分层练 第四章 三角形（学生用卷+教师用卷）--2026江苏中考数学专题练

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2026江苏中考数学专题练
第四章 三角形
第1节 线与角、相交线与平行线
基础练
1．[2025苏州一模]若，则 的余角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2025苏州模拟]如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ）
第2题图
A. 同位角相等 B. 内错角相等
C. 对顶角相等 D. 同旁内角互补
【答案】C
3．[2025常州一模]如图，直线，交于点，于，若 ，则的度数是（ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2025苏州一模]下列命题中，真命题是（ ）
A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】C
5．[2025无锡二模]对于命题“若，则”，下面给出的值中，能说明这个命题是假命题的是 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
6．[2025常州模拟]如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟，过点作于点，沿着方向铺设排水管道用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
第6题图
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
7．[2025镇江一模]将套尺中的量角器和三角尺按照如图所示的方式摆放，其中三角尺的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径， .下列条件中，不能判定的是 （ ）
第7题图
A. B.
C. D.
【答案】C
8．[2025南通三模]如图，与互补， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9．[2025南京一模]一个角比它的余角大 ，则这个角的补角等于_ _ _ _ .
【答案】130
10．[2025无锡一模]命题“等边对等角”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】等角对等边
11． _ _ _ _ .
【答案】12.26
12．[2025徐州一模]如图，已知平面镜平行于平面镜，光沿水平方向射来，传播路线为，，，若 ，则_ _ _ _ .
【答案】45
提升练
13．[2025扬州一模]如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
14．[2025扬州一模]如图，一束平行于主光轴的光经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点.若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
15．[2025扬州一模]小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角尺上，使量角器的 刻度线与三角尺的斜边平行，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处.现将三角尺斜边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为 ，那么被测物体表面的倾斜角 为_ _ _ _ .
【答案】27
16．[2025苏州模拟]【学科融合】如图1，一种反光板由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线.在光反射时，，.
【问题初探】
图1 图2
（1） 如图1，当两面镜子，的夹角 时，试说明.
【深入探究】
（2） 如图2，当两面镜子，的夹角 且 时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不与点重合），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围.
（3） 如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由.
【答案】
（1） 解： ，
，， ，
，.
（2） .
（3） 不变.由题意得 ，
，， ， ,
.
第2节 三角形与多边形
基础练
1．[2025南通模拟]能与两根长度分别为，的小木棒组成三角形的小木棒的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2024常州一模]要将一块如图所示的三角形土地分成面积相等的两部分，则图中所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
【答案】B
3．[2025无锡一模]一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】D
4．如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别取，的中点，，若的长为10米，则，间的距离是（ ）
第4题图
A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米
【答案】B
5．[2025扬州一模]如图，是的外角的平分线，且 ， ，则的度数为（ ）
第5题图
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2025盐城一模]一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行.若斜面的坡角 ，则摩擦力与重力方向的夹角 的度数为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
【答案】B
7．[2025南京二模]如图，在中，是高，是角平分线，若 ， ，则（ ）
第7题图
A. B. C. D.
【答案】A
8．[2025徐州一模]已知的两边长分别为2和4，第三边长为偶数，则第三边的长为_ _ _ _ .
【答案】4
9．[2025徐州一模]已知正边形的一个内角为 ，则的值是_ _ _ _ .
【答案】8
10．[2025盐城一模]如图，在中， ，剪去得到四边形，则_ _ _ _ .
第10题图
【答案】230
11．[2025扬州一模]如图，，的顶点，分别在，上， ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
第11题图
【答案】
12．[2025淮安模拟]如图，在中，，是两条中线，则_ _ _ _ _ _ .
第12题图
【答案】
13．如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长为_ _ _ _ .
第13题图
【答案】2
14．[2025宿迁二模]如图，在四边形中，，，点，分别在，上，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，平分，求的度数.
【答案】（1） 解：证明：，，，，，，.
（2） ，
，，
， ，
平分， ， ，
， ，
.
提升练
15．[2025宿迁一模]如图，点是正八边形的边上一点，一束光从点出发，经过两次反射后到达边上一点，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
16．[2025泰州一模]如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且.要求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
17．[2025南京模拟]如图，直线分别与正六边形的边，相交于点，，则 的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
18．[2025南京一模]在中， ，.若为钝角，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
19．[2025南京一模]如图，在中，，延长至，使，连接，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为_ _ _ _ .
