第四章图形的相似单元练习（含解析）北师大版数学九年级上册期末复习

第四章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（????）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（????）
A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似
C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似
3．如图，四边形false中，false，false，false，若false，false，则false的值为（????）
A．false B．2 C．false D．false
4．下列说法正确的是(　　)
A．所有的菱形形状都相同 B．所有的矩形形状都相同
C．所有的正方形形状都相同 D．所有的梯形形状都相同
5．如图，在false中，false、false分别为false、false边上的点false，点false为false边上一点，连接false交false于点false．则下列结论中一定正确的是（???）
A．false B．false C．false D．false
6．下列各组线段（单位：false）中，成比例线段的是（????）
A．false B．false C．false D．false
7．将false沿false方向平移至false，点false，false，false的对应点分别是false，false，false，使得false，则false与false的周长之比为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false∽false，且false，则DF的长为（????）
A．1cm B．false C．6cm D．6cm或false
9．在如图所示的三个矩形中，相似的是（????）
A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似
10．如图，false是false的边false上异于false、false一点，过点false作直线截得的三角形与false相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．如图，false和false是位似图形，点O是位似中心，false ．若点A的坐标为false，则点C的坐标为（　　）
A．false B．false C．false D．false
12．已知两个相似四边形的相似比是false，较小四边形的周长为false，则较大四边形的周长为（????）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
13．《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：false与false相交于点false，false．若点false到false的距离为false，点O到false的距离为false，蜡烛火焰倒立的像的高度false是false，则蜡烛火焰的高度false是 false．
??
14．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF= cm．
16．两个相似多边形的面积比是false，则它们的周长比是 ．
17．如图，在false中，点false分别在边false上，且false，若falsecm，则false cm．
三、解答题
18．如图，在false的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和false的顶点均为格点，请你仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)如图1，在false的内部作false，使false和false位似，且位似中心为点O，位似比为false；
(2)连接图1中的false，则线段false的长度是______．
(3)如图2，在AC上取点P，使得false，连接AO，作出点P关于AO的对称点Q．
19．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形false是矩形false的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
??
(1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由．
(2)边长为false的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
20．如图，false绕点false按顺时针方向旋转一定的角度得到false，点false在边false上，连接false，求证：false．
21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分falsem，搅拌棍A到底端D处的长度为false，最后测量出桶的高false为false，圆桶内壁的底面直径为false．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π）
22．如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗?为什么?
23．已知△ABC,请你以点O为位似中心放大,使新图形与原图形的对应线段的比是2:1(不要求写作法).
24．如图所示，将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位得到△DEF，如果AB＝4，∠ABC＝90°，且△ABC的面积为6，试求图中阴影部分的面积．
《第四章图形的相似》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
C
C
C
C
B
D
题号
11
12








