第八单元 数学广角--数与形 能力检测试题 2025-2026学年小学数学人教版六年级上册
文档属性
| 名称 | 第八单元 数学广角--数与形 能力检测试题 2025-2026学年小学数学人教版六年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 601.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 00:00:00 | ||
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文档简介
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第八单元 数学广角--数与形 能力检测试题
2025-2026学年小学数学人教版六年级上册
一、选择题
1．第四幅图形最外圈（阴影部分）有（ ）个“●”。
A．36 B．25 C．20
2．观察下面的点阵图规律，第10个点阵图中有（ ）个点。
A．33 B．23 C．36
3．用小棒摆图形。
像这样继续摆下去，摆第7个图形需要（ ）根小棒。
A．42 B．30 C．27 D．24
4．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于（ ）。
A．72 B．90 C．92 D．88
5．如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（ ）根小棒。
A．8 B．102 C．98 D．302
6．仔细观察第一、第二、第三幅图，第四幅图是（ ）个。
A．20 B．24 C．25
7．根据下面图形的规律，第11个图中有（ ）个。
A．33 B．36 C．39
二、填空题
8．按如下方式摆放餐桌和椅子。
填写下表：
桌子张数 1 2 3 4 5 6 … n
可坐人数 6 8 10 …
9．下列各图形中的小正方形是按照一定的规律排列的。按照图中的规律，第十个图形中一共有( )个相同大小的小正方形。
10．按照下图规律，第6个图形有( )个小三角形，是由( )条线段组成的；第n个图形是由( )条线段组成的；如果小三角形的边长为1厘米，那么第12个图形的周长是( )厘米。
11．如下图，用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第30个图案需棋子( )枚。
12．观察下面的点子图，第9个方框里有( )个点，第18个方框里有( )个点，第n个方框里有( )个点。
13．按下面的方式摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆20个正方形需要( )根小棒。
14．观察下列由五角星组成的等边三角形图案：
它们是按一定规律排列的。依照此规律，第20个图形中共有( )个★。
三、计算题
15．怎样简便就怎样计算。
56.73×259－56.73×159 （）×11×12
138×1＋23.3×（2－75%）－125%×38＋（1＋0.25）×28.7 ＋
16．解方程。
60%x＋25＝40 24－120%x＝18
35%x－25%x＝1 （1－25%）x＝45
17．看图列式计算。
四、解答题
18．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管？
19．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
20．探索规律。
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1
图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3
图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（ ）＋（ ）
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（ ）。
（3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。
21．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：
那么左下图表示的数字是（ ），在右下图中画出表示62的图。
22．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
23．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
（1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
（2）
观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（ ）个点，第（7）个有（ ）个点。
那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。
24．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题：
（1）接着画一画，填一填。
（2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（ ），第n个图的数是（ ）（用含n的式子表示）。
25．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。
示意图
人数 2 3 4 5 6
相互握手次数 1 3 6
（1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。
（2）若有n人相互握手，握手的次数是（ ）次，当n＝10时，握手次数是（ ）次。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D C D C B
