综合突破二 重难题型--2026江苏中考数学专题练（学生+教师卷）

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2026江苏中考数学专题练
突破二 重难题型
题型五 函数综合题
类型1 二次函数性质综合题
1．[2025山东]已知二次函数,其中,为两个不相等的实数.
（1） 当,时,求此函数图像的对称轴.
（2） 当时,若该函数在时,随的增大而减小；在时,随的增大而增大,求的取值范围.
（3） 若点,,均在该函数的图像上,是否存在常数,使得 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】
（1） 解：当，时，二次函数可化为，
此函数图像的对称轴为直线.
（2） 当时，二次函数可化为，
抛物线的对称轴为直线，
， 抛物线开口向上，
在时，随的增大而减小，，
在时，随的增大而增大，，.
（3） 存在. 点，，均在该函数的图像上，
，
，
.
，
，
整理得，
，为两个不相等的实数，，
，解得.
2．[2025泰州二模]已知二次函数，一次函数，其中，为常数，.
（1） 求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上.
（2） 当时，，求，的值.
（3） 点，分别在二次函数和一次函数图像上.
① 当，时，求的值；
② 若抛物线上存在两个不同的点，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：证明：，
抛物线的顶点坐标为，
把代入一次函数，得，
二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上.
（2） 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
， 当时，图像关于直线对称.
若，
则时，，时，，
解得
若，
则时，，时，，
解得
综上所述，或
（3） ① 当，时，
，，
将，分别代入，
得
，
解得或.
② 由题意得，
整理得，
抛物线上存在两个不同的点，
方程有两个不相等的实数根，
，解得.
类型2 线段、面积问题
3．[2025常州模拟]如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像是抛物线，与轴交于，，顶点为，连接.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线.新抛物线的顶点为，与抛物线交于点，四边形是平行四边形.
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 求关于的函数表达式；
（3） 设抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点，若，求的值.
【答案】（1） .
（2） 解：如图，
抛物线的表达式为，
顶点的坐标为，
设平移后的抛物线的表达式为，
，
连接、交于点， 四边形是平行四边形，且，
点的坐标为，
，.
把代入中，得，
整理得.
（3） 如图所示，
由（2）可知点的坐标为，
由，易得直线的表达式为，
把代入中，得，.
把代入中，得，.
，
，
，
整理得，
解得或（舍去），
故的值为5.
4．[2025镇江模拟]如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3） 若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标.
【答案】
（1） 解：将,代入，
得解得 抛物线的函数表达式为.
（2） 对于函数，令，得，，，
由,易得直线的解析式为，过点作轴交于点，
设，
则，
,
，
，，
，
, 当时，取得最大值,为，此时.
（3） 的内切圆的圆心恰好落在轴上，轴与的平分线共线，
作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，
由,易得直线的解析式为，
联立得
解得或（舍去），
点的坐标为.
5．[2025宿迁二模]在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方.
图1 图2
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 如图1，过点作轴，交直线于点，连接，若，求点的坐标.
（3） 如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点.记，，的面积分别为，，.求的最小值.
【答案】
（1） 解：将,,代入，
得解得
.
（2） 设直线的解析式为，则解得
直线的解析式为，
设点，
轴，轴，
，，
，，
，，
，
，
解得，（此时，重合，舍去），.
（3） ，，
，，
，
作交轴于点，作轴交于点，
直线的解析式为，，，
直线的解析式为，
，，，
易知，，,
,，，
设，则，
，
，,
当时，取最小值，为.
6．[2025山东威海]已知抛物线交轴于点,点,交轴于点.点向右平移2个单位长度,得到点,点在抛物线上.点为抛物线的顶点.
备用图① 备用图②
（1） 求抛物线的表达式及顶点的坐标.
（2） 连接,点是线段上一动点,连接,作射线.
① 在射线上取一点,使,连接.当的值最小时,求点的坐标.
② 点是射线上一动点,且满足.作射线,在射线上取一点,使.连接,.求的最小值.
（3） 点在抛物线的对称轴上,若 ,则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：由题意得，，
将和代入,
得
抛物线的表达式为，
，
.
（2） ① 连接,.
，，，
，，
令，解得，，
，，
又 ，,
四边形是正方形，
，
当，，三点共线，即是正方形两条对角线的交点时，的值最小，.
② 如图，作于点，连接,
，，
，
，
由①知， ，
，
，，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
， ， ，
又，，
，
的最小值为.
（3） 或.
【解析】
（3） 详解：如图，设交于，作于，连接，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，，
或.
类型3 角度问题
7．[2025扬州三模]抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），顶点为.
备用图
（1） 顶点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图，点的坐标是，连接.
① 把线段沿某一方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标.
② 将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点.请问在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） .
（2） ① 解：由题意知.设,则，
解得
.
② 存在.如图，
由平移得的解析式为，
取点，设直线交于，
，
， ，
易得直线的解析式为，
，
直线与的交点符合题意，
联立得
解得
，.
作于点，在延长线上截取，作射线交于点，
，，
由，易得直线的解析式为，进而易得直线的解析式为，
联立得解得
，，
易得直线的解析式为，
联立得
解得
，.
综上，点的坐标为或或或.
8．[2025镇江二模]如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点、，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点.
图1 图2 图3
（1） 求一次函数和二次函数的表达式.
（2） 如图2，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标.
（3） 如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作于，于，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：把,代入中，
得解得
一次函数的表达式为，
设二次函数的表达式为，将代入，得，
二次函数的表达式为.
（2） ，
，
取，
易得直线的表达式为，
联立和，解得， 点的横坐标为3.
，，
， ，
.
作点关于点的对称点，则，符合题意，易知点的横坐标为.
综上，点的横坐标为3或.
（3） 存在.
如图，作轴交于点，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，取最大值，为.
9．[2025四川成都]如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,且对称轴为直线,直线与抛物线交于,两点,与轴交于点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 当时,直线与轴交于点,与直线交于点.若抛物线与线段有公共点,求的取值范围.
（3） 过点与垂直的直线交抛物线于,两点,,分别是,的中点.试探究:当变化时,抛物线的对称轴上是否存在定点,使得总是平分 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
（1） 解： 抛物线过点，且对称轴为直线，
解得.
（2） 当时，，
当时，，当时，，
,.
抛物线的顶点在直线上移动.
联立得
整理得，
抛物线与线段有公共点，
，
.
将抛物线从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个公共点时，抛物线与线段均有公共点，
当抛物线过点时，，解得或，
当时，抛物线与线段有公共点.
（3） 存在.， 当时，，，
抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上，
过点， 设直线的解析式为，
由与垂直易得，
直线的解析式为，即，
联立直线与抛物线的解析式得
整理得，
，，
为的中点，.
联立直线与抛物线的解析式得
同理可得.
作,，
平分，，
，即，
设，则，整理得,
由题意知，点，同时在点上方或在点下方.
或
即或
,解得.
抛物线的对称轴上存在，使得总是平分.
10．[2025扬州二模]如图1，抛物线经过点、.
图1 图2 备用图
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 设抛物线的顶点为，与轴相交于点，连接、、、，请你判断与的数量关系，并说明理由.
（3） 如图2，连接与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得 ，且？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：将、代入，
得解得
.
（2） .
理由：，
，，，
，，
，
，,，
，，，
，
是直角三角形， ，
，
.
（3） 存在.
，
抛物线的对称轴为直线，
易得直线的解析式为，直线的解析式为,
联立得解得
，设.
①如图1，当点在对称轴的右侧，点在点下方时，过点作轴，过点作平行于轴的直线交于点，过点作平行于轴的直线交于点，
又 ，
， ，，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
解得（舍）或，
.
