第一单元 整式的乘除 提升卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025七下·龙港期中） 下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·龙港期中） 截至2025年3月31日，中国半导体产业实现重大突破，验证了自主研发的多重曝光技术具备0.000000005米（5纳米）芯片的生产能力，数0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
4．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
6．（2025七下·安吉期中）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，这个大正方形边长为α+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和； 已知a+b+c=8，a2+b2+c2=26，则ab +bc+ac的值是（ ）
A．34 B．23 C．20 D．19
7．（2025七下·浙江期中）如果（为整数），那么用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·浙江期中）若，则的值是（ ）
A．10 B．-10 C． D．14
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·龙胜各族期中）计算：的结果是 ．
10．（2025七下·白银月考）已知，，则 ．
11．（2025七下·德清期末） 若满足，则 ．
12．（2025七下·上城期中）如图，已知正方形ABCD和BEFG，点A，B，E三点共线，AE=12.8，CG=5，则△ABD与△BEF的面积差是 .
13．（2025七下·滨江期末） 有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024七下·余姚期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
15．（2024七下·新津期中）先化简，再求值：，其中．
16． 一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm)。某种油漆每千克可漆面积为 ，问：漆这个模型需要油漆多少千克
17．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
18．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
19．（2025七下·浙江期中）若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”．
（1）a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则 ；b是63的“较小奇因数”，则 ．
（2）求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1．
（3）若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设，若正数p是一个两位数，求x的最大值．
20．（2025七下·深圳期中）【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成I、II、III、IV四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形；
（1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为： ▲ ，并说明理由．
（2）【应用探究】利用（1）中验证的公式简便计算：；
（3）【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为： ▲ ．（结果不需要化简）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵（ab2）3=a3b6，∴选项A错误；
B、∵（3cd）3=27c3d3，∴选项B错误；
C、∵（-2a3b）2=4a6b2，∴选项C正确；
D、∵（-3a3）2=9a6，∴选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方的法则和幂的乘方的法则分别计算出各选项，即可得到正确答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000005 =5×10-9.
故答案为：A.
【分析】把一个大于0且小于1的数表示成a×10- n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图知：
故答案为：A.
【分析】利用a和b分别表示各部分的面积，最后根据割补法即可求解.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
∴，，
∴=，
故答案为：C．
【分析】
先利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值即可解答．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵和，
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积的两种计算方法得到关于ａ，ｂ，ｃ的等式，最后将已知等式的值代入计算即可．
7．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则y=(x-1)2+2，
故答案为：C.
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，将3m代入，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：==，
∵ ，
即，
∴a=1，
-k=12-2a，
则k=-10；
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式将等式右边展开，在比较等式左边的系数，即可得出关于a，k的等式，即可求出k的值.
9．【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算分析求解即可.
10．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式可得，再结合，求出即可.
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
12．【答案】32
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
故答案为：32.
【分析】根据平方差公式计算解题即可.
13．【答案】7
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，
∴AD=a， AM = EH =b，
∴MD=AD-AM =a-b，
∵图中 (1)中正方形MHND的周长为8，
∴4MD=8，
∴MD=2，
∴a-b=2，
在图 (2) 中， AB=AD=a， BH =BF=GF=b，
∵三角形ABH的面积是3，
∴AB·BH=6，
∴ab=6，
由a-b=2， 得： (a-b)2 = 4，
∴a2+b2-2ab=4，
∴(a+b)2=4+4ab=4+4×6=28，
∵点P是AF的中点，
∴图 (2)中阴影部分的面积是7.
故答案为：7.
【分析】设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，则图中 (1)中正方形MHND的边长为 进而得 ，根据图 (2)中三角形ABH的面积是3得( 由此得 再分别求出 则 据此即可得出图 (2)中阴影部分的面积.
14．【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵， ，
∴
.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形，可将待求式子变形为，从而整体代入计算即可；
（2）将待求式子利用多项式乘以多项式法则计算后，整体代入计算可得答案.
15．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式和完全平方公式去小括号，再合并同类项，然后计算除法，进行化简，最后将的值代入化简后的式子进行计算即可
16．【答案】解：。
答：漆这个模型需要油漆。
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】先计算出长方体的表面积，再根据每千克尤其可漆的面积，计算出需要多少油漆即可.