1．C
【分析】根据题意可知，每增加一个图就增加4个“●”，据此可知，第四幅图形最外圈（阴影部分）有20个“●”。
【详解】第四幅图形最外圈（阴影部分）有20个“●”；
故答案为：C。
【点睛】根据题图找到规律是解答本题的关键。
2．A
【分析】观察图形，第1个点阵图中有（1＋2＋3）个点，第2个点阵图中有（2＋3＋4）个点，第3个点阵图中有（3＋4＋5）个点，依次类推，即可求出第10个点阵图中有（10＋11＋12）个点。据此解答。
【详解】10＋11＋12＝33（个）
即第10个点阵图中有33个点。
故答案为：A
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
3．D
【分析】观察图形可知，以最左边的第1个图形为基础，每增加3根小棒就增加1个正方形，如摆第1个图形的小棒数量是（3＋3）根，摆第2个图形的小棒数量是（3＋3×2）根，摆第3个图形的小棒数量是（3＋3×3）根， 由此可知，摆第7个图形需要的小棒数量是（3＋3×7）根，计算出结果即可。
【详解】根据分析得，
3＋3×7
＝3＋21
＝24（根）
即摆第7个图形需要24根小棒。
故答案为：D
【点睛】本题考查数形结合问题，观察图形，发现图形的个数与小棒根数的关系是解题的关键。
4．C
【分析】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数与第三个正方形右上角的数相等，第四个正方形右上角的数是同个正方形左下角的数再加上2，即可得出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数为11，再分析出规律为：第一个正方形右下角的数是3×5－1；第二个正方形右下角的数是5×7－3；第三个正方形右下角的数是7×9－5，以此列推出n＝9×11－7。
【详解】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数11，
则n＝9×11－7
＝99－7
＝92
故答案为：C
5．D
【分析】观察可知，第1幅图用了8根小棒，8＝1×6＋2；第2幅图用了14根小棒，14＝2×6＋2；第3幅图用了20根小棒，20＝3×6＋2，由此可知，小棒根数＝第几幅图就用几×6＋2，据此分析。
【详解】50×6＋2
＝300＋2
＝302（根）
第50幅图用了302根小棒。
故答案为：D
6．C
【分析】
看图，第一幅图有（2×2）个，第二幅图有（3×3）个，第三幅图有（4×4）个，那么可推出第四幅图有（5×5）个。
【详解】5×5＝25（个）
所以，第四幅图是25个。
故答案为：C
7．B
【分析】
根据题意，图形1，有6个，可以写成：3×1＋3；
图形2，有9个，可以写成：3×2＋3；
图形3，有12个，可以写成：3×3＋3；
…
图形n，有（3n＋3）个，由此可知，当n＝11时 ，即可求出的个数。
【详解】
根据分析可知，图形n，有（3n＋3）个。
当n＝11时：
3×11＋3
＝33＋3
＝36（个）
所以第11个图中有36个。
故答案为：B
8．见详解
【分析】根据图中可以看出，1张桌子可坐6人，2张桌子可知8人，3张桌子可坐10人，……，由此可知，每增加1张桌子，就增加2人；
1张桌子坐6人，可以写成：2×1＋4；
2张桌子坐8人，可以写成：2×2＋4；
3张桌子坐10人，可以写成：2×3＋4；
……
n张桌子可以坐：（2n＋4）人，由此可知，当n＝4、5、6时，可以坐的人数，据此解答。
【详解】根据分析可知，n张桌子时，可坐（2n＋4）人。
n＝4时：
2×4＋4
＝8＋4
＝12（人）
n＝5时：
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
n＝6时：
2×6＋4
＝12＋4
＝16（人）
如下表：
桌子张数 1 2 3 4 5 6 … n
可坐人数 6 8 10 12 14 16 … 2n＋4
9．55
【分析】第一个图形有1个小正方形；第二个图形有3个小正方形，3＝2＋1；第三个图形有6个小正方形，6＝3＋2＋1；第四个图形有10个小正方形，10＝4＋3＋2＋1……，由此可知，小正方形的个数＝第几个图形就从几依次加到1。
【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
第十个图形中一共有55个相同大小的小正方形。
10． 6 13 2n＋1 14
【分析】（1）根据图示，图形之间相差1个三角形，那么到了第几个图形就有几个小三角形。
（2）根据图示，一个三角形是由3条线段组成的，第2个图形，由6条线段组成，有1条边重叠了，在原有线段上减1，即为6－1＝5，第3个图形，有9条线段，但有2条边重叠了，在原线段的基础上减2，即为9－2＝7，第四个图形，共有12条线段，有3条边重叠，则为12－3＝9，以此类推，图形每增加一个，重叠线段的数量就在原有的基础上加1，以此类推，第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，据此解答。
（3）根据图示：
第一个图形有3条线段。
第二个图形比第一个图形多了2条线段，共有3＋2＝5条线段。
第三个图形比第二个图形又多了2条线段，共有5＋2＝7条线段。
以此类推，第n个图形比第1个图形多了2条线段。
所以第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1
第n个图形是由（ 2n＋1）条线段组成。
（4）每个小三角形的边长为1厘米。
第一个图形是1个三角形，周长为1×3＝3厘米；
第二个图形是2个三角形，因为有1条边重叠，所以周长为2×3－1×2＝6－2＝4（厘米）；
第三个图形是3个三角形，因为有2条边重叠，所以周长为3×3－2×2＝9－4＝5（厘米）；
以此类推，第n个图形是n个三角形，因为有（n－1）条边重叠，所以周长为n×3－（n－1）×2，将数值代入公式计算即可。.