【答案】
20．[2024盐城一模]要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
已知：如图，在中，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
求证：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】点，分别是边，的中点； ，.
解：证明：如图，延长到点，使，连接，.
易得，
，，
，，，
四边形为平行四边形，
，，，
，.
第3节 全等三角形
基础练
1．[2025盐城一模]如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A. 9 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
2．[2025常州一模]如图，在中， ，垂直平分，交于点，若的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024南通一模]如图，，与交于点，请添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ ，使.（只填一种情况即可）
【答案】
【解析】（答案不唯一）
4．[2024南京三模]如图，在中，平分，.若，，则_ _ _ _ .
【答案】1
5．[2025宿迁一模]如图所示，在正方形网格图中，点、、、均在正方形网格的格点上.则_ _ _ _ .
【答案】45
6．[2025南京一模]如图，在四边形中，是边上一点，连接，，，平分，.
求证：.
证明：平分，
，，，，
，，
在和中，
.
7．[2025苏州二模]如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，连接，作射线，交于点.
（1） 求证：；
（2） 若，求的度数.
【答案】
（1） 解：证明：由作图可知,
点在线段的垂直平分线上，
由作图可知点在的垂直平分线上，，，
在和中，
.
（2） 设，
由（1）知，
，
，
，，
，解得 ，
.
提升练
8．[2024南京模拟]如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴正半轴，轴正半轴上， ，则等于（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
9．[2025南通二模]如图，中， ，，点是的中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】连接、、，中， ，，是等腰直角三角形，又 点是的中点，， ， ，，，，， ，是等腰直角三角形，过点作于点，， 点是上的动点， 当（即图中）时，取最小值，为，此时, 点到距离的最小值为.
10．[2025宿迁一模]如图，平面直角坐标系中，，若点的坐标为，，两点的纵坐标均为，，两点在轴上，则点到轴的距离为_ _ _ _ 个单位.
【答案】5
11．[2025徐州一模]如图，中， ， ，的垂直平分线分别交，于点，，交的延长线于点，若，则四边形的面积是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．[2025常州模拟]如图，在中， ，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在中， ，，，，垂直平分，，，过点作于， ，是角平分线，，，，，，，，，，易得，，即，，.
13．[2024南京二模节选]将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径.
如图1，在中，是中线，是边上一点， ，作的垂直平分线分别交、于点、，探究下列问题.
图1 图2
【特殊化】
（1） 当点与点重合时，
① 在图2中，画出此特殊情况；
② 此情况下，点与点_ _ _ _ 重合，与满足的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【一般化】
（2） 当点、、中任意两点不重合时，如图1，（1）中与所满足的数量关系是否仍然成立？说明理由.
【答案】
① 解：如图所示.
② ；.
（2） 成立.
理由：取中点，连接，过点作，垂足为，如图所示.
，，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，， ，
， ，，
是的中点，，
，，即，，即.
微专题4 全等三角形模型
1．[2025南通二模]如图，在等腰三角形中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接,，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】D
2．【基础巩固】
（1） 如图1，为等腰直角三角形， ，求证：；
图1
【尝试应用】
（2） 如图2，在（1）的条件下，连接，，求的长；
图2
【拓展提高】
（3） 如图3，在中，，分别在直角边，上，， ，求的值.
图3
【答案】
（1） 解：证明：是等腰直角三角形，，
，
， ，，
在和中，
.
（2） 过点作于点.
，
四边形是矩形，，
，，，
由（1）知，
，，，
设，则，在中，
，即，
或（舍去），
.
（3） 过点作，在上截取,使得，连接、，作的平分线交的延长线于点，设，，则，，
易得，
，， ， ，
， ，
，
又 ，
，
平分，，
，，， 四边形是平行四边形，，
，，
，
，整理得，（负值舍去），
.
3．在几何图形中，两个共顶点的角中的小角的角度是大角的一半，我们称之为“半角模型”.
（1） 如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且 ，写出图中线段，，之间的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 如图2，四边形中，， ， ，且，，，求的长；
图2
（3） 如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于_ _ _ _ ；
图3
（4） 如图4，边长为6的正方形中，的顶点,分别在,边上，且，连接分别交,于点，，若，求的长.
图4
【答案】（1） .
（2） 解：在上取一点，使得，连接, ，
， ，，，，，
，，
，
，
， ，
，，
，，
设，则，，
在中，，
，
，.
