第七章证明单元练习（含解析） 北师大版数学八年级上册期末复习

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第七章证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 的结论是（ ）．
A．在这条线段的垂直平分线上 B．线段的垂直平分线上有个点
C．这点在这条线段的垂直平分线上 D．这点在垂直平分线上
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．互补的角是邻补角 D．两锐角的和是锐角
4．如图，若，则，推理的理由是（ ）
A．同角的补角相等 B．同角的余角相等
C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．25的平方根是5 B．0.01的平方根是
C．只有正数才有算术平方根 D．平方根是其本身的数只有0
6．如图，下列条件无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（ ）
A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行
B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行
C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行
D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行
9．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，，平分，平分，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．，其中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
二、填空题
13．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
14．如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成 段．
15．命题“等角的余角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
16．如图，，为等边三角形，，则的度数为 ．
17．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数．
三、解答题
18．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由．
19．如图，已知点在同一直线上，．求证：
(1)；
(2)．
20．如图，与平行吗？为什么？与呢？
21．已知：如图，直线，和是直线被直线截出的内错角．求证：．
证明：（_______），
（_______）．
（_______）
（_______）．
22．综合与实践
【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．
归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系．
【独立思考】
（1）如图1，，，之间的数量关系是_______．
（2）如图2，，，之间的数量关系是_______．
【问题迁移】
（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________．
【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足．
（4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由．
23．一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即）
(1)计算下列各对数的值： ； ； ；
(2)观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？
(3)由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？
(4)根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．
24．根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：．
证明：（已知），
（______）
平分，（已知），
（______）
（已知）
（______）
（______）
《第七章证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B D D C D C C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②不共线的三点确定一个圆，为真命题．
③在同一个圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题．
故真命题的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理，理解相关性质定理是解题的关键．
2．C
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的可写成：如果点到线段两端距离相等，那么这点在这条线段的垂直平分线上．
故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定定理以及写出命题的题设和结论，正确写出命题的题设和结论成为解答本题的关键．
3．A
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据对顶角、平行线的性质、邻补角和锐角进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；
D、两锐角的和不一定是锐角，可能是直角，也可能是钝角，原命题是假命题；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了垂线的定义，根据，得出，即，推理的理由是同角的余角相等，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即推理的理由是同角的余角相等
故选：B
5．D
【分析】根据平方根的概念判断即可．
【详解】解：A、25的平方根是±5，故本选项命题是假命题；
B、0.01的平方根是±0.1，故本选项命题是假命题；
C、正数和0都有算术平方根，故本选项命题是假命题；
D、平方根是其本身的数只有0，故本选项命题是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的概念，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意；
D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，理解题意是解题关键
要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子．
【详解】A．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题．
B．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题．
C．当，时，，此时，，，即 ，说明“若，则”是假命题，该选项符合要求．
D．当，时，，不满足，不能作为该命题的反例．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
由平行线的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意；
C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意；
D、如图所示，
∵与不是同位角，也不是内错角，
∴两角相等不能判定，故D符合题意．
故选：D．
9．C
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
10．C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可得平分，即可判断③；根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得 ，进而可得，即可判断①④；最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，而，即可判断②，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
故③正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①④正确；
∵，
∴，
而，
故②不正确；
所以，上列结论，其中正确的有3个，
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了平行线的判定，由判定方法逐一判定即可．
【详解】解：A.因为，所以，故不符合题意；
B.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意；
C.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意；
D.因为，与是同位角，所以，故符合题意；
故选：D．
12．B
【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．
13．2401
【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可．
【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；
由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
14．
【分析】将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．
【详解】∵将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有；
将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有；
∴将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
15．真
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据余角的性质判定逆命题的真假即可．
【详解】解：“等角的余角相等”的逆命题是：“如果两个角的余角相等，那么这两个角相等”，它是真命题．
故答案为：真．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及余角的性质，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
16．/20度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据等边三角形的性质求得的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例．
【详解】解：当时，，是素数；
当时，，，不是素数．
故答案为：
18．，理由见解析
【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
【详解】解：，理由如下：
，，
（平行公理）．
19．(1)见详解
(2)见详解
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．
（1）首先根据平行线的性质可得，再加上可利用证明，
（2）根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，
，
．
（2）证明：∵，
，
，
即．
20．见解析，;
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握运用这些判定是解题关键．
根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行判定即可；
【详解】解：∵
∴，
又∵
∴
又∵，，
∴．
21．已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换
【分析】本题考查了平行线．熟练掌握平行线性质，是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等，结合对顶角性质，等式性质，即可证明．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
（对顶角相等）
（等量代换）．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换
22．（1）（2）（3）（4）
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键．
（1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断；
（2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论；
（3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断；
（4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图3，
∵分别是的角平分线，
∴，
由（1）得，
由（2）得，
∴，
则，
故答案为：；
（4），理由：
如图4，过C作，则，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
23．(1)，，
(2)，
(3)
(4)见解析
【分析】（1）主要掌握幂的运算是关键，利用、和，即可得出结论；
（2）结合题意结合幂的乘法法则，利用题中对数的定义得到、和，代入等式，即可得出结论；
（3）将（2）中等式替换为字母表示，设为，为和为，即可整理得到一般规律为．
（4）设，，利用幂乘积的运算 “底数不变指数相加” 得到，在利用对数转化，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
，
，，．
故答案为，，．
（2）由（1）可知，
，，，
，
，，，，
．
（3）一般规律：
．
（4）设，，
可得：，，
由幂乘积运算可知：，
，即．
【点睛】本题关键是掌握对数和指数的互相转化，即，转化为，其次，要掌握幂的运算．
24．垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ．
【分析】本题考查了平行线的判定方法，余角的性质等；结合垂直的定义、角平分线的定义及余角的性质得，由平行线的判定方法，即可得证．
【详解】证明：（已知），
（垂直的定义）,
平分，（已知），
（角平分线的定义）,
（已知）,
（等角的余角相等）,
（内错角相等，两直线平行）,
故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ．
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