第一章直角三角形的边角关系单元练习（含解析）北师大版数学九年级下册期末复习

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第一章直角三角形的边角关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．α为锐角，当 无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图在菱形中，，则的值（ ）
A． B．2 C． D．
6．正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于(　 　)
A．2 B． C． D．24
8．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，都是锐角，，，则的形状是：（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
10．若，则是（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
11．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（　　）
A．36米 B．72米 C．78米 D．38米
二、填空题
13．在中，，，则 ， ， ．
14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．

15．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 ．
16．直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝ .
17．在锐角中，若，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，，．
(1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下求的值．
19．在中，，根据下列条件解直角三角形．
（1），；
（2），．
20．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，小明在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时小明距窗户的水平距离，仰角为；小明向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知小明的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面内）
(1)求的大小及的值；
(2)求的值．
21．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）

(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
22．已知（为锐角）
证明：①
②
23．计算：．
24．计算：2cos30°·sin60°－tan45°·sin30°
《第一章直角三角形的边角关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D B A A A B B
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出．
【详解】解：，，
；
在中，，
，
；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．根据锐角三角函数求解即可．
【详解】解：在中，，
所以，
故选：D．
3．A
【分析】分式无意义则分母等于零，继而可得出α的值，代入运算即可．
【详解】∵无意义，
∴1-tanα=0，
解得：tanα=1，α=45°，
故sin（a+15°）+cos（a-15°）=sin60°+cos30°=+=．
故选A
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及分式有意义的条件，注意掌握分式有意义分母不为零，及一些特殊角的三角函数值．
4．D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值．
【详解】解：设菱形边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
6．A
【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．
【详解】解：如图，作EF⊥OB，
则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
故选A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．
7．A
【分析】设AC=k,由cosA=,得AB=5k,根据勾股定理,得BC，tanA=.
【详解】设AC=k,由cosA=,得AB=5k,
根据勾股定理,得BC=k,
所以
tanA= 2
故选A
【点睛】本题考核知识点：求正切. 解题关键点：理解正切的定义.
8．A
【分析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形ABC，得出∠A=45°，从而得到 DEA为等腰直角三角形，求出AE=ADsin45°=2 ，在求出∠DBE=30°，所以在Rt DBE中得到BD=4，在Rt DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
【详解】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰三角形ABC，，，
∴∠A=45°，
因为DE⊥AB，
∴∠DEA=90°
∴∠EDA=∠DAE=45°，
∴ DEA为等腰直角三角形，
在Rt ABC中，∵AD=2
∴AE=ADsin45°=2
∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°
∴在Rt DBE中BD=2DE=2×2=4，
在Rt DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
，
∴ ，
解得：（舍去） ，
所以sin∠BDC= ，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数．解题的关键是正确作出辅助线，构造好直角三角形，再解直角三角形．
9．B
【分析】根据三角函数求出的度数，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
【点睛】此题考查了已知锐角三角函数值求角的度数，等边三角形的判定，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．
10．B
【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故选：B．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
【详解】∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．
12．D
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，根据斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3求解即可．
【详解】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF=6，AE=DF=8．
∵斜坡AB的坡角为45°，
∴BE =AE=8．
∵斜坡CD的坡度为1：3，
∴FC=24，
∴BC=BE+EF+FC=38．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造合适的矩形和直角三角形、掌握坡角和坡度的概念是解题的关键．
13．
【分析】根据sinA的值设BC=5k，则AB=13k，由勾股定理求出AC=12k，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵sinA==，∴设BC=5k，则AB=13k，由勾股定理得：AC=12k，则cosA===，tanA===，cosB==．
故答案为．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．
14．
【分析】根据图形得到，结合正方形的对角线互相平分一组对角即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在与中，
∴ ，
，
∵是正方形对角线，
∴，
∴，
故答案为：；

【点睛】本题主要考查正方形的对角线平分一组对角，解题的关键是根据格点图形得到．
15．3
【分析】本题考查角的正切值．作于点，根据正切的定义求解，即可解题．
【详解】解：作于点，
∵的顶点都是正方形网格中的格点，记正方形网格边长为1，

∴，，
∴，
故答案为：3．
16．
【分析】先根据三角形面积求出BC的长，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=6cm，∠B=90°，△ABC的面积为24cm ，
∴，
∴BC=8cm，
∴，
∴sinA===，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，求正弦值，正确求出BC的长是解题的关键．
17．
【分析】根据已知等式可知，根据特殊角度的三角函数值得到锐角和的大小，从而求出，即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，熟记常见角度的三角函数值是解题的关键所在，利用已知等式得到和的值推出和的大小，以此进行分析求解.．
18．(1)见解析；
(2)
【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可．
（2）由等腰三角形的性质可得是的中线，则 ．利用勾股定理求出的长，再根据可得答案．
【详解】（1）如图，即为所作：
（2），
是的中线，
，
．
在中，，
．
19．（1），，；（2），，．
【分析】（1）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再利用三角函数关系解直角三角形即可；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再利用三角函数关系解直角三角形即可．
【详解】解；（1）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵a=6，
∴c=AB=2BC=2×6=12，
∴b=12×sin60°=6；
（2））∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵b=10，
∴c=AB==20，
∴a=c=10．
【点睛】本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．利用了直角三角形中30°所对边与斜边的关系和锐角三角函数，要熟练掌握好边角之间的关系．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）由题意得，，，
，，
，，，
，，．
（2），，
．
如图，过C作于H．
，
设，则，
，解得．
，
．
21．(1)有触礁危险
(2)没有触礁危险
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解；
（2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作于，如图：
（海里），
设，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．
（2）过点于，如图：

由（2）得：（海里），
在中，，，海里，
，
答：没有触礁危险．
22．（1）详见解析；（2）.
【分析】根据已知和同角三角函数关系解答.
【详解】证明：①∵左式通分得 又由知
∴左式==右式
∴命题得证.
②在已知中等量代换，使成为一个关于的方程．
∵
∴
即解之得
但为锐角，
【点睛】本题考查同角三角函数关系：，解题关键是熟练掌握此关系式.
23．
【分析】先计算三角函数值，零指数幂，负指数幂以及绝对值，再计算加减法即可；
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负指数幂以及绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则．
24．1
【解析】略
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