（3） 13.
（4） 延长至点，使，连接，
四边形是正方形，
， ，
，
，，
又，，，
，
，
在上截取，连接，，
易证，
， ，
，
，
， ，，
，，
，设，
，，
，
，
，
解得，.
微专题5 与角平分线有关的添加辅助线的方法
1．综合与探究
折纸常能为证明一个命题提供思路和方法.
【感悟】
（1） 如图1，是的高，，若，，求的长.
笑笑同学的解法：将沿折叠，点刚好落在边上的点处，则_ _ _ _ .
图1
【探究】
（2） 如图2，，的外角的平分线交的延长线于点，线段,,之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.
图2
【拓展】
（3） 如图3，在四边形中，平分，，.
图3
① 求证： ;
② 若，求的长.
【答案】（1） 9.
（2） 解：，证明如下：
如图1，在上截取，连接，
平分，，
在和中，
，，， ， ，
，，
，，，，
，.
图1
（3） ① 证明：如图2，在上截取，连接，同（2）可证，，，
，，，
，
.
图2
② 由①得 ，，，
， ，
，为等边三角形，
，.
2．综合与实践
【问题呈现】
如图①，在四边形中， ，，求证：平分.
【问题解决】
现有两种“构造”方案：
方案一：如图②，过作于点，交的延长线于点；
方案二：如图③，延长至点，使，连接.
图① 图② 图③
图④
（1） 请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程；
【思维发散】
（2） 如图④，在等边中，点是的中点， ，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系.
【答案】
（1） 解：选方案一，证明： 在四边形中， ，
，
，
，
，， ，在和中，
，
，，
又，，
平分.
选方案二，证明： 在四边形中， ，
， ，，
在和中，
，
，，，平分.
（2） .
第4节 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2025南京一模]如图，在中，点在上，， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2025扬州一模]象棋是中国的传统棋种，如图所示的棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
3．[2025扬州一模]如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为因变量能使，符合如图2所示的函数关系？（ ）
图1 图2
A. 的面积 B. 的周长
C. 的面积 D. 的周长
【答案】C
4．[2025安徽]如图，在中， ，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长是（ ）
A. B. 6 C. D. 3
【答案】B
5．[2025常州一模]如图，， ，，则_ _ _ _ .
第5题图
【答案】80
6．[2025淮安一模]如图，在中， ，是边上的中线，若，，则的值为_ _ _ _ _ _ .
第6题图
【答案】
7．[2025南京模拟]如图，在中， ，.求证：是直角三角形.
证明：如图，在上取点，使，连接，
，是等边三角形，
， ，
，，
，，
，
， ，是直角三角形.
8．[2025河北]如图,四边形的对角线,相交于点,,,点在上,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:.
【答案】
（1） 证明：，，.在和中，
.
（2） ，，
，.
提升练
9．[2025南京一模]将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放.在两个涂色的三角形中，较大的三角形和较小的三角形的面积的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．[2025广西]如图,点,在同侧,,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．[2025泰州一模]中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》注解时，用如图所示的4个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若是中点，延长交正方形的边于点，且，则_ _ _ _ _ _ .
第11题图
【答案】
【解析】设的中点为，连接，
由题意得, ， 点是的中点，点是的中点，，， ， ，由题意得 ，，,，， 可证，，设，，则，， 四边形是正方形，，即,,
.
12．[2025南京一模]如图，点，分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心.将这个正方体的表面展开成平面图形后，点，之间的最大距离是_ _ _ _ _ _ .
第12题图
【答案】
13．[2025常州一模]如图，已知在中， ，，，点在边上，若有两个内角的差是 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】在中，.
①当 时, ,,过点作于点，，,,；
②当 时， ,,,
,,.
综上，或.
14．[2024南京模拟]如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接，过点作，交的延长线于点.
（1） 探究的形状；
（2） 求证：；
（3） 连接,延长交于点，若，求的正切值.
【答案】
（1） 解：是等边三角形，
，由旋转得 ，，
是等边三角形.
（2） 证明：是等边三角形，
， ，
，
又， ，
，由旋转得， ，
又 ，，在和中，
.
（3） 过点作于点，
由（2）得，,设，则，，
，
，，
，，
，，
，，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，，
.