17．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
19．【答案】（1）15，7
（2）证明：设相邻奇数积为，
∴两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为：，
∴，，
∴，
∴“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1；
（3）解：∵x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，
∴设，则，
∵ ，
∴，
∵正数p是一个两位数，，
∴当时，，但100是三位数，不符合p是两位数的条件 ，
∵a是奇数，比25小的最大奇数是23，
∴此时，满足p是两位数的要求，
∴奇数a的最大值为23，
∴x的最大值为．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵ “相邻奇数积”（为正奇数），a是“相邻奇数积”且它的“较小奇因数”为3，
∴，
∴；
∵b是63的“较小奇因数”，
∴，
解得：或，
∵为正奇数，
∴较小奇因数；
故答案为：15，7；
【分析】（1）根据新定义，直接得n=3，代入得a=15，然后根据新定义直接得，即可求出b的值；
（2）设相邻奇数积为，则两个奇因数的和的一半的平方小1为，然后将和分别展开再化简，即可得证；
（3）先设，则，得，然后根据p是两位数确定a的取值范围，取满足条件的最大奇数a的值，进而求得x的最大值．
（1）解：∵ “相邻奇数积”（为正奇数），a的 “较小奇因数”为3，即，
将代入，得．
因为63是“相邻奇数积”，设较小奇因数为b，则，
解得或，
∵为正奇数，
∴较小奇因数．
故答案为：15，7
（2）解：设相邻奇数积为，两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为：
右边，
左边，
左边右边，所以成立 ．
（3）解：设，则
，
因为正数p是一个两位数，
．
这意味着当时，，但100是三位数，不符合p是两位数的条件 ．
由于a是奇数，比25小的最大奇数是23，
此时，满足p是两位数的要求．
所以奇数a的最大值为23，
所以x的最大值为．
20．【答案】（1）
（2）原式
.
（3）．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图①中阴影部分的面积为a2-b2，图③的面积=（a-b）（a+b），
∵它们的面积相等，
∴，
故答案为；.
（3）将立体图形分割成三部分，分别为：，
其和为.
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积，即可得到答案；
（2）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（3）先求出三个部分的体积，再利用不同的表达式表示同一个图形的体积即可得到答案.
1 / 1第一单元 整式的乘除 提升卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025七下·龙港期中） 下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵（ab2）3=a3b6，∴选项A错误；
B、∵（3cd）3=27c3d3，∴选项B错误；
C、∵（-2a3b）2=4a6b2，∴选项C正确；
D、∵（-3a3）2=9a6，∴选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方的法则和幂的乘方的法则分别计算出各选项，即可得到正确答案.
2．（2025七下·龙港期中） 截至2025年3月31日，中国半导体产业实现重大突破，验证了自主研发的多重曝光技术具备0.000000005米（5纳米）芯片的生产能力，数0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000005 =5×10-9.
故答案为：A.
【分析】把一个大于0且小于1的数表示成a×10- n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
3．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
4．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图知：
故答案为：A.
【分析】利用a和b分别表示各部分的面积，最后根据割补法即可求解.
5．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
∴，，
∴=，
故答案为：C．
【分析】
先利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值即可解答．
6．（2025七下·安吉期中）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，这个大正方形边长为α+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和； 已知a+b+c=8，a2+b2+c2=26，则ab +bc+ac的值是（ ）
A．34 B．23 C．20 D．19
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵和，
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积的两种计算方法得到关于ａ，ｂ，ｃ的等式，最后将已知等式的值代入计算即可．
7．（2025七下·浙江期中）如果（为整数），那么用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则y=(x-1)2+2，
故答案为：C.
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，将3m代入，即可得出答案.
8．（2025七下·浙江期中）若，则的值是（ ）
A．10 B．-10 C． D．14
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：==，
∵ ，
即，
∴a=1，
-k=12-2a，
则k=-10；
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式将等式右边展开，在比较等式左边的系数，即可得出关于a，k的等式，即可求出k的值.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·龙胜各族期中）计算：的结果是 ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：原式，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算分析求解即可.
10．（2025七下·白银月考）已知，，则 ．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式可得，再结合，求出即可.
11．（2025七下·德清期末） 若满足，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
12．（2025七下·上城期中）如图，已知正方形ABCD和BEFG，点A，B，E三点共线，AE=12.8，CG=5，则△ABD与△BEF的面积差是 .