【详解】（1）按照下图规律，第6个图形有6个小三角形；
（2）第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，是由13条线段组成的；
（3）第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1
（4）12×3－（12－1）×2
＝36－11×2
＝36－22
＝14（厘米）
第12个图形的周长是14厘米。
11．92
【分析】观察图形可知，第1个图案有2＋3×1＝5枚，第2个图案有2＋3×2＝8枚，第3个图案有2＋3×3＝11枚，则第n个图形需要棋子（2＋3n）枚。
【详解】由分析可知：
第30个图案需棋子：
2＋3n
＝2＋3×30
＝2＋90
＝92（枚）
则第30个图案需棋子92枚。
12． 33 69 4n－3
【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是1＋4×（n－1）＝（4n－3）个点，据此即可解答。
【详解】第9个方框里黑点的个数为：
4n－3＝4×9－3
＝36－3
＝33（个）
第18个方框里黑点的个数为：
4n－3＝4×18－3
＝72－3
＝69（个）
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
则第9个方框里有33个点，第18个方框里有69个点，第n个方框里有（4n－3）个点。
13．61
【分析】观察图形可知，摆1个正方形需要4＝1×3＋1根小棒，摆2个正方形需要7＝2×3＋1根小棒，摆3个正方形需要10＝3×3＋1根小棒，由此可知摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。据此解答即可。
【详解】3×20＋1
＝60＋1
＝61（根）
则摆20个正方形需要61根小棒。
14．60
【分析】观察可知，第1个图形有3个★，3＝1×3；第2个图形有6个★，6＝2×3；第3个图形有9个★，9＝3×3……，由此可知，★的个数＝第几个图形就用几×3，据此分析。
【详解】20×3＝60（个）
第20个图形中共有60个★。
15．5673；13
190；1
【分析】①②③题利用乘法分配律简便计算；
④分子573＋697×572＝573＋697×（573－1）＝697×573＋573－697＝573×697－124，故此和分母相同，所以该算式的前半部分等于1，又因为；363636×2＝727272，所以该算式后半部分等于，把复杂的算式化简成简单的数字即可。
【详解】①56.73×259－56.73×159
＝56.73×（259－159）
＝56.73×100
＝5673
②（－）×11×12
＝×11×12－×11×12
＝24－11
＝13
③138×1＋23.3×（2－75%）－125%×38＋（1＋0.25）×28.7
＝×（138＋23.3－38＋28.7）
＝×（100＋52）
＝190
④＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝1＋
＝1
16．25；5；10；60
【分析】利用等式的解方程即可。
【详解】60%x＋25＝40
解：0.6x＝40－25
0.6x＝15
x＝25
24－120%x＝18
解：24－1.2x＝18
24－18＝1.2x
1.2x＝6
x＝5
35%x－25%x＝1
解：0.35x－0.25x＝1
0.1x＝1
x＝10
（1－25%）x＝45
解：0.75x＝45
x＝60
17．150个
【分析】看图，篮球比足球多足球的20%，所以篮球是足球的（1＋20%），用125×（1＋20%）即可求解出篮球的个数。
【详解】125×（1＋20%）
＝125×1.2
＝150（个）
18．226根
【分析】通过观察发现：帐篷的左侧面需要6根钢管。图（1）需要6＋11＝17（根）钢管；图（2）需要6＋11×2＝28（根）钢管；图（3）需要6＋11×3＝39（根）钢管；……由此发现规律：图（n）需要（6＋11n）根钢管。据此求串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管列式为6＋11×20。
【详解】6＋11×20
＝6＋220
＝226（根）
答：串搭20顶这样的帐篷需要226根钢管。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
19．（1）见详解
（2）50；1＋7n
【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7， 摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。
【详解】（1）如图所示：
（2）摆7个八边形需要小棒的根数为：
1＋7n＝1＋7×7
＝1＋49
＝50
则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。
【点睛】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。
20．（1）5；4
（2）72－62＝7＋6
（3）210
【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。
【详解】（1）52－42＝5＋4
（2）72－62＝7＋6（答案不唯一）
（3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12
＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1
＝（20＋1）×20÷2
＝21×20÷2
＝420÷2
＝210
【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。
21．20；画图见详解
【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。
【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；