答案
C
B








1．B
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】由勾股定理得：ACfalse，BC=2，ABfalse，∴AC：BC：AB=1：false．
A．三边之比为1：false：2false，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B．三边之比：1：false，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C．三边之比为false：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D．三边之比为2：false，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
2．C
【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意；
B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意；
D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DFfalseBE，垂足为F，如图所示，易发现false，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用false即可求出DF、BF.
【详解】延长AD、BC交于点E，过点D作DFfalseBE，垂足为F，如图所示，
false，false，
false，
false,
又false，
false，
设DE=x,CE=y,
false,
整理可得关于x,y的二元一次方程组，
false，
解得false，
false
false,
false
false
false
故选C.
【点睛】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.
4．C
【详解】A选项：所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故形状不一定相同，故是错误的；
B选项：所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故形状不一定相同，故是错误的；
C选项：所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D选项：所有的梯形是形状不唯一确定的图形，故形状不一定相同，故是错误的；
故选C.
5．C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：false在false中，false，
falsefalse，
故选项A结论错误，不合题意；
false在false中，false，
falsefalse，
falsefalse不一定等于false，
falsefalse不一定正确，
故选项B结论错误，不合题意；
false在false中，false，
falsefalse，
故选项C结论正确，符合题意；
false在false中，false，
falsefalse，
故选项D结论错误，不合题意；
故选C．
6．C
【分析】此题考查了比例线段，若在四条线段中，存在其中两条线段长度的比，等于另外两条线段长度的比，则称这四条线段是成比例线段，逐一判断即可．
【详解】解：A、false，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、false，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
C、false，故四条线段成比例，故本选项符合题意；
D、false，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据平移的性质得到，从而可得到，利用相似三角形周长于相似比可得答案．
【详解】解：false将false沿false方向平移至false，
false，
false，
false的周长falsefalse的周长false，
false，
false的周长falsefalse的周长false，
故选：C．
8．C
【详解】试题解析：∵△ABC∽△DEF，
∴false，
∵AB=2false，AC=4false，DE=3false，
∴false
解得DF=6false．
故选C．
9．B
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可．
【详解】解：①②③的邻边之比分别为：false，
∴相似的是②③，
故选：B．
10．D
【分析】过点P 作作PE∥BC，则△AEP∽△ACB（如图1）；作PE∥AC，则△BPE∽△BAC（如图2）；作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC（如图3）；作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC（如图4），由此即可解答．
【详解】解：（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；
（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；
（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；
（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似；②两边的比相等，夹角相等的两个三角形相似．
11．C
【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形false和false′以原点为位似中心，相似比是k，false上一点的坐标是false，则在false中，它的对应点的坐标是false或false，进而求出即可．
【详解】∵false和false是位似图形，点O是位似中心，false ．
点A的坐标为false，
∴点C的坐标为false，
故选C．
12．B
【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比即可求解．
【详解】解：false两个相似四边形的相似比是false，较小四边形的周长为false，
false较大的一个多边形的周长为false，
故选：B．
13．false
【分析】先证明false，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到false，即可得到答案．
【详解】解：∵false
∴false
∴false
又∵点O到false的距离为false，点O到false的距离为false，
∴false，
∴false．
故答案为：false．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．
14．1.2
【分析】设被称物的重量为false，砝码的重量为false，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为false，砝码的重量为false，依题意得，
false，
解得false，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
15．4
【分析】延长CF交AB于点H，连接DH．利用直角三角形斜边中线的性质求出CH，再根据三角形中位线定理推出DH∥AC，AC=2DH，可得false，推出FG=2FH，由此即可解决问题；
【详解】解：延长CF交AB于点H，连接DH．
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴CH是△ABC的中线，
∵∠ACB=90°，
∴CH=falseAB=6cm，
∵BD=CD，BH=AH，
∴DH∥AC，AC=2DH，
∴false，
∴CF=2FH，
∴CF=falseCH=4cm．
故答案为：4
【点睛】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识可解决问题，属于中考常考题型．
16．false
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比计算即可．
【详解】∵两个相似多边形的面积比是false，
∴相似多边形的相似比为false
∴它们的周长比是false．
【点睛】本题考查了相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
17．6
【分析】由false再结合公共角∠A =∠A，可证得falseADE∽falseABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：∵∠A=∠A，false
∴falseADE∽falseABC
∴false
∵falsecm
∴false6cm.
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，数量掌握并灵活应用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)将详解
(2)false
(3)见详解
【分析】（1）利用位似变换的性质找出false，false，false的中点false，false，false，连接即可求得图形；
（2）利用勾股定理求值即可；
（3）取格点M，N，连接false交false于点P，点P即为所求，取格点J，K，连接false，取格点E，F，连接false交格线于点W，连接PW交JK于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）如图1所示，false即为所求，
（2）由图可知false；
（3）如图2所示，点P，点Q即为所求，
【点睛】本土主要考查位似作图，轴对称变换以及勾股定理的应用，关键在于熟练运用数形结合的思想捷星解决问题．
19．(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为false与false．
(2)不存在，理由见解析。
【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是false2，面积比就应该是false，所以不存在“减半”正方形．
【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为false与false．
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为false，false，则false，
由①，得：false，③
把③代入②，得false，
解得false，false．
所以“减半”矩形长和宽分别为false与false．
（2）解：不存在，理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为false时，面积比必定是false，
所以正方形不存在“减半”正方形．
20．见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得false，进而得false，false，false，即可证false．
【详解】证明：根据旋转的性质，得false，
false，
false，
false．
由false，
得false，
false．
21．桶内所装液体的体积为false立方米．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得false，再利用圆柱的体积公式计算即可解答．
【详解】解：由题意得，false，
false，
false，解得：false，
∴桶内所装液体的体积false（立方米）．
答：桶内所装液体的体积为false立方米．
22．相似．
【分析】通过观察发现∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，设小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算出这两个角的两边长，若两边对应成比例，则这两三角形相似，反之，则不相似．
【详解】设小正方形的边长为1，
则false，false ，A1C1=4，A2C2=2，并且∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，
∵false , ∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，
∴△A1B1C1∽A2B2C2.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，根据图形证得false , ∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，是解题的关键．
23．见解析
【分析】分别连接OA、OB、OC并延长到A′、B′、C′，使OA′=OA、OB′=OB、OC′=OC，然后顺次连接A′、B′、C′即可得到所要求作的三角形．
【详解】如图所示，
△A′B′C′就是所要求作的三角形.
【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握作图-位似变换的作图方法.
24．false
【分析】根据△ABC的面积求出BC的长，根据平移的性质计算出BD的长，再根据平行线分线段成比例定理求出BG的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：因为S△ABC＝falseAB·BC＝6，
所以BC＝3，
由平移可知AD＝2，BC∥EF，
所以BD＝AB－AD＝4－2＝2，
所以false＝false，
所以BG＝falseBC＝false，
所以S△BDG＝falseBD·BG＝false×2×false．
【点睛】本题考查了平移的性质和平行线分线段成比例定理，求出BG的长是解决此题的关键．