第六章反比例函数单元练习（含解析） 北师大版数学九年级上册期末复习

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第六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上． 则反比例函数的解析式是（ ）

A． B． C． D．
3．已知反比例函数，则这个函数的图像一定经过（　　）
A．(2，1) B．(2，－1) C．(2，4) D．
4．如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
5．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k≠0)图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，的边，边上的高，的面积为3，则与的函数图像大致是（ ）
A． B． C． D．
7．发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知,，，则整个冷却塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（ ）
A．不大于1.5 m2 B．不小于1.5 m2
C．不大于m2 D．不小于m2
9．已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值，则表中“______”处的数为（ ）
x 5
y 1 3 ____
A． B． C． D．2
10．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（ ）
20 30 40 50 60 70 80 90 100
5 … … … … … 1
A． B．当，
C．图象经过一、三象限 D．图象经过点
11．已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x之间的关系为（ ）
A．成正比例 B．成反比例
C．既成正比例又成反比例 D．既不成正比例也不成反比例
12．反比例函数的图象经过点，，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小无法比较
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是 ．
14．如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，若，则 ．
15．如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ．
16．如图，点A在反比例函数的图象上．过点A作直线AB交x轴于点B，交y轴交于点C，连接OA．若，的面积是2，则k的值为 ．
17．如图，已知点分别在反比例函数的图象上，则的值为 ．
三、解答题
18．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
(3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
19．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
20．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.
(1)直接写出v与t的函数关系式；
(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计)，求甲地与B加油站的距离．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．
23．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；
(2)连接，求点到线段的距离．
24．反比例函数的图像经过点、．
(1)求这个函数的解析式及的值；
(2)请判断点是否在这个反比例函数的图像上，并说明理由．
《第六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B A B B B B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，证明△AEO∽△ODC，运用反比例函数k的几何意义，相似三角形面积之比等于相似比的平方，确定相似比为2，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明△BCG≌△AOE，得到BF-CD=BG=AE，构造方程解答即可．
【详解】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠OAE=∠COD
∴△AEO∽△ODC，
∴，
设A(m，)，
∴C(，)，
过点C作CG⊥BF，垂足为G，
∴CG∥OD，
∴∠COD=∠GCO，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC=AO，∠BCO=90°，
∴∠BCG+∠GCO=90°，∠AOE+∠COD=90°，
∴∠BCG=∠AOE，
∴△BCG≌△AOE，
∴AE=BG，
∴BF-CD=BG=AE，
∴3-(-2m)=，
整理得，，
解得，
所以其纵坐标分别为，
其和为2+1=3，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的几何意义和性质，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关键．
2．C
【分析】设,求得DC=,AE=，得到DB=6-,BE=4-,根据三角函数的定义得到tan∠BAC= tan∠BED，根据平行线的判定定理得到DE∥AC,连接BF，根据折叠的性质得到BH=FH，根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2，于是得到结论.
【详解】
∵四边形OABC是矩形，OA=6,OC=4,
∴BC=OA=6,AB=OC=4,
∴,
设,
∴DC=,AE=,
∴DB=6-,BE=4-,
∴tan∠BED==,
∵tan∠BAC=,
∴tan∠BAC= tan∠BED，
∴∠BED=∠BAC,
∴DE∥AC,
连接BF,
∵将△DBE沿DE折叠，点B的对应点F正好落在对角线AC上,
∴BH=FH，
∴AE=BE=2,
∴,
∴k=12.
∴反比例函数的解析式.
故选C.
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.
3．A
【分析】由反比例函数解析式可知xy=2，即满足点的横坐标与纵坐标的积等于2的点在图象上．
【详解】由于2×1=2，故选项A符合题意，
由于2×（-1）=-2≠2，故选项B不符，
由于2×4=8≠2，故选项C不符，
由于（-）×2=-1≠2，故选项D不符，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是由解析式得出横坐标与纵坐标的积等于2的点在图象上．
4．C
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OC，OA∥BC，
∴△AOD的面积=△AOC的面积=20，
∵，
可设，
∴，
∴，
∴，
∴△AOE的面积为，
∵反比例函数的图像经过点A，
∴，解得：，
∵图像位于第一象限内，
∴k=24．
故选：C
【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．B
【详解】试题分析：当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可判定k＞0，所以﹣k＜0，即可判定一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．
6．A
【分析】根据三角形面积公式，得到之间的关系，根据函数关系以及实际意义，即可求解．
【详解】解：∵的面积为3，则，
∴，
∴与是反比例函数，
∴函数图像是双曲线，
∵，，
∴该反比例函数的图像位于第一象限．
故选：A
【点睛】此题考查了反比例函数的图像，根据题意求得函数关系是解题的关键，注意到边长大于0这个隐含条件．
7．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——发电厂的双曲线冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为．
【详解】解：设的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵y轴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F的横坐标为8，
∴，
∴整个冷却塔高度为．
故选：B．
8．B
【分析】设反比例函数关系式为，将点代入，即可得出反比例函数解析式，再将时，求S的值即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得，
，
解得：，
反比例函数关系式为，
当时，，
当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是将实际转化为函数问题是解题的关键．
9．B
【分析】设反比例函数解析式为，将代入求得解析式，再将代入解析式中求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为
将代入，可得，
∴反比例函数解析式为
当时，，
∴表中“______”处的数为，
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的性质以及待定系数法．
10．B
【分析】根据表格当电阻时，电流，设反比例函数为，由此求出电流与电路的电阻的关系，即可求解．
【详解】解：∵电流与电路的电阻是反比例函数关系，
∴设反比例函数解析式为，从表中可知电阻时，电流，
∴，
∴当时，；当时，，
∴，即选项错误；
当时，由得，
∴，即选项正确；
∵，
∴的图象在第一象限，即选项错误；
当时，，
∴图象不经过点，即选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的特点与实际情况中电阻与电流的关系是解题的关键．
11．B
【分析】先得到y与x之间的关系式，z与y之间的关系式，进而得到z与x之间的关系式，看符合哪类函数的一般形式即可．
【详解】∵y与x成正比例，z与y成反比例，
∴y=kx，z=，
∴y=，
∴kx=，
∴z=，
∴z与x成反比例.