②如图2，当点在对称轴的左侧，点在点下方时，过点作于点，过点作轴，过点作平行于轴的直线交于点，
同理得，
，，
，，
，，
，，
，
，
解得（舍）或，
.
③如图3，当点在点上方，点在对称轴的右侧时，过点作轴，过点作平行于轴的直线交于点，过点作平行于轴的直线交于点，
同理得，
，
，
，，
，，
，，
，
，
解得或（舍），
.
④如图4，当点在点上方，点在对称轴的左侧时，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交对称轴于点，
同理得，
，
，
，，
，，
，，
，
，
解得或（舍），
.
综上所述，点的坐标为或或或.
类型4 存在性问题
11．[2025淮安一模]如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为.点为该抛物线上一点，其横坐标为.
（1） 求该抛物线的解析式.
（2） 当轴时，求的面积.
（3） 当该抛物线在点与点之间的部分包含点和点的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出的取值范围并写出这个定值.
（4） 在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：把、代入，
得
解得
该抛物线的解析式为.
（2） 由（1）知，
，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
，
，点到的距离为1，
.
（3） 设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
点与点关于直线对称，，
当点在点和点之间包含点和点时，点与点之间的部分包含点和点的最高点和最低点的纵坐标之差为定值，该定值为4，
此时的取值范围为.
（4） 存在，或.
【解析】
（4） 详解：，
对称轴为直线，
设，,，
，，，
由题意得，
解得或，
点的坐标为或.
12．[2025苏州模拟]定义：对于抛物线、、是常数，，若，则称该抛物线是准黄金抛物线.已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于、两点.
（1） 求抛物线的函数表达式及点、的坐标.
（2） 将抛物线沿轴翻折，得到抛物线.
① 抛物线_ _ _ _ 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）.
② 当时，记抛物线、组成的新图像为图像，图像交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图像于点，是否存在点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解： 抛物线是准黄金抛物线，
，解得，
抛物线的函数表达式为，令，
解得或，
，.
（2） ① 是.
② 存在.如图所示，
由题意得，
易得直线的解析式为，,
为等腰直角三角形.
与相似，为等腰直角三角形，轴，
,设.
①当点在点右侧时，，，
当 时，，即，解得（负值舍去）；
当 时，，即，解得（负值舍去）.
②当点在点左侧时，，，
当 时，，即，解得或（舍去）;
当 时，,即,解得（舍去）.
综上，点的坐标为或或.
13．[2025山东烟台]如图,抛物线与轴交于,两点（点在点左侧）,与轴交于点,,,是直线上方抛物线上一动点,作交于点,垂足为点,连接.
备用图
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 设点的横坐标为.
① 用含有的代数式表示线段的长度.
② 是否存在点,使是等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由.
（3） 连接,将线段绕点按顺时针方向旋转 得到线段,连接,请直接写出线段长度的最小值.
【答案】
（1） 解： 抛物线与轴交于，两点，，，
，，
将，代入，
得解得
抛物线的表达式为.
（2） ① 对于抛物线，
当时，，，
设直线的表达式为，
将，代入，
得解得
直线的表达式为，
，
，，
，.
② 存在.
，
.
当时，，
解得或（舍），
，
；
当时，，
整理得，
解得或（舍），
，
；
当时，，
整理得，
解得或（舍）或（舍），
，
.
综上所述，是等腰三角形时，或或.
（3） .
【解析】
（3） 详解：在轴负半轴上取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得， ，
，，
，
，
，
， 点在线段上运动（不包括端点），
当时，的长度最小，
，，，
，
，
，，
当时，，
，
，
线段长度的最小值为.
14．[2025无锡二模]如图，已知二次函数是常数，的图像与轴交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线.点关于的对称点为，连接，.点为该函数图像上一点，平分.
（1）
① 线段的长为_ _ _ _ _ _ ；
② 求点的坐标中的结论均用含的代数式表示
（2） 设是该函数图像上一点，点在上.是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.
【答案】① .
② 解：，
，对称轴为直线，
，
平分， 点关于轴的对称点在直线上，
易得直线的解析式为，
联立与,解得,,.
（2） 存在.设，,
由得，.
当，为对角线时，，的中点重合，
，，
，，
，
（舍）或，
.
当，为对角线时，，的中点重合，
，，
，，
，
（舍）或,
.
当，为对角线时，，的中点重合，
，，
，，
，此方程无解.
综上，点的坐标为或.
类型5 代数推理问题
15．[2025连云港模拟]如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，点是二次函数图像的顶点，连接、.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 求的正切值；
（3） 若点在二次函数图像上，且横坐标为，过点的直线平行于轴，与、、轴分别交于点、、，试证明线段、、总能组成等腰三角形.
【答案】
（1） 解：将，代入中，
得解得
二次函数的表达式为.
（2） 连接，
，
，，，
，，，
，，，
，
.
（3） 证明：设直线的函数表达式为，将点、点的坐标分别代入,
得解得
直线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
将点、点的坐标分别代入,
得解得
直线的函数表达式为，
由题意得，，，
，，，
，，故，,
，即，
线段、、总能组成等腰三角形.
16．[2024宿迁二模]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点.
图1 图2 图3
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 如图2，连接、、，线段与相交于点，设，有最大值还是最小值？请作出判断，并求出的最值.
（3） 如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为，用表示的长，用表示的长，若在、两点运动的过程中，与始终满足函数关系式，试探究直线是否过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】
（1） 解：由题意得，
，
抛物线的函数表达式为.
（2） 有最大值，无最小值.
由可得，，
易得直线的解析式为.
设，
过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点，
，，
，，
，，
，,
当时，取最大值，为，此时，,无最小值.
（3） 直线过定点.
设直线的解析式为，，，
令，则,，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
令，则,，，
令，则,，，
由题意得，
，
整理得，,
直线的解析式为,
直线过定点.
题型六 几何动态综合题
类型1 动点、动线问题
1．[2025苏州]两个智能机器人在如图所示的区域工作, ,,,直线为生产流水线,且平分的面积（即为中点）.机器人甲从点出发,沿的方向以的速度匀速运动,其所在位置用点表示,机器人乙从点出发,沿的方向以的速度匀速运动,其所在位置用点表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为,记点到的距离（即垂线段的长）为,点到的距离（即垂线段的长）为.当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时与的部分对应数值如下表
0 5.5
0 16 16 0
（1） 机器人乙运动的路线长为_ _ _ _ ；
（2） 求的值;
（3） 当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时,求的值.
【答案】（1） 55
（2） 解：根据题意得.
中, ,为中点,
.
,,
,.
当点在上时,，解得.
当点在上时,作,垂足为（如图）,
则.
,.
.
,解得.
的值为.
（3） 当时,，此时,,
,
.
当点在上时,由,得,解得.
当点在上时,由,得,解得.
综上，的值为或.
2．[2025扬州二模]如图1，在中， ，，，点是上的一个动点，将沿折叠得到，与交于点.
图1 图2
（1） 的度数为_ _ _ _ _ _ .
（2） 当为直角三角形时，求的长.
（3） 如图2，点为线段的一个四等分点，连接，点从点移动到点.
① 当点在的垂直平分线上时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
② 线段扫过的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 解：当 时，如图，连接，
，
由折叠得，，
，
，
，
，
.
当 时，如图，
， ，
，，
由折叠得，，
.
综上，的长为或.
（3） ① .
②
【解析】
（3） ① 详解：由题意得点为的中垂线和的交点，作的中垂线交于点，交于点，
， ，又 ， ，由折叠得，、、三点共线，，，，，，在中，,.
② 详解：如图，点移动的轨迹为，点移动的轨迹为，
易得 ，,为定点， 线段扫过的面积为与、围成的图形的面积，设与、围成的图形的面积为，
则.