【答案】32
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
故答案为：32.
【分析】根据平方差公式计算解题即可.
13．（2025七下·滨江期末） 有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ．
【答案】7
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，
∴AD=a， AM = EH =b，
∴MD=AD-AM =a-b，
∵图中 (1)中正方形MHND的周长为8，
∴4MD=8，
∴MD=2，
∴a-b=2，
在图 (2) 中， AB=AD=a， BH =BF=GF=b，
∵三角形ABH的面积是3，
∴AB·BH=6，
∴ab=6，
由a-b=2， 得： (a-b)2 = 4，
∴a2+b2-2ab=4，
∴(a+b)2=4+4ab=4+4×6=28，
∵点P是AF的中点，
∴图 (2)中阴影部分的面积是7.
故答案为：7.
【分析】设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，则图中 (1)中正方形MHND的边长为 进而得 ，根据图 (2)中三角形ABH的面积是3得( 由此得 再分别求出 则 据此即可得出图 (2)中阴影部分的面积.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024七下·余姚期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵， ，
∴
.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形，可将待求式子变形为，从而整体代入计算即可；
（2）将待求式子利用多项式乘以多项式法则计算后，整体代入计算可得答案.
15．（2024七下·新津期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式和完全平方公式去小括号，再合并同类项，然后计算除法，进行化简，最后将的值代入化简后的式子进行计算即可
16． 一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm)。某种油漆每千克可漆面积为 ，问：漆这个模型需要油漆多少千克
【答案】解：。
答：漆这个模型需要油漆。
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】先计算出长方体的表面积，再根据每千克尤其可漆的面积，计算出需要多少油漆即可.
17．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
18．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
19．（2025七下·浙江期中）若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”．
（1）a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则 ；b是63的“较小奇因数”，则 ．
（2）求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1．
（3）若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设，若正数p是一个两位数，求x的最大值．
【答案】（1）15，7
（2）证明：设相邻奇数积为，
∴两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为：，
∴，，
∴，
∴“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1；
（3）解：∵x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，
∴设，则，
∵ ，
∴，
∵正数p是一个两位数，，
∴当时，，但100是三位数，不符合p是两位数的条件 ，
∵a是奇数，比25小的最大奇数是23，
∴此时，满足p是两位数的要求，
∴奇数a的最大值为23，
∴x的最大值为．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵ “相邻奇数积”（为正奇数），a是“相邻奇数积”且它的“较小奇因数”为3，
∴，
∴；
∵b是63的“较小奇因数”，
∴，
解得：或，
∵为正奇数，
∴较小奇因数；
故答案为：15，7；
【分析】（1）根据新定义，直接得n=3，代入得a=15，然后根据新定义直接得，即可求出b的值；
（2）设相邻奇数积为，则两个奇因数的和的一半的平方小1为，然后将和分别展开再化简，即可得证；
（3）先设，则，得，然后根据p是两位数确定a的取值范围，取满足条件的最大奇数a的值，进而求得x的最大值．
（1）解：∵ “相邻奇数积”（为正奇数），a的 “较小奇因数”为3，即，
将代入，得．
因为63是“相邻奇数积”，设较小奇因数为b，则，
解得或，
∵为正奇数，
∴较小奇因数．
故答案为：15，7
（2）解：设相邻奇数积为，两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为：
右边，
左边，
左边右边，所以成立 ．
（3）解：设，则
，
因为正数p是一个两位数，
．
这意味着当时，，但100是三位数，不符合p是两位数的条件 ．
由于a是奇数，比25小的最大奇数是23，
此时，满足p是两位数的要求．
所以奇数a的最大值为23，
所以x的最大值为．
20．（2025七下·深圳期中）【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成I、II、III、IV四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形；
（1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为： ▲ ，并说明理由．
（2）【应用探究】利用（1）中验证的公式简便计算：；
（3）【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为： ▲ ．（结果不需要化简）
【答案】（1）
（2）原式
.
（3）．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图①中阴影部分的面积为a2-b2，图③的面积=（a-b）（a+b），
∵它们的面积相等，
∴，
故答案为；.
（3）将立体图形分割成三部分，分别为：，
其和为.
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积，即可得到答案；
（2）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（3）先求出三个部分的体积，再利用不同的表达式表示同一个图形的体积即可得到答案.
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