62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：
【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。
22．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
23．（1）相等；过程见详解
（2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解
【分析】
（1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。
（2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。
【详解】
（1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。
第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个）
第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个）
第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个）
第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个）
第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个）
第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个）
第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个）
……
第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
24．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。
（2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。
【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个）
第6个图形：15＋6＝21（个）
第7个图形：21＋7＝28（个）
（2）第n个图的数：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
当n＝10时，
＝
＝
＝
＝55
第10个图的数是55；第n个图的数是。
25．（1）见详解
（2）n（n－1）÷2；45
【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。
【详解】（1）如下表所示：
示意图
人数 2 3 4 5 6
相互握手次数 1 3 6 10 15
（2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次；
当n＝10时，握手次数是：
10×（10－1）÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45（次）
【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。
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第八单元 数学广角--数与形 能力检测试题
2025-2026学年小学数学人教版六年级上册
一、选择题
1．第四幅图形最外圈（阴影部分）有（ ）个“●”。
A．36 B．25 C．20
2．观察下面的点阵图规律，第10个点阵图中有（ ）个点。
A．33 B．23 C．36
3．用小棒摆图形。
像这样继续摆下去，摆第7个图形需要（ ）根小棒。
A．42 B．30 C．27 D．24
4．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于（ ）。
A．72 B．90 C．92 D．88
5．如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（ ）根小棒。
A．8 B．102 C．98 D．302
6．仔细观察第一、第二、第三幅图，第四幅图是（ ）个。
A．20 B．24 C．25
7．根据下面图形的规律，第11个图中有（ ）个。
A．33 B．36 C．39
二、填空题
8．按如下方式摆放餐桌和椅子。
填写下表：
桌子张数 1 2 3 4 5 6 … n
可坐人数 6 8 10 …
9．下列各图形中的小正方形是按照一定的规律排列的。按照图中的规律，第十个图形中一共有( )个相同大小的小正方形。
10．按照下图规律，第6个图形有( )个小三角形，是由( )条线段组成的；第n个图形是由( )条线段组成的；如果小三角形的边长为1厘米，那么第12个图形的周长是( )厘米。
11．如下图，用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第30个图案需棋子( )枚。
12．观察下面的点子图，第9个方框里有( )个点，第18个方框里有( )个点，第n个方框里有( )个点。
13．按下面的方式摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆20个正方形需要( )根小棒。
14．观察下列由五角星组成的等边三角形图案：
它们是按一定规律排列的。依照此规律，第20个图形中共有( )个★。
三、计算题
15．怎样简便就怎样计算。
56.73×259－56.73×159 （）×11×12
138×1＋23.3×（2－75%）－125%×38＋（1＋0.25）×28.7 ＋
16．解方程。
60%x＋25＝40 24－120%x＝18
35%x－25%x＝1 （1－25%）x＝45
17．看图列式计算。
四、解答题
18．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管？
