第一单元 整式的乘除 基础卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·顺德月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·兴宁月考）的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·渠县期中）“可燃冰”是种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为，用科学记数表示正确的是( )
A． B． C． D．
4．（2024七下·滕州期中）若整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
5．（2021七下·三明期末）计算 的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
6．（2019七下·芷江期末）若 则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023七下·金东期末）下列式子不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·武侯期末）已知x﹣y＝4，xy＝2，那么（x＋y）2的值为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．8
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019七下·覃塘期末）因式分解：m2-9=
10．（2023七下·英德期中）计算：
11．（2021七下·历下期中）利用完全平方公式计算：（m+3）2＝ ．
12．（2019七下·深圳期中）若 则 的值是 .
13．若关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值是 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·深圳期末） 计算：
（1） ；
（2） .
15．（2025七下·南山期末）化简与求值：
[（2a+b）2-（2a+b）（2a-b）]÷2b，其中a=2，b=-1。
16．你能计算 吗
17．（2024七下·清镇市期中）将一张如图①所示的长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②．铁盒底面长方形的长是，宽是．
求：
（1）图①中原长方形铁皮的面积．（请用含a的代数式表示）
（2）无盖盒子的体积．（请用含a的代数式表示）
18．（2024七下·拱墅期中）（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若，，，求出的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值．
19．（2025七下·高州月考）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
（1）比较，的大小．
（2）比较，，的大小．
20．（2023七下·东昌府期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是： ．
A． B． C． D．
（2）应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知：求的值；
②计算：；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】直接根据单项式乘法法则进行计算，即可得出，即可得出正确答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由（2x+m）（x-1）=2x2+（m-2）x-m，
由（2x+m）（x-1）不含x的一次项，得m-2=0，
解得m=2，
故选：D．
【分析】本题考查了多项式乘多项式，其中多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，根据 整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项， 得到m-2=0，求得m的值，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解： ＝1；
故答案为：B.
【分析】利用任何不等于0的数的零次幂等于1，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：已知等式整理得：35m＋1＝321，
可得5m＋1＝21，
解得：m＝4，
故答案为：C．
【分析】已知等式左边利用同底数幂的乘法法则变形，再利用幂的相等的条件求出m的值即可．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(a+b)(a-b)=a2-b2，不符合题意；
B、(-x+1)(-x-1)=(-x)2-12=x2-1，不符合题意；
C、(y+1)(-y-1)=(y+1)·[-(y+1)]=-(y+1)2=-(y2+2y+1)=-y2-2y-1，符合题意；
D、(m-1)(-1-m)=(-1+m)(-1-m)=(-1)2-m2=1-m2，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.根据这两个公式再结合题目给的形式即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=42+4×2=24.
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(x+y)2=(x-y)2+4xy，然后代入进行计算.
9．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：-1.
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂计算求解即可。
11．【答案】m2+6m+9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（m+3）2
＝m2+2×3 m+32
＝m2+6m+9，
故答案为：m2+6m+9．
【分析】利用完全平方公式展开计算即可。
12．【答案】-1或1
【知识点】零指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】由 ，得
解得x=±1，
故答案为：±1.
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
13．【答案】2或6
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】解：根据题意得：a2﹣4（2a﹣3）=0，
解得：a=2或6．
故答案为：2或6．
【分析】关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则x2﹣ax+2a﹣3=0的判别式等于0，据此即可求得a的值．
14．【答案】（1）解：原式=4-1+0+2
=5
（2）解：原式=a6+2a6-8a6
=-5a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．【答案】解：原式=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)
=(4ab+2b2)
=2a+b
当a=2，b=-1时，
原式==3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式展开 （2a+b）2 =4a2+4ab+b2 ， 根据平方差公式展开 （2a+b）（2a-b 得4a2-b2，合并化简得4ab+2b2，再进行多项式的除法运算，最后代入a=2，b=-1，计算即可解答.
16．【答案】解：=a2b2c+2abx；
=c2m+c2n-c2p；
=-x3y2-x2y3.
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】 利用单项式乘多项式的计算方法（先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解即可.
17．【答案】（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
【知识点】多项式乘多项式；几何体的表面积
【解析】【分析】
（1）利用无盖长方体的展开图直接计算长方形面积即可；
（2）利用长方体的体积计算公式直接计算即可．
（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
18．【答案】解：（1）①等号右边
，
∴左边右边，
∴等式正确；
②当，，时，
；
（2）∵，
∴
即，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）①利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论；
②将数值代入等式计算求值即可；
（2）根据可得，把和代入，求出结果即可．
19．【答案】（1）解：，，∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，又∵，，，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则，转化为同底数幂，同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，再比较指数，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，转化为同指数，比较底数，即可得到答案．
（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）B
（2）解：①∵，∴，
即，
∴；
②
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为∴可以验证的等式是：
故答案为：B；
【分析】
（1）表示出两个图中阴影的面积可得答案；
（2）①由已知和平方差公式可得答案；
②先用平方差公式，再约分即可．
1 / 1第一单元 整式的乘除 基础卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·顺德月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
2．（2025七下·兴宁月考）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】直接根据单项式乘法法则进行计算，即可得出，即可得出正确答案.