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
12．B
【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：反比例函数中，随的大小而变化的情况应分与两种情况讨论，而不能笼统地说成“时，随的增大而减小；时，随的增大而增大”．在每个象限内，随的变化是一致的． 但在不同象限的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律．当时，第一象限点的纵坐标值都为正，第三象限点的纵坐标值都为负；当时，第二象限点的纵坐标值都为正，第四象限点的纵坐标值都为负．
根据反比例函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大，
又点和点在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
13．3（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大．
根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点，
∴，
∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点，
∴，
∴，
∴k的值可能是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
14．
【分析】设、，根据找到、之间的关系，最后表述出，整体代入求值即可．
【详解】解：设、，
∴
∴，，
∴，整理得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．
15．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
故答案为：．
16．-6
【分析】根据三角形的面积公式可得S△AOES△AOB=3，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥y轴，作AE⊥x轴，垂足为D、E，
∵，，，
∴，，
∵的面积是2，
∴S△COB=2 S△AOC=，
∴S△AOB=，
∴S△AOES△AOB=3，
而，
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义，求出△AOE的面积．
17．
【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出，进而可得出结论．
【详解】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵A、B分别在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质及相似三角形的判定和性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
18．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．
（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定和三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；
（3）由题意可得直线的解析式，然后根据图像可进行求解．
【详解】（1）解：∵过点，
∴，
即反比例函数解析式为，
当时，，即，
∵过和，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如下图，设点P为一次函数与x轴的交点，
当时，有，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则，
∵
，
∴，
解得或，
∴点N的坐标为或．
故答案为：或；
（3）如图，设与的图像交于、两点，
∵向下平移两个单位得，且，
∴，
将直线解析式与反比例函数解析式联立，
得，解得或，
∴，，
在A、两点之间或B、两点之间时，存在，
∴当函数值时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．
19．（1），；（2）第30分钟时注意力更集中
【分析】（1）分别从图像中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数解析式即可；
（2）根据（1）中求得的线段AB和曲线CD的函数关系式，分别求出第五分钟时与第三十分钟时的注意力指数，最后比较即可．
【详解】解：（1）设线段AB所在直线的解析式为，
把点代入，得，
∴；
设C、D所在双曲线的解析式为，
把点代入，得，
∴；
（2）当时，，
当时，，
∴，
∴第30分钟时注意力更集中．
【点睛】本题考查了函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，在根据自变量的值求算对应的函数值．
20．（1）v与t的函数关系式为（）；（2）①客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时．②甲地与B加油站的距离为220或440千米．
【分析】（1）利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式；
（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；
②分两种情况进行讨论：当A加油站在甲地和B加油站之间时；当B加油站在甲地和A加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设函数关系式为v=，
∵t=5，v=120，
∴k=120×5=600，
∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；
（2）①依题意，得
3（v+v-20）=600，
解得v=110，
经检验，v=110符合题意．
当v=110时，v-20=90．
答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；
②当A加油站在甲地和B加油站之间时，
110t-（600-90t）=200，
解得t=4，此时110t=110×4=440；
当B加油站在甲地和A加油站之间时，
110t+200+90t=600，
解得t=2，此时110t=110×2=220．
答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．
21．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)（-2，0）或（6，0）；
(3)或
【分析】（1）把点代入可得反比函数解析式，从而得到点B的坐标为（-2，-2），再把点，B（-2，-2）代入，可求出一次函数解析式，即可求解，
（2）设直线AB交x轴于点E，根据，即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴反比例函数解析式为；
∵点B的横坐标为，
∴，
∴点B的坐标为（-2，-2），
把点，B（-2，-2）代入，得：
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解： 如图，设直线AB交x轴于点E，
对于，当y1=0时，x=2，
∴点E（2，0），
设点D的坐标为（a，0），则，
∵，，
∴，
解得：a=-2或6，
∴点D的坐标为（-2，0）或（6，0）；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交，
∴当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题；
（1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
又∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
设一次函数的表达式为，将，代入，
得，
解得
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如解图，
作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长，
∵与关于y轴对称，
∴，
又∵，
∴直线的表达式为．
令，得，
∴当的值最小时，点P的坐标为．
23．(1)，，
(2)点到线段的距离为
【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【详解】（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
24．(1)，
(2)在，理由见解析
【分析】（1）根据反比例函数图像与性质，将点、代入反比例函数列方程求出及的值即可得到答案；
（2）如果点在反比例函数图像上，则将点的坐标代入解析式使等式成立；反之，点不在图像上，则等式不成立，即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图像经过点、，
，即反比例函数的解析式为，
；
（2）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
由（1）知反比例函数的解析式为，
将代入解析式可知，
点在这个反比例函数的图像上．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法确定函数关系式、点在图像上等知识是解决问题的关键．
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