2.4 圆与圆的位置关系 教学设计（表格式） 高二（选择性必修一）北师大版数学

课题 2.4圆与圆的位置关系 第 周 第 节
了 解 学 情 明 确 目 标 “三情”（教情、学情、考情）分析：
一、教学内容分析：本节内容《圆与圆的位置关系》是北师大版高中数学教材选择性必修第一册第一章的知识点。学生已学习了圆的方程，直线与圆的位置关系。从前面已有的知识入手，引导学生从类比的方式，运用直线与圆的位置关系的研究方法，通过圆的方程定量计算圆与圆的位置关系，以具体问题获取经验，发现判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据两个圆公共点的个数判断两圆相交、相切、相离，从而得到利用两个圆的方程组成的方程组解的情况来判断的方法，即代数法；另一种是根据连心线的长与半径和或差的大小关系，利用方程求出连心线的长，比较连心线的长与两圆半径和差的大小关系来判断的方法，即几何法。并以例题的方式，进行实际运用，同时让学生总结不同位置关系时不同的数量关系，从数与形的量方面去加以认识，在对比和类比中加深对圆与圆的不同位置关系的认识和理解。
二、学情分析 1.知识：在此之前已学习了圆的方程，直线与圆的位置关系，学习本节内容可以类比上述知识的研究方法； 2.能力：圆与圆的位置关系是以结论性的形式呈现，现在需要利用圆与圆的方程定量进行判断，在具备一定的逻辑思维能力的基础上，应进一步学习灵活地将几何问题转化为代数问题。 3.情感：学生好奇心强求知欲旺盛，喜欢通过实际操作和探究来发现问题、解决问题。
三、学科素养： 1.数学抽象：理解圆与圆的位置关系； 2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系； 3.数学运算：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系；
四、教学目标分析： 教学目标： 1. 理解圆与圆的位置关系的种类. 2. 掌握用代数法与几何法判断两圆的位置关系. 3.会求两圆相交时公共弦所在直线方程和弦长. 教学重点、难点： 重点：理解圆与圆的位置关系，能根据圆的方程，判断圆与圆位置关系. 难点：理解代数法中方程组解的个数与圆的位置关系的联系； 灵活运用几何法判断圆与圆的位置关系。
五、教学方法 1.启发式教学：通过提问、引导等方式，激发学生的学习兴趣，启发学生的数学思维； 2.讨论合作法：组织学生分组讨论，通过交流、合作等方式，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
教 学 过 程
合 作 探 究 交 流 展 示 引入：前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，今天我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 备 注
日食：是太阳、地球、月球正好处在一条直线时发生的自然现象。 问题1：若把太阳和月亮看做两个圆，那么在日食的过程中两个圆出现了哪些位置关系？
师生活动：学生回顾已学，得到两圆位置关系：相离，外切，相交，内切，内含. 【设计意图】通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系.
问题2：如果按两圆公共点个数，那么两圆位置关系又可以分为哪几类？
师生活动：学生口答，得到两圆位置关系：相离，相切，相交. 【设计意图】通过问答，让学生从公共点个数归类的圆与圆的位置关系.
问题3：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？
借助图形，我们还可以依据圆心距与两圆半径的和或两半径差的绝对值 的大小关系来判断. 若两圆相交 若两圆外切 若两圆内切 若两圆外离 若两圆内含
师生活动：学生借助图形，直观理解两圆位置关系，并依据圆心距与两圆半径的和或两半径差的绝对值 的大小关系来判断. 【设计意图】通过问答，让学生理解记忆.
问题4：类比直线与圆位置关系的研究方法,如何利用圆的方程研究圆与圆的位置关系吗？ 【设计意图】通过回顾直线与圆的位置关系的探究方法，引导学生将其和圆与圆的位置关系进行类比猜想，以小组讨论的方式让学生共同解决问题，并适时地给予引导和帮助，培养学生分析问题和解决问题的能力。
启 思 促 联 精 讲 点 拔 接下来通过分析例题，尝试运用两种判断方法。 教师活动：从方程的视角引导学生通过代数运算求解方程组,可从两种思路进行分析： 备 注
思路1：将圆与圆的位置关系问题，转化为连心线的长与两圆半径和、两圆半径差的绝对值的大小关系问题，从而判断两圆位置关系. 解法1：将圆的方程化为标准式，得到 圆，其圆心，； 圆，其圆心，. 因此圆与圆连心线长 , 圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 ,所以， 所以圆与圆两圆相交. 思路2：将圆与圆的位置关系问题，转化为它们有几个公共点的问题，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；消元，求，从而判断两圆位置关系. 解法2：将圆与圆联立，得到 ，得： 消元得： 因为方程（4）的根的判别式，所以方程组有两两组实数根，所以圆与圆有两个公共点，它们相交. 追问1：你能求出两圆公共弦所在直线方程吗？ 解： 追问2：公共弦所在直线方程与方程（3）一致，这是巧合吗？ 从代数角度看，满足方程（1）、（2）的方程组的解，必满足方程（3），我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程（3），两点确定一直线，因此方程（3）表示的就是两圆公共弦所在直线方程. 【设计意图】引导学生对于中间过程中产生的代数结论，进行进一步思考，发掘其几何含义.看似代数运算的中间表达，但其仍具有几何意义，提醒学生在得到代数结论时，向它所表达的几何元素这个方向上进行思考.那么结合图像，可知，求得的直线方程表示的直线，就是两圆公共弦所在直线. 追问3：已知圆，圆，试求圆与圆公共弦长. 学生活动：学生先思考，再合作交流，展示
【设计意图】通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。同时在解答中引导学生由形助数，由数研形，发展学生数形结合能力及数学运算素养.
追问4：类比两条直线相交时，过交点的直线系方程设法，你能设出过两圆交点的圆系方程吗？ 【设计意图】通过类比过交点的直线系设法，让学生学会过两圆交点的圆系方程设法，为后面应用圆系方程求解问题做好准备。
检 测 巩 固 归 纳 提 升 师生活动：学生板演，教师评价
【设计意图】通过训练，帮助学生进一步熟悉判断圆与圆的位置关系。并能掌握两圆相交时的相关问题的求解。发展学生数形结合能力及数学运算素养.
本节课你有哪些收获？ 从知识和方法两方面进行总结。
1.知识点： (1)两圆的位置关系的判断（代数法、几何法）；(2)两圆相交，公共弦问题。 2.思想方法：本节课体现了数形结合的思想方法。
小结提升，构建框图 【设计意图】通过学生自主回顾和梳理所学知识，形成知识框图，促进知识的整合与迁移，有助于加深学生对圆与圆的位置关系的理解，提高解决问题的能力。
课 后 反 思
本节课从自然现象日食引入圆与圆的位置关系，激发学生兴趣，并通过多媒体播放相关视频的方式，让学生观察发现圆与圆之间位置的变化，唤醒学生已有的学习经验，从而进行问题探究，培养学生提出问题和分析问题的能力，发展直观想象能力与数学建模思想，并且通过使用问题串解决、小组讨论等不同类型的学习活动，培养学生自主学习、探究学习、合作学习等学习方式，从而提高获取新知的能力。并采用信息技术结合教学环节，让教学课堂容量增加，提高了课堂效率，加强了课堂交流互动，提升了学生合作探究能力、运算能力，使得对学生核心素养的培养在课堂教学中落到了实处。