3．[2025扬州]问题:如图1,点为正方形内一个动点,过点作,,矩形的面积是矩形面积的2倍,探索的度数随点运动的变化情况.
图1 图2 图3
【从特例开始】
（1） 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2）,请你仅用无刻度的直尺连接一条线段,由此可得此图形中_ _ _ _ ;
（2） 小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3）,其中,,,求此图形中的度数;
【一般化探索】
（3） 利用图1,探索上述问题中的度数随点运动的变化情况,并说明理由.
【答案】
（1） 45；如图，连接（答案不唯一）；
（2） 解：如图，延长至点，使，连接，，
四边形是正方形，
， ，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
同理可得四边形，，为矩形，
，， ，
，，
，又,
，，
， .
（3） 随着点的运动，的度数不变，恒为 ，理由如下：
延长至点，使，连接，，
四边形是正方形，
， ，，
，，
，
同（2）可得四边形，，，为矩形，
设正方形的边长为，，，
则，，
，，，
，
，
整理得，
在中，，
，
（舍负），，
，，
， ．
随着点的运动，的度数不变，恒为 .
4．[2025盐城一模]如图，在中， ，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边向上构造， ，连接，.
图1 图2 图3
【特例感知】
（1） 如图1，当时，与之间的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【类比迁移】
（2） 如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明.
【拓展应用】
（3） 在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3.已知，设，四边形的面积为.
① 求关于的函数表达式，并求出的最小值；
② 当时，请直接写出的长度.
【答案】（1） ；
（2） 解：与之间的位置关系是，数量关系是.
证明：，
， ，
，，
，，
，.
（3） ① 由（1）得，，，
，都是等腰直角三角形，
点与点关于对称，
为等腰直角三角形，
，
四边形为正方形，
如图1，过作于，
， ，
，，
当时，，
，
如图2，当时，
，
同理得，
关于的函数表达式为，
当时，取最小值，为32.
② 或.
【解析】
② 详解：如图3，图4，
连接交于，连接，,，，，，，在以为圆心，长为半径的上，且，为直径， ，
， 正方形的面积为，令，解得，， 当时，的长度为或.
类型2 图形的翻折问题
5．[2025苏州二模]实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知菱形纸片的边长为4， .
图1 图2 图3
（1） 如图1，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学利用了轴对称图形的对应边相等这一性质.请你利用上述解法之一求出线段的长度.
（2） 如图2，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，求此时线段的长度.
（3） 如图3，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于，两点，若，求线段的长度.
【答案】
（1） 解：如图，作交的延长线于点，
在菱形中，， ，，
， ，
由翻折知 ，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，解得,
即线段的长度为.
（答案不唯一）
（2） 过点作交的延长线于点，
设，则，
在菱形中，，
,
，，
在中，，
即，解得，即线段的长度为.
（3） 由翻折得，
，
，，
，
.
延长交直线于点，作的延长线于点，如图，
，
，，
，，
，，
，
设，则，
，
，
，
，,
，
在中，，即，解得，
即线段的长度为.
6．[2025常州二模]如图，在边长为6的正方形中，点是边上的动点，连接交对角线于点.以为直径的圆交于点，连接、.
（1） 猜想和的数量关系，并说明理由.
（2） 将沿直线翻折得到（点与点对应）的延长线交于点.
① 求的最大值；
② 设，用含的代数式表示，并写出的取值范围.
【答案】
（1） 解：.
理由：连接，如图所示，
为直径， .
四边形为正方形，
， .
，，
由正方形的性质可知，、两点关于直线对称，，
.
（2） ① 如图所示，
，
，
，
，又 ，.
，
，
，设，则，
，整理可得，
当，即时，取最大值，为.
② ,,，,
由①知，，
即，
，
由得，
，，
，
，
当点、重合时，
令，解得,（舍），
的延长线交于点， 点在正方形内部，,
.
7．[2025无锡二模]
图1
图2 图3
（1） 如图1，正方形中，为边上一点，，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，的长为_ _ _ _ ；
（2） 如图2，在（1）的条件下，把正方形改成矩形，且，其他条件不变，则的长为_ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）；
（3） 如图3，在（1）的条件下，把正方形改成菱形，且 ， ，其他条件不变，当时，求的长.
【答案】（1） 3
（2）
（3） 解：如图，过作交的延长线于点，作的平分线交于点，
， ，，
，，
设， 四边形为菱形，
，
，
，
， ，
，
，，
在中，，
，
解得，（舍），即的长为.
8．[2025山东]【图形感知】
如图1,在四边形中,已知 ,,.
图1 图2
图3 图4
（1） 求的长.
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段上取一点,连接.将四边形沿翻折得到四边形,其中,分别是,的对应点.
（2） 其中甲、乙两位同学的折叠情况如下:
① 甲:点恰好落在边上,延长交于点,如图2.判断四边形的形状,并说明理由.
② 乙:点恰好落在边上,如图3.求的长.
（3） 如图4,连接交于点,连接.当点在线段上运动时,线段是否存在最小值？若存在,直接写出;若不存在,说明理由.
【答案】
（1） 解： ，
，，
又 ，
，，
，，，
，，
.
（2） ① 四边形是矩形，理由如下：
由折叠的性质得 ，，
，
，
又 ，
四边形是矩形.
② 如图，延长，，相交于点，连接，
由折叠的性质得 ，，，，
点恰好落在边上，
，
四边形是正方形，
，，
，
点在对角线上.
在中， ，，，
.
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
（3） 线段存在最小值，最小值为.
【解析】
（3） 详解：由折叠的性质得，，
直线是线段的垂直平分线，
，
点在以为直径的的一段弧上运动.如图，连接，，
则，当点在线段上时，线段取最小值，
，，
，
线段的最小值为.
类型3 图形的旋转问题
9．[2025宿迁一模]在中，， ，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接，，.
（1） 如图1， .
① 证明：；
② 求直线与直线相交所成的较小角的度数.
（2） 如图2，当 时，_ _ _ _ ；直线与直线相交所成的较小角的度数为_ _ _ _ _ _ .
（3） 当 时，若点，分别是，的中点，点在直线上，当点，，在同一直线上时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
① 解：证明：， ，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质得 ，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
.
② 如图1，延长交的延长线于，
由①得，
.
在中， ，
直线与直线相交所成的较小角的度数是 .
（2） ；
（3） 或
【解析】
（3） 详解： ，、、三点共线， ，当点在线段上时，如图2， ，点、点分别是、的中点，， ， ，由题意可知是等腰直角三角形，设，, ，，,;当点在线段上时，如图3，在上取点，使，连接，设,同理得,,,
.
综上所述，的值为或.
10．[2025扬州一模]如图，已知 ，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点.
（1） 若 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 猜想线段、、之间的数量关系，并证明；
（3） 若，当长为10时，求的面积.
【答案】（1）
（2） 解：.
证明：连接，设交于点， 将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
， ，
，
又 ， ，
点和点关于直线对称，
，，
，， ，
，
， ，
，，，
，
，
， ，, ， ，
为等腰直角三角形，
，
过点作于，则， ，
，为等腰直角三角形，
设，，则，，，
，，
.
（3） ，，
，
，
，
即，
，
由（2）得，，，
，
，，
.
【解析】
（1） 提示：连接.
11．[2025宿迁三模]如图1，在菱形中，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点、重合），将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，旋转角与相等，过点作的平行线，交射线于点.
图1 图2 图3
（1） 求证：是等腰三角形.
（2） 如图2，若线段上存在点，满足，连接、、、.
① _ _ _ _ .
② 在点运动的过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由.
（3） 如图3，在（2）的条件下，若，，延长交于点，请直接写出的最小值.
【答案】
（1） 解：证明：，
，
由菱形性质可得，
，，
，
，.