3．（2024七下·渠县期中）“可燃冰”是种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为，用科学记数表示正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．（2024七下·滕州期中）若整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由（2x+m）（x-1）=2x2+（m-2）x-m，
由（2x+m）（x-1）不含x的一次项，得m-2=0，
解得m=2，
故选：D．
【分析】本题考查了多项式乘多项式，其中多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，根据 整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项， 得到m-2=0，求得m的值，即可得到答案.
5．（2021七下·三明期末）计算 的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解： ＝1；
故答案为：B.
【分析】利用任何不等于0的数的零次幂等于1，可得答案.
6．（2019七下·芷江期末）若 则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：已知等式整理得：35m＋1＝321，
可得5m＋1＝21，
解得：m＝4，
故答案为：C．
【分析】已知等式左边利用同底数幂的乘法法则变形，再利用幂的相等的条件求出m的值即可．
7．（2023七下·金东期末）下列式子不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(a+b)(a-b)=a2-b2，不符合题意；
B、(-x+1)(-x-1)=(-x)2-12=x2-1，不符合题意；
C、(y+1)(-y-1)=(y+1)·[-(y+1)]=-(y+1)2=-(y2+2y+1)=-y2-2y-1，符合题意；
D、(m-1)(-1-m)=(-1+m)(-1-m)=(-1)2-m2=1-m2，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.根据这两个公式再结合题目给的形式即可得出答案.
8．（2021七下·武侯期末）已知x﹣y＝4，xy＝2，那么（x＋y）2的值为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=42+4×2=24.
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(x+y)2=(x-y)2+4xy，然后代入进行计算.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019七下·覃塘期末）因式分解：m2-9=
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
10．（2023七下·英德期中）计算：
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：-1.
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂计算求解即可。
11．（2021七下·历下期中）利用完全平方公式计算：（m+3）2＝ ．
【答案】m2+6m+9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（m+3）2
＝m2+2×3 m+32
＝m2+6m+9，
故答案为：m2+6m+9．
【分析】利用完全平方公式展开计算即可。
12．（2019七下·深圳期中）若 则 的值是 .
【答案】-1或1
【知识点】零指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】由 ，得
解得x=±1，
故答案为：±1.
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
13．若关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值是 ．
【答案】2或6
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】解：根据题意得：a2﹣4（2a﹣3）=0，
解得：a=2或6．
故答案为：2或6．
【分析】关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则x2﹣ax+2a﹣3=0的判别式等于0，据此即可求得a的值．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·深圳期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=4-1+0+2
=5
（2）解：原式=a6+2a6-8a6
=-5a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．（2025七下·南山期末）化简与求值：
[（2a+b）2-（2a+b）（2a-b）]÷2b，其中a=2，b=-1。
【答案】解：原式=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)
=(4ab+2b2)
=2a+b
当a=2，b=-1时，
原式==3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式展开 （2a+b）2 =4a2+4ab+b2 ， 根据平方差公式展开 （2a+b）（2a-b 得4a2-b2，合并化简得4ab+2b2，再进行多项式的除法运算，最后代入a=2，b=-1，计算即可解答.
16．你能计算 吗
【答案】解：=a2b2c+2abx；
=c2m+c2n-c2p；
=-x3y2-x2y3.
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】 利用单项式乘多项式的计算方法（先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解即可.
17．（2024七下·清镇市期中）将一张如图①所示的长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②．铁盒底面长方形的长是，宽是．
求：
（1）图①中原长方形铁皮的面积．（请用含a的代数式表示）
（2）无盖盒子的体积．（请用含a的代数式表示）
【答案】（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
【知识点】多项式乘多项式；几何体的表面积
【解析】【分析】
（1）利用无盖长方体的展开图直接计算长方形面积即可；
（2）利用长方体的体积计算公式直接计算即可．
（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
18．（2024七下·拱墅期中）（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若，，，求出的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值．
【答案】解：（1）①等号右边
，
∴左边右边，
∴等式正确；
②当，，时，
；
（2）∵，
∴
即，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）①利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论；
②将数值代入等式计算求值即可；
（2）根据可得，把和代入，求出结果即可．
19．（2025七下·高州月考）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
（1）比较，的大小．
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）解：，，∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，又∵，，，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算；幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则，转化为同底数幂，同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，再比较指数，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，转化为同指数，比较底数，即可得到答案．
（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
20．（2023七下·东昌府期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是： ．
A． B． C． D．
（2）应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知：求的值；
②计算：；
【答案】（1）B
（2）解：①∵，∴，
即，
∴；
②
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为∴可以验证的等式是：
故答案为：B；
【分析】
（1）表示出两个图中阴影的面积可得答案；
（2）①由已知和平方差公式可得答案；
②先用平方差公式，再约分即可．
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