，则，即，
故.
故答案为：D.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性判断即可.
5．（2025高一上·宁波期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，函数在上单调递增，
又因为，所以函数在上单调递减，
当，函数在上单调递减，
要使函数在上单调递减，则，
即，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】分和，结合复合函数单调性以及定义域讨论求解即可.
6．（2025高一上·宁波期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当，即，解得或；
当，即，解得；
则，
作出的图象（图中实线部分），
由图可知：的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，分和解不等式求得x的范围，以及的解析式，作出函数图象，数形结合求最值即可.
7．（2025高一上·宁波期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，，
函数，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因为，，所以，
又因为，，使得，所以，
则，解得，
故实数的取值范围.
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性求函数的最大值，求导，利用导数判断函数的单调性，并求其最大值，由题意可得，据此求解即可.
8．（2025高一上·宁波期中）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，
因为函数时奇函数，所以，即函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设，则，
则，即，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
又因为，所以，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】 构造函数，根据已知条件判断函数的单调性与奇偶性，由题意可得，将不等式转化为、求解即可.
9．（2025高一上·宁波期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域是
B．图象关于点成中心对称
C．若函数，则
D．若函数，则对任意，有
【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，要使函数有意义，则，解得，则函数的定义域是 ，故A正确；
B、，
易知函数的图象关于点对称，函数 的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，则函数的图象关于点对称，故B正确；
C、令，则，
则，其中，即，故C正确；
D、函数是上凸函数，
则对任意，有，故D错误．
故答案为：ABC.
【解答】根据抽象函数定义域的求法，结合分式有意义，列不等式组求解即可判断A；分离常数可得，利用函数图象的平移法则求解即可判断B；利用换元法求函数的解析式即可判断C；根据幂函数图象的凹凸性即可判断D．
10．（2025高一上·宁波期中）若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
A、，解得，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B、，
则，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
D、令，求得，且，
则
，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故答案为：AB．
【分析】利用基本不等式直接求解即可判断A；利用基本不等式链求解即可判断B；利用基本不等式、妙用“1”的代换求解即可判断C；令，且，于是，再利用基本不等式求解其最小值即可判断D．
11．（2025高一上·宁波期中）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为对任意，都有，
令，，可得，则，故A正确；
B、当时，令，则，
，，
又因为，，所以为奇函数，故B正确；
C、由B知，不恒等于，即时，，故C错误；
D、，
由知，，
，
，
，
，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，取特殊值求解即可判断A；当时，令得到，结合奇偶性即可判断B；结合B选项及特殊值即可判断C；推导出，即可判断D.
12．（2025高一上·宁波期中）求值： .
【答案】3
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：3.
【分析】根据根式与指数幂的运算性质化简求值即可.
13．（2025高一上·宁波期中）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ．
【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令，解得，且，
即函数的图象过点，
因为函数是幂函数，所以，解得，即函数，
又因为点在函数上，，又因为，所以．
故答案为：.
【分析】令，求得， 根据指数函数的性质得到定点为 ，再根据幂函数的定义得到，即可求得函数，将点代入解析式即可求得.
14．（2025高一上·宁波期中）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，则；
当时，函数，则，且当时，；
当时，函数，则，且当时，，当时，，
函数的图象，如图所示：
设，因为，所以，
由，可得，则，
由，可得，即，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分情况去绝对值，求每段的值域，作出函数图象，设，得到的范围，再由得到，据此求解即可.
15．（2025高一上·宁波期中）已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，可得，
当时，满足，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由题意可得：是的真子集，则，（不同时取等号），解得，
故实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）由题意可得，再分和两种情况讨论列式求解即可；
（2）由题意可得：集合是集合的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式求解即可.
（1）因为，所以，
当时，，
则，解得；
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，（不同时取等号），解得.
所以实数的取值范围.
16．（2025高一上·宁波期中）已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数是奇函数，证明如下：
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数是奇函数；
（2）解：易知函数是增函数，则函数是上的减函数，
原不等式可化为，即对一切成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可；
（2）先判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，再分和讨论，结合二次函数的性质列不等式求参数范围即可.
（1）是奇函数，证明如下，
的定义域为，关于原点对称，
，
是奇函数；
（2）是增函数，
是上的减函数，
原不等式可化为，
即对一切成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
17．（2025高一上·宁波期中）已知函数，．
（1）单调性的定义证明在区间上是增函数；
（2）解关于的不等式：．
【答案】（1）证明：，且，
则，
因为，，所以，且，，
所以，则，即，
故函数在上单调递增；
（2）解：由（1）知：在上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义分析证明即可；
（2）由（1）知：在上单调递增，根据函数单调性将不等式转化为 求解即可.