19．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。
（1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。
（2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（ ）根小棒。
20．探索规律。
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1
图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3
图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（ ）＋（ ）
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（ ）。
（3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。
21．如果数字1、2、3、4、5、6分别用下图表示：
那么左下图表示的数字是（ ），在右下图中画出表示62的图。
22．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
23．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
（1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
（2）
观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（ ）个点，第（7）个有（ ）个点。
那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。
24．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题：
（1）接着画一画，填一填。
（2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（ ），第n个图的数是（ ）（用含n的式子表示）。
25．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。
示意图
人数 2 3 4 5 6
相互握手次数 1 3 6
（1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。
（2）若有n人相互握手，握手的次数是（ ）次，当n＝10时，握手次数是（ ）次。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D C D C B
1．C
【分析】根据题意可知，每增加一个图就增加4个“●”，据此可知，第四幅图形最外圈（阴影部分）有20个“●”。
【详解】第四幅图形最外圈（阴影部分）有20个“●”；
故答案为：C。
【点睛】根据题图找到规律是解答本题的关键。
2．A
【分析】观察图形，第1个点阵图中有（1＋2＋3）个点，第2个点阵图中有（2＋3＋4）个点，第3个点阵图中有（3＋4＋5）个点，依次类推，即可求出第10个点阵图中有（10＋11＋12）个点。据此解答。
【详解】10＋11＋12＝33（个）
即第10个点阵图中有33个点。
故答案为：A
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
3．D
【分析】观察图形可知，以最左边的第1个图形为基础，每增加3根小棒就增加1个正方形，如摆第1个图形的小棒数量是（3＋3）根，摆第2个图形的小棒数量是（3＋3×2）根，摆第3个图形的小棒数量是（3＋3×3）根， 由此可知，摆第7个图形需要的小棒数量是（3＋3×7）根，计算出结果即可。
【详解】根据分析得，
3＋3×7
＝3＋21
＝24（根）
即摆第7个图形需要24根小棒。
故答案为：D
【点睛】本题考查数形结合问题，观察图形，发现图形的个数与小棒根数的关系是解题的关键。
4．C
【分析】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数与第三个正方形右上角的数相等，第四个正方形右上角的数是同个正方形左下角的数再加上2，即可得出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数为11，再分析出规律为：第一个正方形右下角的数是3×5－1；第二个正方形右下角的数是5×7－3；第三个正方形右下角的数是7×9－5，以此列推出n＝9×11－7。
【详解】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数11，
则n＝9×11－7
＝99－7
＝92
故答案为：C
5．D
【分析】观察可知，第1幅图用了8根小棒，8＝1×6＋2；第2幅图用了14根小棒，14＝2×6＋2；第3幅图用了20根小棒，20＝3×6＋2，由此可知，小棒根数＝第几幅图就用几×6＋2，据此分析。
【详解】50×6＋2
＝300＋2
＝302（根）
第50幅图用了302根小棒。
故答案为：D
6．C
【分析】
看图，第一幅图有（2×2）个，第二幅图有（3×3）个，第三幅图有（4×4）个，那么可推出第四幅图有（5×5）个。
【详解】5×5＝25（个）
所以，第四幅图是25个。
故答案为：C
7．B
【分析】
根据题意，图形1，有6个，可以写成：3×1＋3；
图形2，有9个，可以写成：3×2＋3；
图形3，有12个，可以写成：3×3＋3；
…
图形n，有（3n＋3）个，由此可知，当n＝11时 ，即可求出的个数。
【详解】
根据分析可知，图形n，有（3n＋3）个。
当n＝11时：
3×11＋3
＝33＋3
＝36（个）
所以第11个图中有36个。
故答案为：B
8．见详解
【分析】根据图中可以看出，1张桌子可坐6人，2张桌子可知8人，3张桌子可坐10人，……，由此可知，每增加1张桌子，就增加2人；
1张桌子坐6人，可以写成：2×1＋4；
2张桌子坐8人，可以写成：2×2＋4；
3张桌子坐10人，可以写成：2×3＋4；
