第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 典型题型归纳 专项练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 典型题型归纳 专项练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 16:40:53 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 典型题型归纳 专项练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1．抛物线的通径长为
2．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 .
3． 已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 .
4． 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
5． 已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
6．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
9．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
11．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
13．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
14．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A． B． C． D．与弦斜率有关
15．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
18． 已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
19．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .
20．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 .
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
24．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（ ）
A．9 B．6 C．7 D．8
抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
26．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（ ）
A． B． C． D．
29．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
30． 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A．5 B． C． D．
答案
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1 由，所以该抛物线的焦点坐标为，
把代入中，得，
所以抛物线的通径长为，
故答案为：
由题设，抛物线焦点为，即，
令，则，故.
故答案为：4
由已知，，通径长为，
则 的最小值．
故答案为：3.
在双曲线中，，，则，
所以，双曲线的右焦点坐标为，
由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.
故选：B.
由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故答案为：
由，得，
所以，
所以，，
当时，，解得，
因为轴，所以，
所以，
设到直线的距离为，
因为，所以，
解得，
故选：A
由双曲线可知：
的周长为.
当轴时,的周长最小值为
故选：C
设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
将代入椭圆方程的方程得，可得，则，
由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，
因为为线段的中点，则，可得，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故选：B.
由题意可知，焦距等于2
故选：B．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
12． 不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，
又a=4,b=,，故， ①
∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，
∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，
∴不妨设且，
∴，由①可得：
，
.
故选：D.
设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，
，同理，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因，则，即，，
于是得，又，则，即，
因此得，即，整理得，而，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
令，设，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
综上，.
故选：B.
如图所示：过作准线于，准线于点，，，
则，
，
根据均值不等式：，即，
即，当时等号成立，即.
故选：C.
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16． 解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
17． 由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
故答案为：8.
由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
设，因为，所以点必在双曲线右支上，
由焦半径公式，，解得，所以，
从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为，
所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，，
所以.
设，则，由焦半径公式，
，
所以，
从而，即.
故答案为：.
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
21．
由已知抛物线焦点到准线的距离为，
即，
则抛物线方程为，，
所以直线方程为，即，
设直线与抛物线交点，，
联立直线与抛物线，
得，
则，，
又由抛物线可知，，
所以，
故选：A.
22． 设，由已知，
由焦半径公式可得
所以，所以.
故选：B.
23．
如图，因为，所以，
又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为，
则,所以，
因为点在抛物线上，
所以，整理得，，
解得或（舍），
故选:B.
由题意抛物线的准线为，
过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，
所以.
故答案为：D.
抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为，
由已知，所以，
故抛物线的方程为，焦点的坐标为，
因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为，
联立，可得，
方程的判别式，
设，则，
又，
故选：D.
作出示意图如图所示：
则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
直线与轴的交点为，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线：，准线为．
由，
可得，则，
所以，线段中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为．
故选：B
抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由，解得，
所以.
故选：D
29 设方程为，
由，
消去得，
则有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故选：A
30．
如图作垂直于准线，垂足为，可知设，
直线的斜率为得，，
则，由勾股定理得：，
即，化简得：，
解得或，
当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得：
，设交点，则，
而，
当直线斜率不存在时，，
综上，，
由得，此时.
由得，此时.
故选：D.
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第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 典型题型归纳 专项练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1．抛物线的通径长为
2．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 .
3． 已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 .
4． 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
5． 已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
6．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
9．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
11．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
13．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
14．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A． B． C． D．与弦斜率有关
15．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
18． 已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
19．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .
20．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 .
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
24．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（ ）
A．9 B．6 C．7 D．8
抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
26．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（ ）
A． B． C． D．
29．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
30． 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A．5 B． C． D．
答案
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1 由，所以该抛物线的焦点坐标为，
把代入中，得，
所以抛物线的通径长为，
故答案为：
由题设，抛物线焦点为，即，
令，则，故.
故答案为：4
由已知，，通径长为，
则 的最小值．
故答案为：3.
在双曲线中，，，则，
所以，双曲线的右焦点坐标为，
由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.
故选：B.
由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故答案为：
由，得，
所以，
所以，，
当时，，解得，
因为轴，所以，
所以，
设到直线的距离为，
因为，所以，
解得，
故选：A
由双曲线可知：
的周长为.
当轴时,的周长最小值为
故选：C
设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
将代入椭圆方程的方程得，可得，则，
由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，
因为为线段的中点，则，可得，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故选：B.
由题意可知，焦距等于2
故选：B．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
12． 不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，
又a=4,b=,，故， ①
∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，
∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，
∴不妨设且，
∴，由①可得：
，
.
故选：D.
设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，
，同理，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因，则，即，，
于是得，又，则，即，
因此得，即，整理得，而，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
令，设，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
综上，.
故选：B.
如图所示：过作准线于，准线于点，，，
则，
，
根据均值不等式：，即，
即，当时等号成立，即.
故选：C.
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16． 解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
17． 由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
故答案为：8.
由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
设，因为，所以点必在双曲线右支上，
由焦半径公式，，解得，所以，
从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为，
所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，，
所以.
设，则，由焦半径公式，
，
所以，
从而，即.
故答案为：.
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
21．
由已知抛物线焦点到准线的距离为，
即，
则抛物线方程为，，
所以直线方程为，即，
设直线与抛物线交点，，
联立直线与抛物线，
得，
则，，
又由抛物线可知，，
所以，
故选：A.
22． 设，由已知，
由焦半径公式可得
所以，所以.
故选：B.
23．
如图，因为，所以，
又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为，
则,所以，
因为点在抛物线上，
所以，整理得，，
解得或（舍），
故选:B.
由题意抛物线的准线为，
过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，
所以.
故答案为：D.
抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为，
由已知，所以，
故抛物线的方程为，焦点的坐标为，
因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为，
联立，可得，
方程的判别式，
设，则，
又，
故选：D.
作出示意图如图所示：
则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
直线与轴的交点为，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线：，准线为．
由，
可得，则，
所以，线段中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为．
故选：B
抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由，解得，
所以.
故选：D
29 设方程为，
由，
消去得，
则有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故选：A
30．
如图作垂直于准线，垂足为，可知设，
直线的斜率为得，，
则，由勾股定理得：，
即，化简得：，
解得或，
当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得：
，设交点，则，
而，
当直线斜率不存在时，，
综上，，
由得，此时.
由得，此时.
故选：D.
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