第二章二次函数单元练习 北师大版数学九年级下册期末复习

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第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若抛物线经过点，则a等于（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个不等的正实数根 D．有两个异号实数根
3．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
4．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（　　）
A． B． C． D．
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴是过（1，0）且平行于轴的直线；③顶点坐标为；④≤-2时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．二次函数的顶点是( )．
A． B． C． D．
7．已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线经过点
C．抛物线开口向上
D．抛物线的顶点坐标为
8．若关于x的二次函数，当时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（ ）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
10．二次函数（，为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是（ ）
3. 17 3.18 3.19
0.02
A． B．
C． D．
11．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．或
12．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
二、填空题
13．用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为 m．
14．若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
15．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
16．如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
则该二次函数图象的对称轴为直线 ．
三、解答题
18．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
19．已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
22．阅读以下材料：
例：解不等式
解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象：
两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）
∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，
根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：．
23．已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
(1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；
(2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象．
(3)当 1 < x 4时， y的取值范围是
24．已知二次函数的图象以直线x=2为对称轴，且经过A(6,－4)和B(3,11)两点，求此二次函数的解析式.
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C A D B D B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数性质求解．
把点代入解析即可求解．
【详解】解：由题意得将代入得：，
故选：B．
2．C
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3，判断方程的根的情况即是判断y=-2时x的值．
【详解】∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是 3，
∵方程，
∴时，即是y= 2求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根，
故答案为C.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合图象判断实数根个数.
3．C
【分析】先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到y＜0时，函数图像在轴的下方，从而可得答案．
【详解】解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图像在轴的下方，
所以：＜＜
故选：
【点睛】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题．
【详解】当k＞0时，
函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，
当k＜0时，
函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．C
【分析】根据二次函数图象的性质逐个判定即可.
【详解】①则抛物线的开口向下，正确
②抛物线的对称轴为，所以对称轴是过且平行于y轴的直线，错误
③因为顶点在对称轴上，所以顶点的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标为3，即顶点坐标为，正确
④当时，y随x的增大而增大，因此时，y随x的增大而增大，正确
综上，正确的有3个
故答案为：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟记二次函数图象的性质是解题关键.
6．A
【分析】本题考查了二次函数的性质．因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴二次函数图象的顶点坐标是．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴．
先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A；
利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的对称轴为，
故A正确；
点关于对称轴的对称点为，故B正确；
∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且，
∴点关于对称轴的对称点为，且，
当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上，
当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在，
则抛物线开口向上，故C正确；
∵当时，，当时，，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，故D错误，
故选：D．
8．B
【分析】先解分式方程求出，关于x的分式方程有正数解满足2﹣＞0利用二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求出对称轴x＝﹣≥﹣2，求出的范围﹣4≤＜2，且≠1即可．
【详解】解：∵
∴1+1﹣x＝2（2﹣x）
∴（2﹣）x＝2
∴
关于x的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣＞0
∴＜2
但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴≥﹣4
∴﹣4≤＜2，且≠1
符合条件的整数的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选B．
【点睛】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题．
9．D
【分析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
【详解】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．
10．B
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．
【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，
故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19，
故选：B．
【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的根，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解题的关键所在．
11．D
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．
【详解】解：由图象得：对称轴是直线，其中一个点的坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为．
利用图象可知：
的解集即是的解集，
或
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，利用数形结合是解题的关键．
12．A
【详解】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，
则y=（135﹣x﹣100）（100+4x），即：y=﹣4（x﹣5）2+3600，
由﹣4＜0，可得当x=5元时，每天获得的利润最大．
故选A．
【点睛】考点：二次函数的应用
13．6
【分析】设AB的长为，得到，表示出窗框的面积，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：设的长为，则，
∴，
这窗框的面积，
，
，
，
，
∴当时，窗框ABCD的面积最大值为，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，表示出所需长度是解题的基础，列出函数关系式是关键．
14．2
【分析】根据二次函数定义可得且，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
16．8
【分析】设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．
【详解】如图，设AC、BD交于点O
设BD=x，则AC=8－x，其中0∵
∴
∵
∴当x=4时，S有最大值8
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键．
17．/
【分析】由图表可知，x＝﹣1和0时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】解：∵x＝﹣1、x＝0时的函数值都是﹣2相等，
∴此函数图象的对称轴为直线．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
18．（1）A；（2）见解析；（3）①见解析；②
【分析】（1）根据和谐四边形的定义进行判断即可；
（2）过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证；
（3）①在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论．
②联立直线和抛物线的解析式，求出两点坐标，过点作轴，过点作，过点作，证明，求出点坐标，分和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）只有平行四边形的对角线把平分四边形的面积分成两个面积相等的三角形，
故选A；
（2）证明：过点作于点，过点作于点，
则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）①证明：如图2中，在上取一点T，使得，连接．
∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线，
由（2）可知：，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②联立，解得：或；
∴，
过点作轴，过点作，过点作，则：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是和谐四边形，
∴或，
当时，
∵直线的解析式为：，设直线于轴的交点为
∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
∴将直线向上平移5个单位，得到，
联立，解得：或，
∵点在第一象限，
∴点的横坐标为；
当时，则为和谐对角线，
由（2）可知，的中点在直线上，
∵，
∴的中点坐标为，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
此时直线与抛物线的交点在二，四象限，不符合题意；
综上：点的横坐标为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，和谐四边形的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，二次函数的综合应用等知识，解题的关键是掌握和谐四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形进和特殊四边形解决问题．
19．
【分析】本题考查了求二次函数的表达式．
设这个二次函数的表达式为，把代入计算即可.
【详解】解：设这个二次函数的表达式为．
把代入，得解得
∴这个二次函数的表达式为．
20．（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a
【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，
解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点．
21．（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点．
22．画图见解析；x＜0或x＞1
【分析】首先设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象，即可得出x2＞时解集．
【详解】解：设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象，
两个图象的交点为（1，1），
∴由图可知，当x＜0或x＞1时，x2＞．

【点睛】此题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，正确画出图象结合图象得出解集是解题关键．
23．(1)2；（3，0）．
(2)见解析
(3)﹣1≤y≤3
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）．
（2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象．
（3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x＝2时，y取最小值，x＝4时，y取最大值．
【详解】（1）解：∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）．
（2）解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3，
由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）．
图象如下：
（3）解：由图象可知，在1 < x 4时，
当x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．
24．y=－ x2+4x+8
【分析】设顶点式y=a(x-2)2+k，然后把A(6,－4)和B(3,11)两点坐标代入得到关于a、k的二元一次方程组，再解方程组即可.
【详解】设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+k，
根据题意得，
解得a=-1，k=12，
所以抛物线的解析式为y=-(x-2)2+12=－x2+4x+8.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
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