第一章特殊平行四边形单元练习（含解析）北师大版数学九年级上册期末复习

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第一章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（　　）
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
2．如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　）

A．4 B．2．5 C．3 D．
3．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）

A． B． C．或 D．或
4．下列命题中，真命题是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是( 　 )
A．5cm B．2.5cm C．10cm D．15cm
6．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（　　）
A．16cm B．22cm C．26cm D．22cm或26cm
7．下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果，那么；
（3）若点在第三象限，则点在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件使平行四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
9．在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( )
①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
10．如图，正方形的边长为1，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 的最小值为 ．
14．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）．
16．如图，的对角线交于点，请你添加一个条件，使是矩形，这个条件可以是： （图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF= cm．
三、解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点．
(1)∠BCD的大小＝______(度)；
(2)∠A的大小＝_____(度)；
(3)求∠ECD的大小．
19．如图，在□ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DFBE是矩形．
20．如图，在等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝DO，连接DE、DF、GE、GF．
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
21．直角三角形的一个角等于，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，求正方形的边长．
22．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
(1)判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；
(2)要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　．
23．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
(1)求证：△HCE是等腰三角形．
(2)若，求HD的长度．
24．如图，在菱形中，，求菱形的周长．
《第一章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C A D B B A B
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】根据三角形中位线定理可得ED//FC，BC=2DE，结合已知EF∥DC，可得四边形CDEF是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得AB=2CD，从而可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，再根据四边形DCFE的周长为25cm，可得BC=25﹣AB，再利用勾股定理进行求解即可.
【详解】如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC，BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键.
2．B
【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，先由三线合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，，是的高线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴点D为的中点，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
4．C
【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
5．A
【分析】利用条件找到最短边即为30°角的对边，最长边为斜边，由此作得图形，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，得到斜边AB的长度，再利用斜边中线等于斜边一半求得中线长度．
【详解】根据题意画图，∠B=30°，AC=5cm，CD为中线，如图所示：
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=5cm
∴AB=2AC=10cm
∵直角三角形中斜边中线等于斜边的一半
∴CD=AB=5cm．
故选A．
【点睛】考查特殊角度的直角三角形求中线的长度，学生需要掌握特殊角30°的直角三角形的性质，并对直角三角形的斜边中线等于斜边一半有非常熟悉的认识，才能解答本题．
6．D
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB，
如图（1）AB=AE=3，则此矩形的周长为3+3+8+8=22；
同理可得CE=BC，
如图（2）CB=CE=5，则此矩形的周长为5+5+8+8=26，
则此矩形的周长为22cm或26cm．
故选D．
7．B
【分析】根据直角三角形的特点、二次根式的性质、平面直角坐标系、正方形、三角形全等等知识分别进行判断即可．
【详解】解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；
（2）符合二次根式的性质，命题正确；
（3）∵点在第三象限，
∴，
∴，
∴点在第一象限，故命题正确；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故命题错误；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．
正确的有3个，
故选B．
【点睛】此题考查了直角三角形，二次根式，平面直角坐标系，正方形，三角形全等等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
8．B
【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解： A、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、时，∠BAD＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、时，平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．
9．A
【分析】当 ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
【详解】根据题意得：当 ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD，
∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出 ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．
10．B
【分析】依据四边形为平行四边形，以及，即可得到平行四边形是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形是菱形，可得；根据四边形是菱形，可得，进而得到．
【详解】解：正方形的边长为1，
，，，．
由旋转的性质可知：，，，，
，，，
和均为直角边为的等腰直角三角形，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故①正确；
，，
，
的面积，故②正确；
四边形是菱形，
，故③不正确；
四边形是菱形，
，
，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
11．B
【分析】先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可判断②；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出和的值，由此即可判断⑤．
【详解】解：四边形是正方形，且，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
，结论①正确；
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
，结论②正确；
，
，
又，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，结论④错误；
，
，
，
，结论⑤错误；
综上，正确结论的个数是3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键．
12．C
【分析】根据矩形的性质得到，由折叠得，设，则，得到，求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形与折叠，熟记矩形的性质是解题的关键．
13．12
【分析】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接，根据等边三角形和菱形的对称性知点E、B、D共线，根据，得，得是等边三角形，得，，根据，得，得，得，根据，得，∴，根据，得，得，得，得，根据，得的最小值为12．
【详解】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接，
则，
∴点E在垂直平分线上，
∵菱形中，与互相垂直平分，
∴点E、B、D共线，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点M运动到上时，取得最小值，为，
∴，
即的最小值为12．
【点睛】本题主要考查了菱形和三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
14．45
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
15．（答案不唯一）
【分析】根据菱形的判定即可解．
【详解】是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC，
∵AO=CO
∴△AOF≌△COE(AAS)
∴AF=CE
又∵AF=CE
四边形AECF 是平行四边形，
又∵
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定等，熟练掌握菱形判定是解决问题的关键．
16．
【分析】根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即可
【详解】四边形是平行四边形
若
则四边形是矩形
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
17．
【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OD，证明EF是△AOD的中位线，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OD=BD，AD=BC=12，
∴BD==13，
∴OD=，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=OD=；
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．
18．(1)22.5；(2)22.5；(3)∠ECD＝45°．
【分析】（1）求出∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
（2）根据等角的余角相等求得∠A的大小；
（3）根据三角形内角和定理求出∠B＝67.5°，根据直角三角形斜边上中线性质求出BE＝CE，推出∠BCE＝∠B＝67.5°，代入∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD求出即可．
【详解】(1)∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
故答案是：22.5；
(2)∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝22.5°，
故答案是：22.5；
(3)∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠BCE和∠BCD的度数，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到对边平行，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，可得DF∥BE，然后可证四边形DFBE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴，
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴，
∴，
∴DF∥BE，
∵AD∥BC，DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴∠DEB=90° ，
∴四边形DFBE是矩形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，最小值为4
【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、∠ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；
（2）过点D作D⊥AC于，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
【详解】（1）证明:连接CD，如图1所示.
∵为等腰直角三角形，，
D是AB的中点，
∴
在和中
，
∴ ，
∴,
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点，，
∴，且，
∴四边形EDFG是正方形;
（2）解:过点D作于，如图2所示.
∵为等腰直角三角形，，
∴点为AC的中点，，
∴ (点E与点重合时取等号).
∴
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出．
21．
【分析】先计算出直角三角形的三边，利用全等的性质，即可求解．
【详解】解：直角三角形的一个角是，斜边长为4．
．
．
正方形是四个这样的直角三角形拼成的．
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，含特殊角的直角三角形性质、三角形全等的性质，解题的关键在于利用所对的直角边是斜边的一半．
22．(1)详见解析；
(2)AD=BC
【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得EFGH，EF=GH后，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）由（1）中的结论，再根据菱形的判定定理即可得到条件．
【详解】（1）解：四边形EFGH是平行四边形；理由如下：
在△ACD中，∵G、H分别是CD、AC的中点，
∴GHAD，GH= AD，
在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EFAD，EF= AD，
∴EFGH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．
理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点， G、F是CD、BD的中点．
∴EF= AD，FG=BC，
∵AD=BC，
即EF=FG，
又∵四边形EFGH是平行四边形．
∴ EFGH是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定、三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的判定方法和三角形中位线的性质是解答的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由折叠的性质得，再根据平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴△HCE是等腰三角形
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
由折叠的性质得，，
在Rt△CGH中，设，则
∴，
解得，
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解．
24．周长是
【分析】由菱形的性质可得，，，再由勾股定理求得的长，继而求得答案．
【详解】解：∵在菱形中，，，
，，，
，
菱形的周长为(cm)．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
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