第三章圆单元练习（含解析） 北师大版数学九年级下册期末复习

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第三章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（　　）
A．r B．2r C． r D．3r
3．如图，、是的两条切线，、是切点，，阴影部分的面积为，则的半径长为(　　)

A． B．3 C．1 D．
4．如图，⊙O中，弦CD⊥弦AB于E，若∠B=60°，则∠A=（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．下列图形中表示的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
6．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
10．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
12．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．
14．若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 ．
15．如图，圆内接四边形是由四个全等的等腰梯形组成，是的直径，则为 度．

16．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 ．
17．平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的半径长．
19．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）

20．如图，在四边形中，，且平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
22．如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
23．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
(1)试说明：直线为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
24．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示．
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
《第三章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A A C B D A C
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．
【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；
B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．
2．B
【详解】∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则=2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2r．
故选：B．
【点睛】考点：圆锥的计算．
3．B
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据已知条件得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，

∵、是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
4．A
【详解】解：∵弦CD⊥弦AB于E，∴∠AED=90°．∵∠D=∠B=60°，∴∠A=90°-∠D=30°．故选A．
5．A
【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；据此解答即可．
【详解】根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知，B，C，D项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是圆心角．
故选A．
【点睛】此题主要考查了圆心角的含义，注意基础知识的积累
6．C
【分析】先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，
∴AC==，
∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．也考查了勾股定理．
7．B
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．
由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答．
【详解】解：如图：连接,
∵M是中弦的中点，
∴，
又∵，
∴，
设圆的半径是x米，，
在中，有，
即：，解得： ，
所以圆的半径长是．
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】根据的面积，求出半径，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
由的面积为可得，解得
∵，
∴直线与相交，
故选：A
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
10．C
【详解】试题分析：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．
【考点】正多边形和圆．
11．A
【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可.
解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2.
故选A.
点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长.
12．D
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键．由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，母线长为，根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，
母线长为∶，
∴圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6，
∴，
∴解得：．
故选：D．
13．5
【详解】∵多边形的每个外角都等于72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷72°=5，
∴这个多边形的边数为5.
故答案为5.
14．120°/120度
【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可．
【详解】解：根据弧长公式l＝＝＝6π，
解得：n＝120，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
15．30
【分析】连接，根据题意可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据圆周角定理解答，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵圆内接四边形是由四个全等的等腰梯形组成，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：30
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．．
【分析】依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
所以的外心坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．
17．
【分析】设的外心坐标为点，由三角形的外心到三个顶点的距离相等列出等量关系式，求出点P坐标，即可求解．
【详解】解：设的外心坐标为点，则，
，，，
即解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外心知识以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三个顶点的距离相等是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理及其推论，圆周角定理是关键．
（1）根据垂径定理的推论得到，，根据圆周角定理得到，由直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中由勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）解：∵是的中点，交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴的半径长为．
19．
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，

∴，，
∵，
∴，
∵直径为，
∴，
在中，根据勾股定理，
可得，
∴，
∴水的最大深度为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】(1)由于∠ACB=∠ADB=90°，所以A、B、C、D四点共圆，由于∠DAC=∠BAC，根据圆周角定理可得BC=CD；
(2)设AB的中点为O，又（1）可知：A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得，AB是该圆的直径，O为圆心，利用勾股定理即可求得BE的长度，再利用垂径定理求出BD的长，最后利用勾股定理求得AD的长．
【详解】（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴由圆周角定理可得：BC=CD．
（2）设AB的中点为O，连接OC交BD于点E，如图所示，
由（1）知，A、B、C、D四点共圆，
∴AB是该圆的直径，O为圆心，
∴OC为圆的半径，
∵，
∴，
又∵BC=CD=1，
∴OC⊥BD，
设CE=x，则OE=2-x，
在中，，
在中，，
∴，
∴
解得，，
∴，
∴，
由垂径定理可得，，
∴在中，
【点睛】本题考查了圆的综合题，能证得A、B、C、D四点共圆是解题的关键．
21．分米
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案．
【详解】解：连接，
∵过圆心，为的中点，
∴，
∵分米，C为的中点，
∴分米，
设圆的半径为x分米，则分米，
∵分米，
∴分米，
在中，由勾股定理，
∴，
∴，
即拱门所在圆的半径是15分米．
22．见解析
【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得．
【详解】PC=PD.
连接OC、OD,
则∵=,
∴∠BOC=∠BOD,
又OP=OP,OC=OD,
∴△OPC≌△OPD,
∴PC=PD.
【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键.
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．
（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，又是的半径，
直线为的切线．
（2）如图，连接，作，垂足为，则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即的半径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（1）平方米；（2）米；
【分析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果.
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴弦BC为直径
∴AB=AC
∴AB=AC=BC·sin45°=
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=()2-；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得
2r=，解得r=
答：（1）被剪掉的阴影部分的面积为；（2）该圆锥的底面圆半径是.
【点睛】圆周角定理，特殊角的锐角三角函数值，扇形的面积公式，弧长公式，计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
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