是等腰三角形.
（2） ① 90
② 的大小不变.
理由：，，
，,
由菱形性质可知 ，
由①可知 ，
，
，
,,
,，，
，
延长交于点，如图所示，
， .
，
，
，,,即，
，，
的大小不变，
的大小不变.
（3） .
【解析】
（3） 详解：由（2）得，
,,,，，，设，则，，，，，
，，，
，
，
当时，取最小值，为.
12．[2025徐州]如图1,将绕直角顶点旋转至,点,的对应点分别为,.连接,,,,直线与交于点.
图1 图2
（1） 与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由.
（2） 如图2,连接,若,,的中点分别为,,，求证:,,三点共线.
（3） 已知,随着,及旋转角的变化,若存在以,,,为顶点的四边形,其面积为,则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：相等.
理由：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图，
，
由旋转可知，， ，
，
，
，
，,
，，.
（2） 证明：连接，，，,，，如图，
，，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
，，
，，
四边形是菱形，
是的中点，与共线，
即，，三点共线.
（3） 25.
【解析】
（3） 详解：由（1）知，，，为定值， 当取最大值时，取最大值，易知当时，取最大值，为1，此时,.
，
，
当，且时，取最大值，为25.
题型七 几何静态综合题
类型1 三角形综合题
1．[2025苏州二模]
图1
图2 图3
【问题提出】 如图1，中， ，，中， ，，连接，，可以得到线段，的位置关系和数量关系分别为_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】 如图2，中， ，，中， ，，连接，，延长到，使，连接，求证：，；
【问题解决】 如图3，在【问题探究】的条件下，若，，连接，，若，则满足条件的线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【问题提出】 ；
【问题探究】 证明：延长至，使，连接，，
，，
， ，， .
延长交的延长线于点，交于点，
，
，
，，
，
，，
，
，即.
，，，
，
，，
，，
，，.
【问题解决】 或
【问题解决】 详解：当点在点的下方时，如图，
，， ，由【问题探究】知，，
， ，
，
， ， 点、、在同一直线上，在中，，，，.
当点在点的上方时，如图，
易得点、、在同一直线上，在中，，，，.
综上，满足条件的线段的长为或.
2．[2025浙江]在菱形中，，.
图1 图2
（1） 如图1，求的值
（2） 如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接.
① 当时，求的长；
② 求的最小值.
【答案】
（1） 解：设与相交于点,
在菱形中,,,
所以,且,
在中,由勾股定理得,
所以.
（2） ① 设与相交于点，
因为,,所以,
所以.
因为与关于直线对称,所以,
所以,所以.
由（1）可知，所以,
所以.
② 解法一:由题意知,所以,
所以,
所以只需最小.
因为，
所以只需最小,此时也最小.
的最小值为点到的距离（如图）,即点到的距离.
易知点到的距离是，
所以的最小值为经检验，符合题意,
此时.
所以的最小值为.
解法二:如图，在上截取.连接,
所以,则只需最小.因为,
即只需最大,所以只需最小.
因为,所以只需最大.
因为, ,
所以只需最小.
的最小值为点到的距离,即点到的距离.
易知点到的距离是,
所以的最小值为经检验，符合题意,
此时.
所以.
所以的最小值为.
类型2 四边形综合题
3．[2025连云港]综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、,且,交于点.连接,过点作,垂足为,连接、,交于点,交于点.
【活动猜想】
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ ,位置关系是_ _ _ _ ；
【探索发现】
（2） 证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3） 若,,求的长；
【综合探究】
（4） 若,则当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,的面积最小.
【答案】（1） 相等；垂直
（2） 证明：过点作于点，作分别交、于点、，
四边形是正方形，
， ，
，
四边形为矩形，四边形为矩形.易知， 矩形为正方形，
， ，，
，
，即，
， ，
，
，，，
，，
，，
，，
又 ，
，
，.
（3） 解：在正方形中，， ，又，
，
，，
，
，，
在中，，，
，
，
即，，
在中，，
由（2）可知，，
，
为等腰直角三角形，
，
.
（4）
【解析】
（4） 详解：如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于点，
由（2）可知，， ， ，，是等腰直角三角形，，，在正方形中，，是等腰直角三角形，，，
， 当的值最小时，的面积最小， 当最小时，的面积最小.， 当的值最小时，的面积最小.当、、三点共线，且时，的值最小，如图，此时点与重合，
则，解得，
，.
4．[2025安徽]已知点在正方形内，点在边上，是线段的垂直平分线，连接，．
图1 图2 图3
（1） 如图1，若的延长线经过点，，求的长.
（2） 如图2，点是的延长线与的交点，连接．
（ⅰ） 求证： ；
（ⅱ） 如图3，设，相交于点，连接，，，若，判断的形状，并说明理由．
【答案】
（1） 解：由垂直平分线的性质知,,,又因为,
所以,所以 .
又因为 ,所以是等腰直角三角形,
所以，因为四边形是正方形，所以.
（2） （ⅰ） 证明:由题意知,故,，所以 ，
所以 .
（ⅱ） 是等腰直角三角形.理由如下:
解法一：如图，作交于点,交于点.
因为,所以为的中点.
因为,所以,故是的中位线,.
因为, ,且,
所以,故,即为的中点.
又因为,所以,所以 .
同理可证,所以.
所以是等腰直角三角形.
解法二：设 ,则 .
因为,所以 .
因为,所以 ,所以 .
因为,所以.
所以 ,所以 .
所以 .
故,
又因为,,
所以.
所以,.
由知 ,所以 .
又因为,所以为等腰直角三角形.
类型3 圆综合题
5．[2025连云港]已知是的高,是的外接圆.
图1 图2 图3
（1） 请你在图1中用无刻度的直尺和圆规,作的外接圆（保留作图痕迹,不写作法）；
（2） 如图2,若的半径为,求证:；
（3） 如图3,延长交于点,过点的切线交的延长线于点，若,, ,求的长.
【答案】
（1） 解：如图所示，即为所求.
（2） 证明：如图，作的直径，连接，
，，
是的高， ，
，，
，即，
.
（3） 如图，连接，
为的切线，为半径，
，
， ，
，
， ，
，是等边三角形， ，
， ，，.
在中，， ，，
，，
在中，，
在中，，
由（2）得，.
6．[2025福建]如图,四边形内接于,,的延长线相交于点,,相交于点是上一点,交于点,且,.
（1） 求证:；
（2） 求证:；
（3） 若,,,求的周长.
【答案】
（1） 证明：,
.
,,
.
,
.
（2） 证明：,.
,,
又,
,
,.
由（1）知,,
又,
,.
,.
,
,
,
,.
（3） 解：由（2）知,,
的周长为.
设,则,.由（2）可知,.
又,
,,
,
.又,
,.
如图，过点作,垂足为,
则 .
四边形是圆内接四边形,
,
又 ,
,
.
在中,,即,
,,
,.
在中,,
,
解得或（舍去）.
.
的周长为.
题型八 阅读理解题答案见
类型1 “新定义”阅读理解题
1．[2025扬州一模]若点在四边形内部，且点到四边形一条边的两个端点的距离相等，则称点为该边的“等距点”.
图1 图2
（1） 如图1，四边形中，于点， ，求证：点是边的“等距点”.
（2） 如图2，点是矩形的边的“等距点”，，.
① 当 时，请求出的长；
② 设、的度数分别为 、 ，试求的最大值.
（3） 当四边形满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，该四边形的四条边的“等距点”互相重合.
【答案】
（1） 证明：于点，
，
，，
，
点是边的“等距点”.