（1）任取，且，
则，
因为，，
则，且，，
可得，则，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知：在上单调递增，
因为，可得，解得：，
故不等式的解集为.
18．（2025高一上·宁波期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
【答案】（1）解：因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得的收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万；
（2）解：设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时等号成立，则在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，则，则在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）易知，分别代入和解析式求解即可；
（2）设商品投入万元，则商品投入万元，总收益，
分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质求最值，比较即可得总收益的最大值.
（1）因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得的收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万元.
（2）设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，则，
所以在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.
19．（2025高一上·宁波期中）已知函数.
（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）函数定义域为，，图象如图所示：由图可知：函数是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，函数的最大值是，无最小值，值域为； （2）因为关于的不等式恒成立，令，则，即不等式在恒成立，当时，因为，所以，又因为，所以，则实数的取值范围；
（3）关于的方程恰有个不同的实数解，即有个不同的根，如图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；当或时， 方程无解.设方程的两根分别为、，则，.令，则.则实数的取值范围是.
（1）解：函数定义域为，
，图象如图所示：
由图可知：函数是偶函数，
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
函数的最大值是，无最小值，值域为；
（2）解：因为关于的不等式恒成立，
令，则，即不等式在恒成立，
当时，因为，所以，
又因为，所以，则实数的取值范围；
（3）解：关于的方程恰有个不同的实数解，
即有个不同的根，如图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；
当或时， 方程无解.
设方程的两根分别为、，则，.
令，则.
则实数的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，将函数表示为分段函数，作出函数的图象，根据函数的图象判断奇偶性，求函数的单调区间和值域即可；
（2）令，不等式在恒成立，分离参数可得，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；
（3）由题意可得有个不同的根，令，结合题意可得知关于的方程的两根，，利用二次函数的零点分布列出关于、的不等式组，求实数的取值范围即可.
1 / 1浙江省宁波六校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高一上·宁波期中）已知集合，，则（ ）
A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3
2．（2025高一上·宁波期中）已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一上·宁波期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·宁波期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·宁波期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·宁波期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
7．（2025高一上·宁波期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·宁波期中）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·宁波期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域是
B．图象关于点成中心对称
C．若函数，则
D．若函数，则对任意，有
10．（2025高一上·宁波期中）若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2025高一上·宁波期中）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
12．（2025高一上·宁波期中）求值： .
13．（2025高一上·宁波期中）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ．
14．（2025高一上·宁波期中）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 .
15．（2025高一上·宁波期中）已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．（2025高一上·宁波期中）已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
17．（2025高一上·宁波期中）已知函数，．
（1）单调性的定义证明在区间上是增函数；
（2）解关于的不等式：．
18．（2025高一上·宁波期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
19．（2025高一上·宁波期中）已知函数.
（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：由题意可得：或，
当时，解得或，
若，则，与集合元素互异性矛盾，故舍去；
若，则，集合，符合题意，故；
当时，， 与集合元素互异性矛盾，故舍去；
故.
故答案为：D.
【分析】 由题意可得：或， 求出的值，注意检验集合元素互异性即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题：，的否定为， .
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，定义域为R，且为偶函数，故排除D；
，得函数在上单调递增，故排除C；
当时，函数的图象在下方，故排除A.
故答案为：B.
【分析】函数为幂函数且定义在R上的偶函数，利用幂函数的性质判断即可.
4．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数在上单调递减，则，即；
幂函数在上单调递增，则，即，
故.
故答案为：D.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性判断即可.
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，函数在上单调递增，
又因为，所以函数在上单调递减，
当，函数在上单调递减，
要使函数在上单调递减，则，
即，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】分和，结合复合函数单调性以及定义域讨论求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当，即，解得或；
当，即，解得；
则，
作出的图象（图中实线部分），
由图可知：的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，分和解不等式求得x的范围，以及的解析式，作出函数图象，数形结合求最值即可.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，，
函数，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因为，，所以，
又因为，，使得，所以，
则，解得，
故实数的取值范围.
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性求函数的最大值，求导，利用导数判断函数的单调性，并求其最大值，由题意可得，据此求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，
因为函数时奇函数，所以，即函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设，则，
则，即，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
又因为，所以，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】 构造函数，根据已知条件判断函数的单调性与奇偶性，由题意可得，将不等式转化为、求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，要使函数有意义，则，解得，则函数的定义域是 ，故A正确；
B、，
易知函数的图象关于点对称，函数 的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，则函数的图象关于点对称，故B正确；
C、令，则，
则，其中，即，故C正确；
D、函数是上凸函数，
则对任意，有，故D错误．
故答案为：ABC.
