第一单元 整式的乘除 培优卷-北师大版数学七年级下册
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·大渡口月考）已知，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·迎江期末）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
4．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
5．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（ ）
A．21 B．24 C．34 D．42
6．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
7．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除 达标检测卷 ）若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·嵊州期末） 若 (a，b 是常数)，则 a，b 满足的关系式是 .
10．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为 ．
11． 若 ， 则 的值为
12．（2023七下·紫金期中） = ；
13．我国南宋数学家杨辉用 “三角形”解释二项和的乘方规律， 称之为 “杨辉三角”， 这个 “三角形” 给出了 的展开式的系数规律 (按 的次数由大到小的顺序)．
请依据上述规律， 写出 展开式中含 项的系数是 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求22 23的值；
（2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P 2q的值；
（3）若运算9 32t的结果为810，则t的值是多少
15．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题.
（1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示.
（2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值.
16．（2025七下·宁波期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，
（1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张
（2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片 张.
（3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值.
17．（2025七下·南海月考）观察：
；
；
……
探究：
（1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________；
（2）请用上述方法，求的值；
应用：
（3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，， ，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
18．观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
……
（1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)= (其中n为正整数)．
（2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)．
（3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1．
19．（2024七下·福田期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式：
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
20．（2024七下·新田期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例：
①②
③④
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式．
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由于三个整数幂的底数和指数都不同，因此可利用幂的乘方的逆运算把指数转化成相同数字，再对底数进行大小比较即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：万．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
∴，，
∴=，
故答案为：C．
【分析】
先利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值即可解答．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则.
∵
∴
∴
即
∴
∴长方形BCHG的面积为
故答案为：A .
【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
7．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
9．【答案】2+a=4b
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
.
故答案为：2+a=4b .
【分析】利用幂的乘方，同底数幂乘法法则将原式变形后即可求得答案．
10．【答案】3
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b，
依题意得： AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ= AE =a，
∴AD=AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为： PD·DQ= ab，
∵正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，
在长方形ABCD中， AB=3， BC= AD =4，
∴3-a+b=4，
∴b-a=1，
∴，7-2ab=1，
∴长方形PFQD的面积为3
故答案为：
【分析】设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ=AE=a， 进而得AD= AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为PD·D 再由完全平方公式得出 由此即可得出长方形PFQD的面积.
11．【答案】39
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，
【分析】将（x+2）视为一个整体，将（x-3）视为另一个整体，运用换元法、完全平方公式求解.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
13．【答案】-2023
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律：
∴展开式中第2项为，
故含 项的系数为：-2023.
故答案为：-2023
【分析】根据“杨辉三角”的展开式的系数规律计算即可.
14．【答案】（1）解：
答： 22 23的值为96；
（2）解：
答： 2P 2q的值为21；
（3）解：
答： t的值是2.
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）先利用已知条件分别求出和的值，再利用公式计算即可；
（3）先利用幂的乘方的逆运算把表示成，再利用公式可计算出等于81即可.
15．【答案】（1）解：由题意可得： ；
（2）解：由题意可得：①，
②，
由②-①×2，得ab = 15.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）结合图形可知，等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
（2）先用a，b求出，，再计算求解即可.
16．【答案】（1）解：拼成的长方形面积为：，
需要型号卡片3张，双型号卡片7张，型号卡片2张；
答：需要型号卡片3张，这型号卡片7张，"飞型号卡片2张
（2）12
（3）解：型卡片的面积为48，
又阴影部分的面积为32，
解得：（负值已舍去），
又，
，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）∵9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。∴它们的面积和必须构成完全平方式。∴（3a）2+12ab+（2b）2=（3a+2b）2.∴需要C型卡片12张.
【分析】（1）按照要求： 用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形， 可知：新长方形的面积=，所以可以得出结论：需要A型号卡片3张，C型号卡片7张，B型号卡片2张.
（2）因为9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。它们的面积和必须构成完全平方式。而（3a）2和（2b）2只有和12ab才能配成完全平方式（3a+2b）2，所以需要C型卡片12张.
（3）由C型卡片的面积为48，可知：由.而阴影部分的面积为32，进而可得方程进而解方程，求出a的值。（由于是实际问题，负值要舍去），再由ab=48，进而求出b的值即可.
17．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题设中式子的计算规律，得到 计算过程逆用了平方差公式 ，即可求解；
（2）根据材料中式子的计算规律，进行化简、计算求值，即可得到答案；
（3）根据题意，利用圆的面积公式，以及题设中式子的计算规律，进行计算求值，即可得到答案．
（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
18．【答案】（1）xn-1
（2）解：.
（3）解：(-2-1)[(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997+……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1]
=（-2）2000-1；
故
.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）(x-1)(xn-1+……+x+1)=xn-1
故答案为：xn-1.
【分析】（1）根据等式，找出规律即可求解；
（2）根据等式的规律，计算即可求解；
（3）配成上述结构式子，利用总结的规律即可求解.
19．【答案】知识生成：；
知识迁移：；
解：（1）由，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵；
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：知识生成：；
知识迁移：
方法一：正方体棱长为，
∴体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；【分析】根据题意，利用面积相等推导公式：；利用体积相等推导；
故答案为：；
（1）根据题知识生成的公式，结合，求得，进行计算，即可求解；
（2）现有绝对值和偶次方的非负性，求得，根据生成的公式，结合，化简计算，即可得到答案
20．【答案】（1）解：
∴
（2）解：
∴ 另一个多项式是：
（3）解：∵ 矩形B的周长是矩形A周长的3倍
∴
解得
∴ 矩形B的面积为：
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，先求出a，再求出面积，然后分解多项式即可．
1 / 1第一单元 整式的乘除 培优卷-北师大版数学七年级下册
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·大渡口月考）已知，，，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由于三个整数幂的底数和指数都不同，因此可利用幂的乘方的逆运算把指数转化成相同数字，再对底数进行大小比较即可．
2．（2023七下·迎江期末）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：万．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4047 D．1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
∴，，
∴=，
故答案为：C．
【分析】
先利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值即可解答．
4．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
5．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（ ）
A．21 B．24 C．34 D．42
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则.
