第二章一元二次方程单元练习（含解析）北师大版数学九年级上册期末复习

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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．方程的解是（ ）
A． B．， C． D．，
3．用配方法解方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则+的值是（　　）
A． B． C．或2 D．或2
5．下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
7．随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩偶平均每天可售出80个，每件盈利10元，经调查发现，售价每涨1元则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊猫玩偶售价上涨元，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　）
A．1轮后有个人患了流感
B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程
D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感
10．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若m是方程的一个根，则的值为 ．
14．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
15．若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ．
16．若（x2+y2﹣1）2＝9，则x2+y2的值为 ．
17．方程的两根分别是m，n，则的值是 ．
三、解答题
18．南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台30元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为40元时，平均每月售出600台；若每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台．
(1)若每台小风扇的售价为38元，则每月可卖出___________台．
(2)该商店决定降价销库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为4800元？
19．我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式．
21．用适当的方法解下列方程：
(1) (x＋1)2－6＝0；
(2)2x2－5x＋2＝0；
(3)x2＋2x＋2＝0.
22．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．
23．解方程：
（1），
（2）．
24．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
《第二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B B A C D B
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意；
B．中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意；
C．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
D．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查“因式分解法”解一元二次方程，根据方程特点，用“因式分解法”进行求解即可．解题的关键是能够根据所给方程特点选择合适的求解方法．
【详解】解：
移项得：，
因式分解得：，
解得：，．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．根据配方法的步骤求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
+====；
②m=n时，+=2.
故选D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键.
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式；
①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程；
②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程；
③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程；
④有2个未知数，故④不是一元二次方程；
⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程，
综上所述，共有2个一元二次方程，
故选：B．
6．B
【分析】如果宿舍有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
【详解】解：∵宿舍有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=56．
故选 B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算宿舍共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设熊猫玩偶售价上涨元，则销售量为个，每件熊猫玩偶盈利元，再根据总盈利900元列出方程即可．
【详解】解：设熊猫玩偶售价上涨元，则销售量为个，每件熊猫玩偶盈利元，
由题意得，，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意可得方程为；
故选C．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数．
【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人，
∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意；
∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意；
根据题意得：，即，结论C不符合题意；
解得：（不符合题意），
∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
【详解】解：因为是一元二次方程的实数根，
则，，
故选：B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记， ．
11．A
【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
故先：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根．
12．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵实数满足，
∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为，
故选：A．
13．2023
【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可．
【详解】解：由题意知：，即，
∴
=2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．
14． 5x2+8x﹣2＝0 5 8 -2
【分析】将等式左边利用整式的乘法法则计算，再整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．
故答案为：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2．
【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，整式的乘法计算法则，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答．
【详解】
解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得，，
故答案为3
16．4
【分析】令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求得．
【详解】解：令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，
∴a-1＝±3，
∴a＝-2或a＝4，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，即把某个式子看做一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．
17．
【分析】本题主要考查根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+．
【详解】解：∵的两根分别是m，n，
∴，
∴．
18．(1)700
(2)36元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台”，列式计算即可；
（2）设每台小风扇的售价定为x元，根据“每台小风扇的售价每下降1元，则每月多售出50台”即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：台，
即每台小风扇的售价为38元，则每月可卖出700台；
故答案为：700
（2）解：设每台小风扇的售价定为x元，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：当每台小风扇的售价定为36元时每月利润为4800元．
19．(1)，
(2)，，，
【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解；
（2）设，则或，由此即可求解．
【详解】（1）解：（1）设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，此时方程无解，
∴原方程的解是，．
（2）解：设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，．
∴原方程的解是，，，．
【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．
20．
【分析】由正比例函数过点，可求得k的值，再由函数图象经过第一、三象限，可确定k为正，从而最终确定k的值，从而得到正比例函数解析式．
【详解】过点，
，
解得：，，
由于函数图象经过第一、三象限，所以，
故不合题意，
，
故所求正比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的图象与性质，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．
21．（1）x1＝－1＋2，x2＝－1－2.（2）x1＝2，x2＝.（3）x1＝－＋，x2＝－－.
【详解】分析：
（1）根据本题特点，用“直接开平方法”解答比较简单；
（2）根据本题特点，用“因式分解法”解答比较简单；
（3）根据本题特点，用“公式法”解答比较简单.
详解：
(1)用直接开平方法比较简便．
(x＋1)2－6＝0，
整理，得(x＋1)2＝12，
开平方，得x＋1＝±2，
所以x1＝－1＋2，x2＝－1－2.
(2)用因式分解法比较简便．
2x2－5x＋2＝0,
原方程可变形为(x－2)(2x－1)＝0，
所以x－2＝0或2x－1＝0，
所以x1＝2，x2＝.
(3)用公式法比较简便．
x2＋2x＋2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2－4ac＝12>0，
代入公式，得x＝.
∴x1＝.
点睛：熟悉“一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法和（4）因式分解法，并能根据方程的特点选择合适的方法”是解答本题的关键.
22．(1)k= ;(2)k> ;(3)k<.
【分析】（1）（2）（3）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系确定k的取值.
【详解】解：∵a=1，b=2（k-1），c=k2+2k-4，
∴△=b2-4ac=[2（k-1）]2-4×1×(k2 +2k-4)=-16k+20，
（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即-16k+20=0，
解得k=．
（2）∵方程没有实数根，
∴△＜0，
即-16k+20＜0，
解得k>．
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即-16k+20＞0，
解得k<．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
23．（1）x1=x2=-5；（2），
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【详解】解：（1），
，
∴x1=x2=-5；
（2），
，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
24．（1）2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2；（2）不存在；理由见解析．
【分析】（1）设秒后，可使△PCQ的面积为8cm2，根据三角形的面积公式即可列式求解；
（2）设秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的，则△PCQ的面积是△ABC的面积的，根据三角形的面积公式列方程，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：（1）设秒后，△PCQ的面积为8cm2，
由题意，得，
解得，，
所以，2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2；
（2）不存在．理由如下：
设秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的，则△PCQ的面积是△ABC的面积的．
由题意，得，即，
由于，方程没有实数根，
所以，不存在某一时刻使四边形APQB的面积等于△ABC面积的．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式求解．
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