【解答】根据抽象函数定义域的求法，结合分式有意义，列不等式组求解即可判断A；分离常数可得，利用函数图象的平移法则求解即可判断B；利用换元法求函数的解析式即可判断C；根据幂函数图象的凹凸性即可判断D．
10．【答案】A,B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
A、，解得，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B、，
则，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
D、令，求得，且，
则
，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故答案为：AB．
【分析】利用基本不等式直接求解即可判断A；利用基本不等式链求解即可判断B；利用基本不等式、妙用“1”的代换求解即可判断C；令，且，于是，再利用基本不等式求解其最小值即可判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为对任意，都有，
令，，可得，则，故A正确；
B、当时，令，则，
，，
又因为，，所以为奇函数，故B正确；
C、由B知，不恒等于，即时，，故C错误；
D、，
由知，，
，
，
，
，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，取特殊值求解即可判断A；当时，令得到，结合奇偶性即可判断B；结合B选项及特殊值即可判断C；推导出，即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：3.
【分析】根据根式与指数幂的运算性质化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令，解得，且，
即函数的图象过点，
因为函数是幂函数，所以，解得，即函数，
又因为点在函数上，，又因为，所以．
故答案为：.
【分析】令，求得， 根据指数函数的性质得到定点为 ，再根据幂函数的定义得到，即可求得函数，将点代入解析式即可求得.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，则；
当时，函数，则，且当时，；
当时，函数，则，且当时，，当时，，
函数的图象，如图所示：
设，因为，所以，
由，可得，则，
由，可得，即，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分情况去绝对值，求每段的值域，作出函数图象，设，得到的范围，再由得到，据此求解即可.
15．【答案】（1）解：由，可得，
当时，满足，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：由题意可得：是的真子集，则，（不同时取等号），解得，
故实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）由题意可得，再分和两种情况讨论列式求解即可；
（2）由题意可得：集合是集合的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式求解即可.
（1）因为，所以，
当时，，
则，解得；
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，（不同时取等号），解得.
所以实数的取值范围.
16．【答案】（1）解：函数是奇函数，证明如下：
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数是奇函数；
（2）解：易知函数是增函数，则函数是上的减函数，
原不等式可化为，即对一切成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可；
（2）先判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，再分和讨论，结合二次函数的性质列不等式求参数范围即可.
（1）是奇函数，证明如下，
的定义域为，关于原点对称，
，
是奇函数；
（2）是增函数，
是上的减函数，
原不等式可化为，
即对一切成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
17．【答案】（1）证明：，且，
则，
因为，，所以，且，，
所以，则，即，
故函数在上单调递增；
（2）解：由（1）知：在上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义分析证明即可；
（2）由（1）知：在上单调递增，根据函数单调性将不等式转化为 求解即可.
（1）任取，且，
则，
因为，，
则，且，，
可得，则，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知：在上单调递增，
因为，可得，解得：，
故不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得的收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万；
（2）解：设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时等号成立，则在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，则，则在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）易知，分别代入和解析式求解即可；
（2）设商品投入万元，则商品投入万元，总收益，
分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质求最值，比较即可得总收益的最大值.
（1）因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得的收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万元.
（2）设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，则，
所以在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.
19．【答案】解：（1）函数定义域为，，图象如图所示：由图可知：函数是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，函数的最大值是，无最小值，值域为； （2）因为关于的不等式恒成立，令，则，即不等式在恒成立，当时，因为，所以，又因为，所以，则实数的取值范围；
（3）关于的方程恰有个不同的实数解，即有个不同的根，如图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；当或时， 方程无解.设方程的两根分别为、，则，.令，则.则实数的取值范围是.
（1）解：函数定义域为，
，图象如图所示：
由图可知：函数是偶函数，
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，
函数的最大值是，无最小值，值域为；
（2）解：因为关于的不等式恒成立，
令，则，即不等式在恒成立，
当时，因为，所以，
又因为，所以，则实数的取值范围；
（3）解：关于的方程恰有个不同的实数解，
即有个不同的根，如图所示：
当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；
当或时， 方程无解.
设方程的两根分别为、，则，.
令，则.
则实数的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，将函数表示为分段函数，作出函数的图象，根据函数的图象判断奇偶性，求函数的单调区间和值域即可；
（2）令，不等式在恒成立，分离参数可得，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；
（3）由题意可得有个不同的根，令，结合题意可得知关于的方程的两根，，利用二次函数的零点分布列出关于、的不等式组，求实数的取值范围即可.
1 / 1