……
n张桌子可以坐：（2n＋4）人，由此可知，当n＝4、5、6时，可以坐的人数，据此解答。
【详解】根据分析可知，n张桌子时，可坐（2n＋4）人。
n＝4时：
2×4＋4
＝8＋4
＝12（人）
n＝5时：
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
n＝6时：
2×6＋4
＝12＋4
＝16（人）
如下表：
桌子张数 1 2 3 4 5 6 … n
可坐人数 6 8 10 12 14 16 … 2n＋4
9．55
【分析】第一个图形有1个小正方形；第二个图形有3个小正方形，3＝2＋1；第三个图形有6个小正方形，6＝3＋2＋1；第四个图形有10个小正方形，10＝4＋3＋2＋1……，由此可知，小正方形的个数＝第几个图形就从几依次加到1。
【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
第十个图形中一共有55个相同大小的小正方形。
10． 6 13 2n＋1 14
【分析】（1）根据图示，图形之间相差1个三角形，那么到了第几个图形就有几个小三角形。
（2）根据图示，一个三角形是由3条线段组成的，第2个图形，由6条线段组成，有1条边重叠了，在原有线段上减1，即为6－1＝5，第3个图形，有9条线段，但有2条边重叠了，在原线段的基础上减2，即为9－2＝7，第四个图形，共有12条线段，有3条边重叠，则为12－3＝9，以此类推，图形每增加一个，重叠线段的数量就在原有的基础上加1，以此类推，第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，据此解答。
（3）根据图示：
第一个图形有3条线段。
第二个图形比第一个图形多了2条线段，共有3＋2＝5条线段。
第三个图形比第二个图形又多了2条线段，共有5＋2＝7条线段。
以此类推，第n个图形比第1个图形多了2条线段。
所以第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1
第n个图形是由（ 2n＋1）条线段组成。
（4）每个小三角形的边长为1厘米。
第一个图形是1个三角形，周长为1×3＝3厘米；
第二个图形是2个三角形，因为有1条边重叠，所以周长为2×3－1×2＝6－2＝4（厘米）；
第三个图形是3个三角形，因为有2条边重叠，所以周长为3×3－2×2＝9－4＝5（厘米）；
以此类推，第n个图形是n个三角形，因为有（n－1）条边重叠，所以周长为n×3－（n－1）×2，将数值代入公式计算即可。.
【详解】（1）按照下图规律，第6个图形有6个小三角形；
（2）第6个图形，共有18条线段，有5条线段重叠，18－5＝13，是由13条线段组成的；
（3）第n个图形的线段数为：3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋1
（4）12×3－（12－1）×2
＝36－11×2
＝36－22
＝14（厘米）
第12个图形的周长是14厘米。
11．92
【分析】观察图形可知，第1个图案有2＋3×1＝5枚，第2个图案有2＋3×2＝8枚，第3个图案有2＋3×3＝11枚，则第n个图形需要棋子（2＋3n）枚。
【详解】由分析可知：
第30个图案需棋子：
2＋3n
＝2＋3×30
＝2＋90
＝92（枚）
则第30个图案需棋子92枚。
12． 33 69 4n－3
【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是1＋4×（n－1）＝（4n－3）个点，据此即可解答。
【详解】第9个方框里黑点的个数为：
4n－3＝4×9－3
＝36－3
＝33（个）
第18个方框里黑点的个数为：
4n－3＝4×18－3
＝72－3
＝69（个）
1＋4×（n－1）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
则第9个方框里有33个点，第18个方框里有69个点，第n个方框里有（4n－3）个点。
13．61
【分析】观察图形可知，摆1个正方形需要4＝1×3＋1根小棒，摆2个正方形需要7＝2×3＋1根小棒，摆3个正方形需要10＝3×3＋1根小棒，由此可知摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。据此解答即可。
【详解】3×20＋1
＝60＋1
＝61（根）
则摆20个正方形需要61根小棒。
14．60
【分析】观察可知，第1个图形有3个★，3＝1×3；第2个图形有6个★，6＝2×3；第3个图形有9个★，9＝3×3……，由此可知，★的个数＝第几个图形就用几×3，据此分析。
【详解】20×3＝60（个）
第20个图形中共有60个★。
15．5673；13
190；1
【分析】①②③题利用乘法分配律简便计算；
④分子573＋697×572＝573＋697×（573－1）＝697×573＋573－697＝573×697－124，故此和分母相同，所以该算式的前半部分等于1，又因为；363636×2＝727272，所以该算式后半部分等于，把复杂的算式化简成简单的数字即可。
【详解】①56.73×259－56.73×159
＝56.73×（259－159）
＝56.73×100
＝5673
②（－）×11×12
＝×11×12－×11×12
＝24－11
＝13
③138×1＋23.3×（2－75%）－125%×38＋（1＋0.25）×28.7
＝×（138＋23.3－38＋28.7）
＝×（100＋52）
＝190
④＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝1＋
＝1
16．25；5；10；60
【分析】利用等式的解方程即可。
【详解】60%x＋25＝40
解：0.6x＝40－25
0.6x＝15
x＝25
24－120%x＝18
解：24－1.2x＝18
24－18＝1.2x
1.2x＝6
x＝5
35%x－25%x＝1
解：0.35x－0.25x＝1
0.1x＝1
x＝10
（1－25%）x＝45
解：0.75x＝45
x＝60
17．150个
【分析】看图，篮球比足球多足球的20%，所以篮球是足球的（1＋20%），用125×（1＋20%）即可求解出篮球的个数。