∵
∴
∴
即
∴
∴长方形BCHG的面积为
故答案为：A .
【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。
6．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项，
∴p+q=0.
∴a与q的关系是互为相反数.
故答案为：B.
【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系.
7．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除 达标检测卷 ）若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·嵊州期末） 若 (a，b 是常数)，则 a，b 满足的关系式是 .
【答案】2+a=4b
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
.
故答案为：2+a=4b .
【分析】利用幂的乘方，同底数幂乘法法则将原式变形后即可求得答案．
10．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b，
依题意得： AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ= AE =a，
∴AD=AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为： PD·DQ= ab，
∵正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，
在长方形ABCD中， AB=3， BC= AD =4，
∴3-a+b=4，
∴b-a=1，
∴，7-2ab=1，
∴长方形PFQD的面积为3
故答案为：
【分析】设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ=AE=a， 进而得AD= AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为PD·D 再由完全平方公式得出 由此即可得出长方形PFQD的面积.
11． 若 ， 则 的值为
【答案】39
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设，
【分析】将（x+2）视为一个整体，将（x-3）视为另一个整体，运用换元法、完全平方公式求解.
12．（2023七下·紫金期中） = ；
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
13．我国南宋数学家杨辉用 “三角形”解释二项和的乘方规律， 称之为 “杨辉三角”， 这个 “三角形” 给出了 的展开式的系数规律 (按 的次数由大到小的顺序)．
请依据上述规律， 写出 展开式中含 项的系数是 ．
【答案】-2023
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律：
∴展开式中第2项为，
故含 项的系数为：-2023.
故答案为：-2023
【分析】根据“杨辉三角”的展开式的系数规律计算即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题.
（1）求22 23的值；
（2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P 2q的值；
（3）若运算9 32t的结果为810，则t的值是多少
【答案】（1）解：
答： 22 23的值为96；
（2）解：
答： 2P 2q的值为21；
（3）解：
答： t的值是2.
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）先利用已知条件分别求出和的值，再利用公式计算即可；
（3）先利用幂的乘方的逆运算把表示成，再利用公式可计算出等于81即可.
15．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题.
（1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示.
（2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值.
【答案】（1）解：由题意可得： ；
（2）解：由题意可得：①，
②，
由②-①×2，得ab = 15.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）结合图形可知，等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
（2）先用a，b求出，，再计算求解即可.
16．（2025七下·宁波期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，
（1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张
（2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片 张.
（3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值.
【答案】（1）解：拼成的长方形面积为：，
需要型号卡片3张，双型号卡片7张，型号卡片2张；
答：需要型号卡片3张，这型号卡片7张，"飞型号卡片2张
（2）12
（3）解：型卡片的面积为48，
又阴影部分的面积为32，
解得：（负值已舍去），
又，
，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）∵9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。∴它们的面积和必须构成完全平方式。∴（3a）2+12ab+（2b）2=（3a+2b）2.∴需要C型卡片12张.
【分析】（1）按照要求： 用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形， 可知：新长方形的面积=，所以可以得出结论：需要A型号卡片3张，C型号卡片7张，B型号卡片2张.
（2）因为9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。它们的面积和必须构成完全平方式。而（3a）2和（2b）2只有和12ab才能配成完全平方式（3a+2b）2，所以需要C型卡片12张.
（3）由C型卡片的面积为48，可知：由.而阴影部分的面积为32，进而可得方程进而解方程，求出a的值。（由于是实际问题，负值要舍去），再由ab=48，进而求出b的值即可.
17．（2025七下·南海月考）观察：
；
；
……
探究：
（1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________；
（2）请用上述方法，求的值；
应用：
（3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，， ，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题设中式子的计算规律，得到 计算过程逆用了平方差公式 ，即可求解；
（2）根据材料中式子的计算规律，进行化简、计算求值，即可得到答案；
（3）根据题意，利用圆的面积公式，以及题设中式子的计算规律，进行计算求值，即可得到答案．
（1）解：∵；
，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：
，
答：所有阴影的面积和为．
18．观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
……
（1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)= (其中n为正整数)．
（2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)．
（3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1．
【答案】（1）xn-1
（2）解：.
（3）解：(-2-1)[(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997+……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1]
=（-2）2000-1；
故
.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）(x-1)(xn-1+……+x+1)=xn-1
故答案为：xn-1.
【分析】（1）根据等式，找出规律即可求解；
（2）根据等式的规律，计算即可求解；
（3）配成上述结构式子，利用总结的规律即可求解.
19．（2024七下·福田期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式：
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】知识生成：；
知识迁移：；
解：（1）由，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵；
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：知识生成：；
知识迁移：
方法一：正方体棱长为，
∴体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；【分析】根据题意，利用面积相等推导公式：；利用体积相等推导；
故答案为：；
（1）根据题知识生成的公式，结合，求得，进行计算，即可求解；
（2）现有绝对值和偶次方的非负性，求得，根据生成的公式，结合，化简计算，即可得到答案
20．（2024七下·新田期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例：
①②
③④
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式．
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积．
【答案】（1）解：
∴
（2）解：
∴ 另一个多项式是：
（3）解：∵ 矩形B的周长是矩形A周长的3倍
∴
解得
∴ 矩形B的面积为：
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，先求出a，再求出面积，然后分解多项式即可．
1 / 1