（2） ① 解：如图，过点作交于点，交于点，
点是矩形的边的“等距点”，
，
又，
直线是的中垂线，
点在和的垂直平分线上，
四边形是矩形， ，,,
，
，
，
，
，
，
设，则，
,,,
或，
当时，;
当时，.
综上所述，的长为或.
② 作于，则，
在中，，
在中，，
，
，
设，则，
，
当时，取最大值，为25，
的最大值为，
的最大值是.
（3） 对角互补.（答案不唯一）
【解析】
（3） 详解： 该四边形的四条边的“等距点”互相重合， 该“等距点”到，，，四点的距离相等，，，，四点共圆，故当四边形满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”互相重合.（答案不唯一）
2．[2025湖南长沙]我们约定:当,,,满足,且时,称点与点为一对“对偶点”.若某函数图像上至少存在一对“对偶点”,就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定,解答下列问题:
（1） 请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“”）.
① 函数是非零常数的图像上存在无数对“对偶点”.（ ）
② 函数一定不是“对偶函数”.（ ）
③ 函数的图像上至少存在两对“对偶点”. （ ）
（2） 若关于的一次函数与,都是常数,且均是“对偶函数”,求这两个函数的图像分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.
（3） 若关于的二次函数是“对偶函数”,求实数的取值范围.
【答案】① √
② √
③ ×
（2） 解：由题意可得,,点与点是一对 “对偶点”,因为是 “对偶函数”,所以其图像上必存在一对 “对偶点”，则
两式相减可得,同理可得.
所以两个一次函数为,,因为,都是常数,且,所以这两个一次函数的图像分别与两坐标轴围成的平面图形是如图所示的两个有公共直角顶点的等腰直角三角形,所以面积之和为.
（3） 方法一:由题意可得,当时,有 两式相减可得,所以,代入①并整理得,由题意知此方程必有实数根,
当时,，不符合题意.
所以,解得.
方法二:由题意可得,设函数的图像上的一对 “对偶点”为点与点，且.
设经过,两点的直线的解析式为,易得,,即.
联立得
得.
由题意得直线与二次函数图像必有两个不同的交点,
所以（*）.
由题意得
得,将其代入 （*）可得,解得.
3．[2025苏州二模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”.
（1） 如图，点，，.
① 在点，，中，弦的“关联点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“关联点”，直接写出的长.
（2） 已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围.
【答案】① ，
② .
（2） 解：或.
【解析】
（2） 详解：如图，在上任取一点,作直线,交于点，,过点作的切线，切点为,连接，，.
易得，均为直角三角形，,,
,
,的长越大，则的长越大，越大，的长越大，的长越小，故当的长最小时，的长最小，的长最大，当的长最大时，的长最大，的长最小.
当时，的长最小，如图，
易得,,
,
,,
, ，
为等边三角形，
,.
当点与点重合时，的长最大，如图，
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
解得（舍负）,.
综上，或.
4．[2025连云港一模]【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边的邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形.（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形）
图1 图2 图3
图4
如图1，在四边形中，如果， ，那么四边形为单直邻等四边形.
【初步理解】
（1） 如图2，为等边三角形，点在的平分线上，连接，将绕点顺时针旋转 得到线段，连接，.
求证：四边形为单直邻等四边形.
【拓展应用】
（2） 如图3，四边形为单直邻等四边形， ，，连接， ，，作 （点在上方），且，连接并延长交于点，交于点.求的长.
【解决问题】
（3） 如图4，射线于点， ，，点在射线上，，点在射线上，四边形为单直邻等四边形，的平分线交于点，则的长为_ _ _ _ .
【答案】
（1） 证明：是等边三角形，
， ，
平分，
，
绕点顺时针旋转 得到线段，， ，
，
，
即，
，
，
，
四边形为单直邻等四边形.
（2） 解：如图1，
连接，作于点，
四边形为单直邻等四边形， ，,，
， ，
，， ，
，
， ，
， ，
，，
,，
，
、、、四点共圆， ， ，
，
,即,,
，，,
， ，,
，，
.
（3） 2或6
【解析】
（3） 详解：如图2，作于，设与交于点，当点在线段上时， ， ， ，
，，，
， 四边形为单直邻等四边形，,，又平分，
，,
， ,
.
如图3，当点在的延长线上时，同理得，，，，，.综上，的长为2或6.
类型2 方法的模仿与渗透
5．[2025淮安二模]【知识再现】如图1，从苏科版八年级下册教材对中位线性质的探索过程中，我们认识到：利用中点构造全等，可以将三角形问题转化为四边形问题来解决.
图1 图2 图3
图4
【简单应用】 如图2，小明受到启发，思考并提出新的问题：四边形中，，点为边的中点，连接并延长交的延长线于点，的面积和四边形的面积相等吗？请说明理由.
【类比迁移】 如图3，爱动脑筋的小丽给出新的情境：为平面直角坐标系中第一象限内的一个定点，过点任意作一条直线，分别交轴正半轴、轴正半轴于点，.小丽在将直线绕着点旋转的过程中发现的面积存在最小值.直线转到什么特殊位置时，的面积最小？请用无刻度的直尺和圆规作出此时的直线，并说明面积最小的理由.
【问题解决】 如图4，老王家点和老李家点门前有一块公共闲置空地四边形，空地中间有一棵大树点，过点画一条直线，该直线将四边形分为两个小四边形，其中，以为顶点的小四边形空地分给老王家，以为顶点的小四边形空地分给老李家.精明的老王就琢磨着，这条线该如何画才能让自己分得的空地面积最大.经测量，米，米，米，， ，点到和的距离都是4米.请你帮老王算一算，他能分得的空地的面积最大为_ _ _ _ _ _ _ _ 平方米.
【简单应用】 解：的面积和四边形的面积相等.
理由：，
，，
点为边的中点，，
，
，
，
.
【类比迁移】 当直线转到点是线段的中点时，的面积最小.
连接,以点为圆心，长为半径画圆，分别交轴正半轴、轴正半轴于点，，作直线，如图1，直线即为所求.
理由：过点作一条异于的直线，分别交轴正半轴、轴正半轴于点，，过作交于，
易证，
，，，即， 当点是线段的中点时，的面积最小.
【问题解决】
【问题解决】 详解：如图2，延长与交于点，过作于，设过的直线分别交、于、，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作于，则， ,
,.
， ，，，在中，，，，解得（负值舍去），，由【类比迁移】的结论可得，当点是线段的中点时，的面积最小，此时四边形的面积最大. 点到和的距离都是4米，，，点是线段的中点，是的中位线，，，，，，，.
如图3，延长与交于点，过作于，设过的直线分别交、于、，过作于，于，过作于，则，
，，，
，，，由【类比迁移】的结论可得，当点是线段的中点时，的面积最小，此时四边形的面积最大. 点到和的距离都是4米，，，点是线段的中点，是的中位线，，，，,，，，，，，，.
，
老王能分得的空地的面积最大是平方米.
6．[2025扬州一模]在数学探究课上，小明同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值.
图1 图2 图3
（1） 【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理的过程并填空，理解确定的最小值的方法.
在等边中，，，
点为边的中点，.
.
过点作，使，连接.
.
又，.
.
连接，当，，三点共线时，取最小值，为线段的长.
连接，可证四边形是矩形，
.
的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值.
（3） 【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是，上的动点，且总有，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） .
（2） 解：如图，类比（1），过点作，使，连接，易得.
，，，
,
,.
连接，当，，三点共线时，线段的长即为的最小值.
过点作交的延长线于点.
在正方形中，为对角线，
,
， , ,
为等腰直角三角形,
正方形的边长为6，
..
在 中，，
的最小值为.
（3）
【解析】
（3） 详解：如图，延长到，使，连接，， ，，，，，连接，当、、三点共线时，线段的长即为的最小值，，，
，即的最小值为.
