第三章概率的进一步认识单元练习（含解析）北师大版数学九年级上册期末复习

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第三章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．下列试验能用编号为“l～6”卡片(均匀)搅匀作为替代试验的有( )
①抛掷四面体 ②抛掷两枚硬币 ③抛掷一枚骰子
④在“黑桃5一黑桃10'中任抽一张牌 ⑤转四等分的圆转盘
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
6．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．同时抛两枚质地均匀的硬币，有且只有一枚硬币正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2，则 （ ）
A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．以上都有可能
9．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．40个
11．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0．2附近，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题
13．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
14．从1﹣9的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是 ．
15．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为 ．
16．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示：
种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 …
发芽种子个数 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 …
发芽种子频率（结果保留两位小数） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 …
根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗．
17．车辆经过长风收费站时，4个收费通道A，B，C，D中，可随机选择其中一个通过，两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率是 ．
三、解答题
18．两人一组，每人在纸上随机写一个不大于5的正整数．两人所写的正整数恰好相同的概率是多少？你是怎么计算的？
19．有两个信封，每个信封内各装有四张完全相同的卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8四个数.甲，乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于16，则甲获胜，否则乙获胜.
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
20．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），如图所示．并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．小红和妈妈购买了168元的商品，请你分析计算：
颜色 奖品
红色 玩具熊
黄色 童话书
绿色 彩笔

(1)小红获得童话书的概率是多少？
(2)小红获得奖品的概率是多少？
21．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
(1)转动转盘，转出的数字不大于5的概率；
(2)小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．
22．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
23．在甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外其它完全相同的小球，其中，甲盒子装有2个白球，1个红球；乙盒子装有2个红球，1个白球．
（1）将甲盒子摇匀后，随机取出一个小球，求小球是白色的概率；
（2）小华和同桌商定：将两个盒子摇匀后，各随机摸出一个小球．若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则同桌获胜，请用列表法或画出树状图的方法说明谁赢的可能性大．
24．为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
《第三章概率的进一步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B C C A A B
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查利用频率估计概率．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中黄球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中黄球可能有个．
故选D．
3．C
【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．
【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C．
【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．
4．B
【分析】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解题的关键．
直接根据概率公式解答即可．
【详解】解：∵共有9个小正方形，黑色的有3块，
∴击中黑色小正方形的概率．
故选：B．
5．B
【详解】①因为是四面体,只有四个数,所以不行,②因为硬币只有两面,所以不行,③因为一枚骰子是六面,所以可以,④因为黑桃5-黑桃10共有6张,并且除数字以外,其他都一样,所以可以, ⑤因为不是六等分,所以不可以,故正确选B.
6．C
【详解】列表如下:
1 2 3 4
1 ——
2 ——
3 ——
4 ——
由上表可知，所有等可能的结果有12种，其中数字之和为5的情况有4种，∴P(小球标号之和为5)．
7．C
【详解】
画树形图，由图可知：同时抛两枚质地均匀的硬币，共有“正、正”、“正、反”、“反、正”和“反、反”四种等可能事件发生，其中有且只有一枚硬币正面朝上的情况有2种，所以P（有且只有一枚硬币正面朝上）=，故选C.
点睛：对于这类由若干个等可能事件组成的概率问题，我们通常通过列表或画树形图来分析解决.
8．A
【分析】先根据甲和乙给出的图形，求出黑色区域在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图甲可知，黑色区域的面积相当于6块方砖，共有16块方砖，
∴黑色区域在整个地板中所占的比值为：，
∴在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率P1=；
由图乙可知，黑色区域的面积相当于3块方砖，共有9块方砖，
∴黑色区域在整个地板中所占的比值为：，
∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率P2=，
∵，
∴P1＞P2；
故选：A．
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
9．A
【分析】本题主要考查了列举法或树状图法求概率；利用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：列树状图得：
共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是，
故选A．
10．B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率．
【详解】解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为．
因此，蓝色球的数量为：（个），
故选：B
11．A
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，
恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是，
故选：A．
12．C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：依题意有：=0.2，
解得：n=8．
故选：C．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
13．/
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
14．
【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【详解】∵1﹣9的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，
则抽到奇数的可能性是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，关键是求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值．先求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
【详解】解：黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为20，
毽子恰落在黑色方砖上的概率为（A）．
故答案为：．
16．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即概率．由表格可知发芽种子频率的稳定值为，所以发芽种子概率，不发芽种子概率，即可求解．
【详解】解：由题可知：发芽种子概率，
所以不发芽种子概率，
故这种植物种子不发芽的有颗．
故答案为：．
17．
【分析】用树状图列举出所有可能的情况，确定选择不同通道通过的发生的次数，利用概率的计算公式解答．
【详解】设两辆车分别记为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=．
故答案为：．
【点睛】此题考查用列举法求事件的概率，概率的计算公式，利用树状图列举出所有的情况是解题的关键．
18．，过程见解析
【分析】
列举出所有情况，看两人所写的正整数恰好相同的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解： 列表如下：
由表格可得共有25种情况，两个数相同的有5种情况，所以两人所写的正整数恰好相同的概率为．故答案为．
【点睛】本题考查用列表的方法解决概率问题；得到两人所写的正整数恰好相同的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
19．(1)=,树状图见详解；（2）不公平，原因见详解.
【分析】(1)列出树状图求解即可；
(2)分别求出与的值，判断、是否相等可得答案.
【详解】解:(1)利用列表法得出所有可能的结果, 如下表:
由上表可知, 该游戏所有可能的结果共16种,其中两卡片上的数字之积大于16的有7
种, 所以甲获胜的概率为=,
(2)这个游戏对双方不公平,
因为甲获胜的概率=, 乙获胜的概率=,≠,
所以,游戏对双方是不公平的.
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率,概率相等就公平, 否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
20．(1)
(2)
【分析】（1）看黄色部分占整份数的多少，即可求得所求的概率；
（2）看有颜色部分占整份数的多少，即可求得获得奖品的概率．
【详解】（1）黄色在16份中占了2份，则小红获得童话书的概率为；
（2）三种颜色在16份中共占了6份，则小红获得奖品的概率为；
【点睛】本题考查简单几何概率的求法，体现了数学在实际生活中的应用，掌握概率的计算公式是关键．
21．(1)
(2)公平；理由见解析
【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于13的概率，再进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，不大于5的结果有4种，
转出的数字不大于5的概率；
（2）解：公平；理由如下：
转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种，
（能构成等腰三角形）；
构成的三角形的周长小于13的结果有2种，
（构成的三角形的周长小于13），
这个游戏规则对双方公平．
22．（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）先列表得到所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
试题解析：（1）列表：
共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；
（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．
考点：列表法与树状图法．
23．（1）；（2）同桌获胜获胜的可能性大，见解析
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）由列表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，即可得出答案．
【详解】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
∴P（摸出白球）＝
（2）根据题意，列表如下：
乙甲 红1 红2 白
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白）
红 （红，红1） （红，红2） （红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，∵＜，
∴同桌获胜获胜的可能性大．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意作出表格写出所有情况.
24．（1）500，36°（2）见解析（3）不合理；理由见解析
【分析】（1）由A等级的学生除以所占的比例求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论．
【详解】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500 150 100 50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
【点睛】本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和是扇形统计图，解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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