第十二章全等三角形单元练习（含解析）华东师大版数学八年级上册期末复习

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第十二章全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，；
结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
2．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论：
①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
4．如图，在和中，，，则的理由是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
C．对顶角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
6．如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，于，于，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．15 B． C．6 D．
10．分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（ ）
①
②
③
④平分
⑤平分．
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
11．如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
12．如图，已知，和是对应边，和是对应顶点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ．
14．等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是 ．
15．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．

16．已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ．
17．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积为 ．
三、解答题
18．如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，．
(1)与全等吗？请说明理由．
(2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ．
19．已知：和，、分别为、中点，且，．

(1)当时，求证：．
(2)当时，求证：．
20．如图，已知线段，相交于点，连接，，，．
(1)请你添加下面一个条件：______，证明；
① ② ③
(2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由．
21．如图，在和中，，．与全等吗？为什么？
22．如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点．
(1)若，求和的度数；
(2)若，求的长．
23．如图，在中，点D是边延长线上一点，，．利用直尺和圆规在直线上求作一点P，使点P到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
24．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）：
(1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点；
(2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分；
(3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得．
《第十二章全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D C D B B B C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；
由折叠可得，， 根据垂直得， 则， 即可得到， 可判断结论Ⅰ错误；分两种情况：若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数； 若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数，可判断结论Ⅱ正确，解答即可．
【详解】解：∵，，将沿直线翻折，点A落在点F处，
∴，，，
∵点F落在边上，且，
∴，
∴，
∴，
故结论Ⅰ错误；
若是以为腰的等腰三角形，且，则，
∴，
∴；
若是以为腰的等腰三角形，且，则，
∴，
∴，
∴或，
故结论Ⅱ正确，
故B符合题意，而A、C、D都不符合题意，
故选：B．
2．D
【分析】利用角平分线的性质，得到点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解．本题主要考查角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）与三角形面积公式，熟练掌握角平分线性质，找到中边上的高是解题的关键．
【详解】如图，过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∴．
故选：．
3．A
【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∴；故②错误；
连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，，
∴，，故③正确；
在中，，
∴，故④错误；
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴与成轴对称，故⑤正确；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案．
【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是，
故选：．
5．C
【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：由题意知，A中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求；
B中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求；
C中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求；
D中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明可得，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7．B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解．
【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ，
∴．
∴四边形的周长是
故选：B．
8．B
【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识．
由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论．
【详解】解：∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质．
根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可．
【详解】解：，是的角平分线，
，，，
∵，，
∴，，
∴阴影部分的面积是面积的一半
，，
阴影部分的面积．
故选：B．
10．C
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．
由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论．
【详解】解：和都为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
故符合题意；
∵，
，
故符合题意；
∵，
，
又，
∴
，
故符合题意，
作于P，于，如图所示；
则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
故符合题意；
则，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
只有时，即，则，
∵，
∴，
分析题干，不一定相等，不一定相等，
∵，，
故不一定等于．
故不符合题意
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键．
【详解】解：和是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，故正确；
，
，
又，
，即，
又，
，
，
又，可知为等边三角形，
，
，故正确；
，
，故③正确；
，，
，即，
，，
，则，故错误；
，
，
，
，故正确；
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，结合全等三角形的对应角相等，对应边相等进行判断即可．
【详解】解：∵，和是对应边，和是对应顶点，
∴，，，，
即选项A、B、C都正确，
根据不能推出，应是．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是关键．
13．
【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中．
延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围．
【详解】解：延长到，使，
∵是的中线
在和中，
，
，
在中，，
∴，即，
则．
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查三角形三边关系定理，等腰三角形，分类讨论是解决问题的关键．分类讨论已知边是腰或者底，利用三边关系定理判断即可．
【详解】当5为底时，其他两边都为，三边为5，9，9，满足三边关系定理可以构成三角形，周长为23；
当5为腰时，其他两边为5和，三边为5，5，9，满足三边关系定理可以构成三角形，周长为19．
综上所述，它的周长是19或23．
15．
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式．
过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，
，平分，，，
，
同理可得，
，
，的面积是6，
，
，
，
的面积是9，
，
，即，
，
故答案为：．
16．/度
【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴．
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．(1)全等，理由见解析
(2)，
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键．
（1）根据可证明与全等；
（2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
∵，，
∴
∵，，
∴即
∴；
（2）解：∵，，
∴与都是直角三角形，
∴，
∴又，
∴．
故答案为：，．
19．(1)① ② ③ ④
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用、判定定理即可得以证明；
（2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，再利用三角形判定定理证明即可解答．
【详解】（1）解：，
，
①，
D、分别为、中点，
②，③，
，
，，
④；
① ② ③ ④．
（2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
在和中，
，
．
20．(1)见解析
(2)为等边三角形，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论．
【详解】（1）添加的条件：或或(答案不唯一，任意写一种即可)；
证明：添加：，
在和中，
，
；
添加：，
在和中，
，
∴；
添加：，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
21．，证明见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．利用证明即可解决问题．
【详解】解：，理由如下，
证明：在和中，
，
∴．
22．(1)，
(2)
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数；
（2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长．
【详解】（1）解： 是的平分线，，
，
，，
，，
，
，
，
故；；
（2）解：是的平分线，
，
，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
，即，
，
，
又，，
，
，
，
，
．
23．作图见解析
【分析】本题考查的是作已知角的平分线，角平分线的性质，作的角平分线与交于点，可得点即为所求.
【详解】解：如图，点即为所求.
24．(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（）利用证明，得到即可；
（）利用等腰三角形的性质解答即可；
（）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求；
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
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