题型九 综合与实践【全国趋势】
类型1 跨学科实践
1．[2025扬州]材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点点或点所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的就是水滴的一个接触角.
图1
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.（保留作图痕迹,写出必要的文字说明）
图2
（2） 材料的疏水性随着接触角的变大而_ _ _ _ （选填“变强”“不变”“变弱”）.
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径,求出的度数,进而求出接触角的度数（如图3）.
（3） 请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示）,并说明理由.
图3
【创新思考】
（4） 材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外,还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
【答案】
（1） 解：如图，即为接触角.
说明：①在圆弧上取一点，设固、液、气三相接触点为，，连接，；
②分别作，的中垂线，两线交于点，则点为圆心；
③连接并延长，过点作，则为圆的切线，故即为所求.
（2） 变强
（3） ，理由如下：
连接，则，，
由题意得为的切线，
为的半径，，
，
， ，
，
.
（4） 设经过球心的纵截面中的弧长为，半径为,弧所对的圆心角为 ,则，，
可以根据的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强.（合理即可）
类型2 真实情境实践
2．[2025广西]综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞,遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）.
初始时,矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示,在上,,,,,.由于场地限制,参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中,也随之移动始终在边所在直线上，且形状、大小保持不变,但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状,图3为移动到落在上的情形.
图1 图2 图3
【问题提出】西西同学打算用数学方法,确定遮阳区面积最大时的位置.设遮阳区的面积为,从初始时向右移动的距离为.
【直观感知】
（1） 从初始起右移至图3情形的过程中,随的增大如何变化？
【初步探究】
（2） 求图3情形的与的值.
【深入研究】
（3） 从图3情形起右移至与重合,求该过程中关于的解析式.
【问题解决】
（4） 当遮阳区面积最大时,向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】（1） 解：由题图2可知，初始位置时， 从初始起右移至题图3情形的过程中，随的增大而增大.
（2） 根据题意，初始位置时在上，右移至题图3时，在上，
向右移动的距离，此时，落在上，
，
.
题图3情形的的值为3，的值为5.
（3） 设初始位置时， ，如图.
，， ，
.
当时，设交于，交于，交于，连接，如图.
由平移的性质可知，，，，，
易知，
，.
，， ，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形，四边形都是梯形，，
当或4时，，符合上式.
关于的解析式为.
（4） .
【解析】
（4） 详解：当时，随的增大而增大，故当时，最大，由（2）知，最大值为5；当时，，
当时，最大，为；
当时，随的增大而减小，此时.， 遮阳区面积最大时，向右移动了．
类型3 项目式学习
3．[2025安徽]综合与实践
【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫作图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
图1 图2 图3
图4
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为④．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示的方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
图5
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14个拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元．
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，则，解得，故需铺21行．由知，方案一所需的总成本为2 163元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①_ _ _ _ ；②_ _ _ _ ；③_ _ _ _ ；④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；⑤_ _ _ _ ；⑥_ _ _ _ ．
【答案】1； 6； 60； ； 126； 2 142
【解析】详解：观察题图4可知，每增加一个题图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形.
由正六边形和正三角形组件的边长均为，可得增加的长度为，所以个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
令，
移项可得，即，
解得，
每行可以先拼18个拼接单元．
共用去18个正六边形和个正三角形组件．
由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．
由知，方案二每行的成本为126元．
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，则，
，
故需铺17行．
由知，方案二所需的总成本为2 142元．
4．[2025山东]【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射,开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞,制作了一个航天器模型,其中某个部件使用打印完成,如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示,由于的尺寸不易直接测量,需要设计一个可以得到的长度的方案,以检测该部件中的长度是否符合要求.
图1 图2
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献,提出了钢柱测量法.
测量工具:游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）.
操作步骤:如图3,将两个钢柱平行放在部件合适位置,使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4,分别与,相切于点,.用游标卡尺测量出的长度.
图3
图4
【问题解决】
已知 ,的长度要求是.
（1） 求的度数.
（2） 已知钢柱的底面圆半径为,现测得.根据以上信息,通过计算说明该部件的长度是否符合要求.参考数据:
【结果反思】
（3） 本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗？如果能,写出一个；如果不能,说明理由.
【答案】
（1） 解：分别与，相切于点，，
.
（2） 钢柱的底面圆半径为，，
与相切于点， ，又 ，，，
同理可得，
，，
该部件的长度符合要求.
（3） 能，可将圆柱换成正方体.
【解析】
（3） 详解：如图，设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度，
则， ，
，，
同理可得，
.
类型4 操作探究实践
5．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
图1
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
图5
【答案】（1） 10
（2） 解：如图所示.（答案不唯一）
提示：在上截取，过点，作直线，交于点.
（3） 四边形是矩形，，，，， ，
，， 直线垂直平分，
，，，
， 四边形为平行四边形，，
，
，
，即四边形与四边形周长相等.
直线符合要求.
（4） ① 连接，交于点，过点作于点，过点作于点，
，，把矩形分成了周长相等的两部分，
点为矩形对角线的交点，，，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
.
② .
【解析】
② 详解：如图所示，连接，由①可知为的中点.取中点，连接.
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大.
，，，，
，
过点作， ，
四边形是矩形， ，，
，
，，
，，
，
，
与相切于点， ，
．
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2026江苏中考数学专题练
突破二 重难题型
题型五 函数综合题
类型1 二次函数性质综合题
1．[2025山东]已知二次函数,其中,为两个不相等的实数.
（1） 当,时,求此函数图像的对称轴.
（2） 当时,若该函数在时,随的增大而减小；在时,随的增大而增大,求的取值范围.
（3） 若点,,均在该函数的图像上,是否存在常数,使得 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
2．[2025泰州二模]已知二次函数，一次函数，其中，为常数，.
（1） 求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上.
（2） 当时，，求，的值.
（3） 点，分别在二次函数和一次函数图像上.
① 当，时，求的值；
② 若抛物线上存在两个不同的点，求的取值范围.
类型2 线段、面积问题
3．[2025常州模拟]如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像是抛物线，与轴交于，，顶点为，连接.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线.新抛物线的顶点为，与抛物线交于点，四边形是平行四边形.
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 求关于的函数表达式；
（3） 设抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点，若，求的值.
4．[2025镇江模拟]如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3） 若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标.
5．[2025宿迁二模]在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方.
图1 图2
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 如图1，过点作轴，交直线于点，连接，若，求点的坐标.
（3） 如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点.记，，的面积分别为，，.求的最小值.
6．[2025山东威海]已知抛物线交轴于点,点,交轴于点.点向右平移2个单位长度,得到点,点在抛物线上.点为抛物线的顶点.
备用图① 备用图②
（1） 求抛物线的表达式及顶点的坐标.
（2） 连接,点是线段上一动点,连接,作射线.
① 在射线上取一点,使,连接.当的值最小时,求点的坐标.
② 点是射线上一动点,且满足.作射线,在射线上取一点,使.连接,.求的最小值.
（3） 点在抛物线的对称轴上,若 ,则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型3 角度问题
7．[2025扬州三模]抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），顶点为.
备用图
（1） 顶点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图，点的坐标是，连接.
① 把线段沿某一方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标.
② 将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点.请问在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
8．[2025镇江二模]如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点、，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点.
图1 图2 图3
（1） 求一次函数和二次函数的表达式.
（2） 如图2，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标.
（3） 如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作于，于，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
9．[2025四川成都]如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,且对称轴为直线,直线与抛物线交于,两点,与轴交于点.
备用图
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 当时,直线与轴交于点,与直线交于点.若抛物线与线段有公共点,求的取值范围.