【详解】125×（1＋20%）
＝125×1.2
＝150（个）
18．226根
【分析】通过观察发现：帐篷的左侧面需要6根钢管。图（1）需要6＋11＝17（根）钢管；图（2）需要6＋11×2＝28（根）钢管；图（3）需要6＋11×3＝39（根）钢管；……由此发现规律：图（n）需要（6＋11n）根钢管。据此求串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管列式为6＋11×20。
【详解】6＋11×20
＝6＋220
＝226（根）
答：串搭20顶这样的帐篷需要226根钢管。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
19．（1）见详解
（2）50；1＋7n
【分析】（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋2×7，摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋3×7， 摆n个八边形需要的小棒数为：（1＋7n）根，据此解答即可。
【详解】（1）如图所示：
（2）摆7个八边形需要小棒的根数为：
1＋7n＝1＋7×7
＝1＋49
＝50
则摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。
【点睛】本题主要考查数.与形结合的规律，发现每多1个八边形就多7根小棒是解本题的关键。
20．（1）5；4
（2）72－62＝7＋6
（3）210
【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。
【详解】（1）52－42＝5＋4
（2）72－62＝7＋6（答案不唯一）
（3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12
＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1
＝（20＋1）×20÷2
＝21×20÷2
＝420÷2
＝210
【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。
21．20；画图见详解
【分析】观察图形可知，第一列的圆表示1，第二列每个圆表示2，则1＋2＝3，2×2＝4，前两列填满表示1＋2×2＝5，第三列每个圆表示6。同理，前三列填满表示1＋2×2＋6×3＝23，则第四列每个圆表示24，据此解答。
【详解】通过分析，左下图表示的数字是2＋6×3＝20；
62＝24×2＋6×2＋2，即在第二列画1个圆，第三列画2个圆，第四列画2个圆，画图如下：
【点睛】本题考查数形结合问题。通过分析、计算，明确每列的圆表示的数字是解题的关键。
22．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
23．（1）相等；过程见详解
（2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解
【分析】
（1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。
（2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。
【详解】
（1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。
第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个）
第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个）
第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个）
第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个）
第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个）
第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个）
第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个）
……
第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
24．（1）15；21；28；（2）55；
【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。
（2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。
【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个）
第6个图形：15＋6＝21（个）
第7个图形：21＋7＝28（个）
（2）第n个图的数：
1＋2＋3＋…＋n
＝（1＋n）×n÷2
＝（n＋n2）÷2
＝
当n＝10时，
＝
＝
＝
＝55
第10个图的数是55；第n个图的数是。
25．（1）见详解
（2）n（n－1）÷2；45
【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。
【详解】（1）如下表所示：
示意图
人数 2 3 4 5 6
相互握手次数 1 3 6 10 15
（2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次；
当n＝10时，握手次数是：
10×（10－1）÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45（次）
【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。
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