第十三章勾股定理单元练习（含解析）华东师大版数学八年级上册期末复习

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第十三章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若的三边长为a，b，c，满足，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
3．用反证法证明：“若，，则”，应先假设（　　）
A．l1与l3不平行 B．l1与l3平行
C．l1与l2平行，且l2与l3平行 D．l1与l2不平行，且l2与l3不平行
4．将一根的筷子，置于底面直径为，高的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（ ）
A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对
6．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（ ）
A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对
7．下列说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是真命题
C．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
8．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．109 B．119 C．129 D．139
10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
11．能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，，是的三边，则．
B．若，，是的三边，则．
C．若，，是的三边，，则．
D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
二、填空题
13．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ．
14．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为 ．
15．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若，，则为直角三角形
②若，，，则
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7
16．如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ．
17．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ．
三、解答题
18．一块四边形余料如图所示，已知，米，米，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，用扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．
19．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里）
20．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）设，则___________（用含的代数式表示）；
（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值；
【类比应用】如图①，在中，，求的面积．
21．如图，等腰中，，，M，N是直线上的动点，且，．
(1)如图1，若，求α的值；
(2)当M，N运动至如图2的位置，且，求α的值；
(3)如图3，M在线段上，N在的延长线上，若，，直接写出的长．（用m，n表示）
22．如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长．
23．如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向．
24．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
《第十三章勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B A C D D B
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键．
根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案．
【详解】解：命题：“如果，那么”．
若假设b与c相交于点P，
，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行，
则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
故选：C．
3．A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：反证法证明：“若，，则”，先假设与不平行，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是：．
故选：．
5．B
【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．分两种情况，根据勾股数的定义得出方程，求解即可．
【详解】解：当m为最长边时，，
解得：（负值已舍去）；
当24为最长边时，，
解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意；
综上所述，，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，根据勾股定理知，，
在中，根据勾股定理知，，
所以．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查反证法、命题的真假判断、逆命题的概念，根据等腰三角形的性质，对顶角相等、角平分线的性质，反证法的应用等知识，逐项分析判断即可．
【详解】解：A、没说哪条边的高线中线，必须是底边的，描述不清，故本选项说法错误，不符合题意；
B、它的逆命题为相等的角是对顶角，是假命题，故本选项说法错误，不符合题意；
C、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法正确，符合题意；
D、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
故选： C．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，圆的面积，等边三角形的性质，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案．
【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则，
图1中， ，
∵，
∴，故图1符合题意；
图2中，，，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，作于点G，则，，
∴，
∴，
同理：，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，由图2中推导过程可得：
，故图4符合题意
综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
根据题意求出，根据即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
正方形的面积是，
的面积是，
阴影部分的面积是，
故选：D．
10．B
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边满足，则这个三角形是直角三角形．
11．D
【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股数的判断方法．
先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，不是“勾股数”，
∴选项不符合题意；
∵，
∴，，不是“勾股数”，
∴选项不符合题意；
∵，
∴，，不是“勾股数”，
∴选项不符合题意；
∵，
∴，，是“勾股数”，
∴选项符合题意；
故选：D．
12．D
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键．
运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意；
B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意；
C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意；
D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意．
故选D．
13．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
即，
整理得：．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
15． 2 ①②/②①
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可；
（2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③．
【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为；2；
（2）①当，时，∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故①正确；
②当，，时，
∵，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴t随b的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴，故②正确；
③当时，则，
∵，
∴，
∴；
∵a、b、c是三个相邻的正整数，，
∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），
∵，
∴，
解得，
∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个，
∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组，
∴满足条件的的个数为6，故③错误；
故答案为：①②．
16．25
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：25
17．
【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出后，根据折叠性质得，，由等边对等角推出，可证，再由勾股定理即可得解．
【详解】解：，，
，
折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是，
，，，，
，，
，
，即，
，
折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、勾股定理、等边对等角、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握折叠性质．
18．
【分析】连接AE，利用勾股定理得AE=BE，由此即可求出∠ABE的度数，再先求出扇形的圆心角∠DAB的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径．
【详解】如图，连接，
∵AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，∵AB=，AE=2，
∴AE=BE=2，
∴∠ABE=45°．
∴是等腰直角三角形，，
设圆锥底面半径为，
由题意得，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用．
19．此时灯塔与客轮的距离为．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：由题意，得．
在中，
答：此时灯塔与客轮的距离为．
20．（1）；（2）见解析，；类比应用：24
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）设，由表示出；
（2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值；
类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积．
【详解】（1）解：设，
故答案为：．
（2）由勾股定理，得，
，
故，
解得．
类比应用：
如图，过点作交的延长线于点，
则，
即，
解得，
所以，
所以．
21．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）证明，求得，据此求解即可；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用证明，推出，，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，据此求解即可；
（3）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，作于点，设，求得，利用直角三角形的性质求得，，同理利用证明，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，作于点，设，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
即，
整理得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
22．，
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
．
23．选手的徒步方向是南偏东方向
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向．
【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米），
选手经2小时的路程：（千米），
∵，
即
∴，
∵R在P北偏东方向，
∴
∴Q在P南偏东方向．
∴选手的徒步方向是南偏东方向．
24．南偏东度
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向．
【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里），
乙船1小时的路程：（海里），
∵，
即
∴，
∵C岛在A北偏东方向，
∴
∴B岛在A南偏东方向．
∴乙船航行的角度是南偏东方向．
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