（3） 过点与垂直的直线交抛物线于,两点,,分别是,的中点.试探究:当变化时,抛物线的对称轴上是否存在定点,使得总是平分 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
10．[2025扬州二模]如图1，抛物线经过点、.
图1 图2 备用图
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 设抛物线的顶点为，与轴相交于点，连接、、、，请你判断与的数量关系，并说明理由.
（3） 如图2，连接与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得 ，且？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
类型4 存在性问题
11．[2025淮安一模]如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为.点为该抛物线上一点，其横坐标为.
（1） 求该抛物线的解析式.
（2） 当轴时，求的面积.
（3） 当该抛物线在点与点之间的部分包含点和点的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出的取值范围并写出这个定值.
（4） 在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
12．[2025苏州模拟]定义：对于抛物线、、是常数，，若，则称该抛物线是准黄金抛物线.已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于、两点.
（1） 求抛物线的函数表达式及点、的坐标.
（2） 将抛物线沿轴翻折，得到抛物线.
① 抛物线_ _ _ _ 准黄金抛物线（填“是”或“不是”）.
② 当时，记抛物线、组成的新图像为图像，图像交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图像于点，是否存在点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
13．[2025山东烟台]如图,抛物线与轴交于,两点（点在点左侧）,与轴交于点,,,是直线上方抛物线上一动点,作交于点,垂足为点,连接.
备用图
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 设点的横坐标为.
① 用含有的代数式表示线段的长度.
② 是否存在点,使是等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由.
（3） 连接,将线段绕点按顺时针方向旋转 得到线段,连接,请直接写出线段长度的最小值.
14．[2025无锡二模]如图，已知二次函数是常数，的图像与轴交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线.点关于的对称点为，连接，.点为该函数图像上一点，平分.
（1）
① 线段的长为_ _ _ _ _ _ ；
② 求点的坐标中的结论均用含的代数式表示
（2） 设是该函数图像上一点，点在上.是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.
类型5 代数推理问题
15．[2025连云港模拟]如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，点是二次函数图像的顶点，连接、.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 求的正切值；
（3） 若点在二次函数图像上，且横坐标为，过点的直线平行于轴，与、、轴分别交于点、、，试证明线段、、总能组成等腰三角形.
16．[2024宿迁二模]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点.
图1 图2 图3
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 如图2，连接、、，线段与相交于点，设，有最大值还是最小值？请作出判断，并求出的最值.
（3） 如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为，用表示的长，用表示的长，若在、两点运动的过程中，与始终满足函数关系式，试探究直线是否过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
题型六 几何动态综合题
类型1 动点、动线问题
1．[2025苏州]两个智能机器人在如图所示的区域工作, ,,,直线为生产流水线,且平分的面积（即为中点）.机器人甲从点出发,沿的方向以的速度匀速运动,其所在位置用点表示,机器人乙从点出发,沿的方向以的速度匀速运动,其所在位置用点表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为,记点到的距离（即垂线段的长）为,点到的距离（即垂线段的长）为.当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时与的部分对应数值如下表
0 5.5
0 16 16 0
（1） 机器人乙运动的路线长为_ _ _ _ ；
（2） 求的值;
（3） 当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时,求的值.
2．[2025扬州二模]如图1，在中， ，，，点是上的一个动点，将沿折叠得到，与交于点.
图1 图2
（1） 的度数为_ _ _ _ _ _ .
（2） 当为直角三角形时，求的长.
（3） 如图2，点为线段的一个四等分点，连接，点从点移动到点.
① 当点在的垂直平分线上时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
② 线段扫过的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
3．[2025扬州]问题:如图1,点为正方形内一个动点,过点作,,矩形的面积是矩形面积的2倍,探索的度数随点运动的变化情况.
图1 图2 图3
【从特例开始】
（1） 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2）,请你仅用无刻度的直尺连接一条线段,由此可得此图形中_ _ _ _ ;
（2） 小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3）,其中,,,求此图形中的度数;
【一般化探索】
（3） 利用图1,探索上述问题中的度数随点运动的变化情况,并说明理由.
4．[2025盐城一模]如图，在中， ，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边向上构造， ，连接，.
图1 图2 图3
【特例感知】
（1） 如图1，当时，与之间的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【类比迁移】
（2） 如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明.
【拓展应用】
（3） 在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3.已知，设，四边形的面积为.
① 求关于的函数表达式，并求出的最小值；
② 当时，请直接写出的长度.
类型2 图形的翻折问题
5．[2025苏州二模]实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知菱形纸片的边长为4， .
图1 图2 图3
（1） 如图1，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学利用了轴对称图形的对应边相等这一性质.请你利用上述解法之一求出线段的长度.
（2） 如图2，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，求此时线段的长度.
（3） 如图3，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于，两点，若，求线段的长度.
6．[2025常州二模]如图，在边长为6的正方形中，点是边上的动点，连接交对角线于点.以为直径的圆交于点，连接、.
（1） 猜想和的数量关系，并说明理由.
（2） 将沿直线翻折得到（点与点对应）的延长线交于点.
① 求的最大值；
② 设，用含的代数式表示，并写出的取值范围.
7．[2025无锡二模]
图1
图2 图3
（1） 如图1，正方形中，为边上一点，，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，的长为_ _ _ _ ；
（2） 如图2，在（1）的条件下，把正方形改成矩形，且，其他条件不变，则的长为_ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）；
（3） 如图3，在（1）的条件下，把正方形改成菱形，且 ， ，其他条件不变，当时，求的长.
8．[2025山东]【图形感知】
如图1,在四边形中,已知 ,,.
图1 图2
图3 图4
（1） 求的长.
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究.
在线段上取一点,连接.将四边形沿翻折得到四边形,其中,分别是,的对应点.
（2） 其中甲、乙两位同学的折叠情况如下:
① 甲:点恰好落在边上,延长交于点,如图2.判断四边形的形状,并说明理由.
② 乙:点恰好落在边上,如图3.求的长.
（3） 如图4,连接交于点,连接.当点在线段上运动时,线段是否存在最小值？若存在,直接写出;若不存在,说明理由.
类型3 图形的旋转问题
9．[2025宿迁一模]在中，， ，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接，，.
（1） 如图1， .
① 证明：；
② 求直线与直线相交所成的较小角的度数.
（2） 如图2，当 时，_ _ _ _ ；直线与直线相交所成的较小角的度数为_ _ _ _ _ _ .
（3） 当 时，若点，分别是，的中点，点在直线上，当点，，在同一直线上时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
10．[2025扬州一模]如图，已知 ，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点.
（1） 若 ，则的度数为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 猜想线段、、之间的数量关系，并证明；
（3） 若，当长为10时，求的面积.
11．[2025宿迁三模]如图1，在菱形中，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点、重合），将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，旋转角与相等，过点作的平行线，交射线于点.
图1 图2 图3
（1） 求证：是等腰三角形.
（2） 如图2，若线段上存在点，满足，连接、、、.
① _ _ _ _ .
② 在点运动的过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由.
（3） 如图3，在（2）的条件下，若，，延长交于点，请直接写出的最小值.
12．[2025徐州]如图1,将绕直角顶点旋转至,点,的对应点分别为,.连接,,,,直线与交于点.
图1 图2
（1） 与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由.
（2） 如图2,连接,若,,的中点分别为,,，求证:,,三点共线.
（3） 已知,随着,及旋转角的变化,若存在以,,,为顶点的四边形,其面积为,则的最大值为_ _ _ _ .
题型七 几何静态综合题
类型1 三角形综合题
1．[2025苏州二模]
图1
图2 图3
【问题提出】 如图1，中， ，，中， ，，连接，，可以得到线段，的位置关系和数量关系分别为_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】 如图2，中， ，，中， ，，连接，，延长到，使，连接，求证：，；
【问题解决】 如图3，在【问题探究】的条件下，若，，连接，，若，则满足条件的线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[2025浙江]在菱形中，，.
图1 图2
（1） 如图1，求的值
（2） 如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接.
① 当时，求的长；
② 求的最小值.
类型2 四边形综合题
3．[2025连云港]综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、,且,交于点.连接,过点作,垂足为,连接、,交于点,交于点.
【活动猜想】
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ ,位置关系是_ _ _ _ ；
【探索发现】
（2） 证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3） 若,,求的长；
【综合探究】
（4） 若,则当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,的面积最小.
4．[2025安徽]已知点在正方形内，点在边上，是线段的垂直平分线，连接，．
图1 图2 图3
（1） 如图1，若的延长线经过点，，求的长.
（2） 如图2，点是的延长线与的交点，连接．
（ⅰ） 求证： ；
（ⅱ） 如图3，设，相交于点，连接，，，若，判断的形状，并说明理由．
类型3 圆综合题
5．[2025连云港]已知是的高,是的外接圆.
图1 图2 图3
（1） 请你在图1中用无刻度的直尺和圆规,作的外接圆（保留作图痕迹,不写作法）；
（2） 如图2,若的半径为,求证:；
（3） 如图3,延长交于点,过点的切线交的延长线于点，若,, ,求的长.
6．[2025福建]如图,四边形内接于,,的延长线相交于点,,相交于点是上一点,交于点,且,.
（1） 求证:；
（2） 求证:；
（3） 若,,,求的周长.
题型八 阅读理解题答案见
类型1 “新定义”阅读理解题
1．[2025扬州一模]若点在四边形内部，且点到四边形一条边的两个端点的距离相等，则称点为该边的“等距点”.
图1 图2
（1） 如图1，四边形中，于点， ，求证：点是边的“等距点”.
（2） 如图2，点是矩形的边的“等距点”，，.
① 当 时，请求出的长；
② 设、的度数分别为 、 ，试求的最大值.
（3） 当四边形满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，该四边形的四条边的“等距点”互相重合.
2．[2025湖南长沙]我们约定:当,,,满足,且时,称点与点为一对“对偶点”.若某函数图像上至少存在一对“对偶点”,就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定,解答下列问题:
（1） 请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“”）.
① 函数是非零常数的图像上存在无数对“对偶点”.（ ）
② 函数一定不是“对偶函数”.（ ）
③ 函数的图像上至少存在两对“对偶点”. （ ）
（2） 若关于的一次函数与,都是常数,且均是“对偶函数”,求这两个函数的图像分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.
（3） 若关于的二次函数是“对偶函数”,求实数的取值范围.
3．[2025苏州二模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”.
（1） 如图，点，，.
① 在点，，中，弦的“关联点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“关联点”，直接写出的长.
（2） 已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围.
4．[2025连云港一模]【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边的邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形.（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形）
图1 图2 图3
图4
如图1，在四边形中，如果， ，那么四边形为单直邻等四边形.
【初步理解】
（1） 如图2，为等边三角形，点在的平分线上，连接，将绕点顺时针旋转 得到线段，连接，.
求证：四边形为单直邻等四边形.
【拓展应用】
（2） 如图3，四边形为单直邻等四边形， ，，连接， ，，作 （点在上方），且，连接并延长交于点，交于点.求的长.
【解决问题】
（3） 如图4，射线于点， ，，点在射线上，，点在射线上，四边形为单直邻等四边形，的平分线交于点，则的长为_ _ _ _ .
类型2 方法的模仿与渗透
5．[2025淮安二模]【知识再现】如图1，从苏科版八年级下册教材对中位线性质的探索过程中，我们认识到：利用中点构造全等，可以将三角形问题转化为四边形问题来解决.
图1 图2 图3
图4
【简单应用】 如图2，小明受到启发，思考并提出新的问题：四边形中，，点为边的中点，连接并延长交的延长线于点，的面积和四边形的面积相等吗？请说明理由.
【类比迁移】 如图3，爱动脑筋的小丽给出新的情境：为平面直角坐标系中第一象限内的一个定点，过点任意作一条直线，分别交轴正半轴、轴正半轴于点，.小丽在将直线绕着点旋转的过程中发现的面积存在最小值.直线转到什么特殊位置时，的面积最小？请用无刻度的直尺和圆规作出此时的直线，并说明面积最小的理由.
【问题解决】 如图4，老王家点和老李家点门前有一块公共闲置空地四边形，空地中间有一棵大树点，过点画一条直线，该直线将四边形分为两个小四边形，其中，以为顶点的小四边形空地分给老王家，以为顶点的小四边形空地分给老李家.精明的老王就琢磨着，这条线该如何画才能让自己分得的空地面积最大.经测量，米，米，米，， ，点到和的距离都是4米.请你帮老王算一算，他能分得的空地的面积最大为_ _ _ _ _ _ _ _ 平方米.
6．[2025扬州一模]在数学探究课上，小明同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值.
图1 图2 图3
（1） 【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理的过程并填空，理解确定的最小值的方法.
在等边中，，，
点为边的中点，.
.
过点作，使，连接.
.
又，.
.
连接，当，，三点共线时，取最小值，为线段的长.
连接，可证四边形是矩形，
.
的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值.
（3） 【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是，上的动点，且总有，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
题型九 综合与实践【全国趋势】
类型1 跨学科实践
1．[2025扬州]材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点点或点所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的就是水滴的一个接触角.
图1
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.（保留作图痕迹,写出必要的文字说明）
图2
（2） 材料的疏水性随着接触角的变大而_ _ _ _ （选填“变强”“不变”“变弱”）.
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径,求出的度数,进而求出接触角的度数（如图3）.
（3） 请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示）,并说明理由.
图3
【创新思考】
（4） 材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外,还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
类型2 真实情境实践
2．[2025广西]综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞,遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）.
初始时,矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示,在上,,,,,.由于场地限制,参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中,也随之移动始终在边所在直线上，且形状、大小保持不变,但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状,图3为移动到落在上的情形.
图1 图2 图3
【问题提出】西西同学打算用数学方法,确定遮阳区面积最大时的位置.设遮阳区的面积为,从初始时向右移动的距离为.
【直观感知】
（1） 从初始起右移至图3情形的过程中,随的增大如何变化？
【初步探究】
（2） 求图3情形的与的值.
【深入研究】
（3） 从图3情形起右移至与重合,求该过程中关于的解析式.
【问题解决】
（4） 当遮阳区面积最大时,向右移动了多少？（直接写出结果）
类型3 项目式学习
3．[2025安徽]综合与实践
【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫作图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
图1 图2 图3
图4
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为④．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示的方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
图5
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14个拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元．
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，则，解得，故需铺21行．由知，方案一所需的总成本为2 163元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①_ _ _ _ ；②_ _ _ _ ；③_ _ _ _ ；④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；⑤_ _ _ _ ；⑥_ _ _ _ ．
4．[2025山东]【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射,开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞,制作了一个航天器模型,其中某个部件使用打印完成,如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示,由于的尺寸不易直接测量,需要设计一个可以得到的长度的方案,以检测该部件中的长度是否符合要求.
图1 图2
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献,提出了钢柱测量法.
测量工具:游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）.
操作步骤:如图3,将两个钢柱平行放在部件合适位置,使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4,分别与,相切于点,.用游标卡尺测量出的长度.
图3
图4
【问题解决】
已知 ,的长度要求是.
（1） 求的度数.
（2） 已知钢柱的底面圆半径为,现测得.根据以上信息,通过计算说明该部件的长度是否符合要求.参考数据:
【结果反思】
（3） 本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗？如果能,写出一个；如果不能,说明理由.
类型4 操作探究实践
5．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
图1
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
图5
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