微专题6 与中点有关的添加辅助线的方法
1．如图，四边形是由两个直角三角尺拼成的，其中 ， ，为边的中点，连接交于点.若，则的长为_ _ _ _ .
第1题图
【答案】3.6
2．如图，点为平行四边形的对角线和的交点，点为边的中点，连接交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
第2题图
【答案】
3．如图，在中，， ，，为的中点，，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
第3题图
【答案】
4．如图，的角平分线与边上的中线互相垂直，且，则_ _ _ _ _ _ .
第4题图
【答案】
【解析】取的中点，连接，
是中线，是的中位线，
，，
是的平分线，，
， ，
，为等腰三角形，，又，
，，
，
.
5．如图， ，分别以、为斜边，向下方作等腰、等腰，点是的中点，连接、.
（1） 若，，求的长；
（2） 求证：.
【答案】
（1） 解：在中，，
在中，，
.
（2） 证明：延长交于点.
在和中，
，，，又是的中点，
，.
6．已知点是直角三角形斜边上一点（不与，重合），分别过，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点.
图1 图2
（1） 如图1，当点与点重合时，与的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，当点不与点重合时，若，，的面积等于3，求的面积.
【答案】（1） ；.
（2） 解：延长、交于点，
易得，，
在和中，
，，
，
，
，，
，，
设，,,
,
,.
第四章 章节检测（一）
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．[2025南京二模]下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角三角形的是 （ ）
A. 6,9 B. 9,15 C. 10,16 D. 15,18
【答案】B
2．[2025南通二模]将一个含有 角的直角三角尺和一个直尺按如图所示的方式放置，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2025宿迁一模]如图，平分，交于点，于点，若 ，，则的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
4．[2024常州模拟]如图，在中， ，，，垂足为，、分别是、上的点，且.如果 ，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2024连云港二模]如图，在中， ，分别以，为边向外作正方形与正方形，为的中点，连接，.记的面积为，的面积为，若要求出的值，只需知道哪条线段的长？（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接交于点，连接交于点 四边形和四边形是正方形，，.设正方形的边长为，正方形的边长为，，，，，为的中点，，，， ，，即，，故只需知道线段的长.
二、填空题（每小题6分，共36分）
6．[2025南通二模]一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是_ _ _ _ .
【答案】8
7．[2025南通二模]如图，在中， ，是的角平分线，若，则点到的距离等于_ _ _ _ .
【答案】3
8．[2025南京二]模要说明命题“若,则”是假命题，写出一个的值：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】（答案不唯一）
9．[2025南京二模]若等腰三角形的一个外角等于 ，则它的底角为_ _ _ _ .
【答案】40
10．[2025南京二模]如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若 ，则折痕的长为_ _ _ _ .
【答案】2
11．[2025湖南]已知，，是的三条边长，记，其中为整数.
（1） 若三角形为等边三角形，则_ _ _ _ .
（2） 下列结论正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号）
①若，，则为直角三角形；
②若，，，则；
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7.
【答案】（1） 2
（2） ①②
【解析】
（1） 是等边三角形，
，
.
（2） ①当，时，
，
，
，
，
为直角三角形，故①正确.
②当，，时，
，
.
.当时，
，
;
.当时，
，
.
综上，.
，
随的增大而增大，
当时，，
当时，，
，故②正确.
③当时，，
，
，
.
，，是三个连续正整数，且，
不妨设，则，（为正整数），
，
，
解得，
符合题意的的值有2,3,4,5,6,7，共6个，
符合题意的,,的取值一共有6组，
满足条件的的个数为6，故③错误.
三、解答题（共34分）
12．[2025苏州模拟]（10分）在中，， ，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
【答案】
（1） 解：证明：在和中，
.
（2） 在中，， ， ，
由（1）知，
，
， .
13．[2025无锡模拟]（10分）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 解：证明：，
， 点是线段的中点，，
在和中，
.
（2） 由（1）得，
，，
，点是线段的中点，
， ，
，
，，
.
14．[2025镇江二模]（14分）已知 ，点在边上，点是边上一动点， ，将线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，作于点.
图1 图2
（1） 如图1， .
① 依题意补全图形；
② 连接，求的度数.
（2） 如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
【答案】
① 解:补全图形如下.
② 由旋转得且 ,
是等边三角形, , , ,
, , .
（2） .
证明:如图,连接,,，
同（1）②得是等边三角形,
, ,
由旋转得, ,
是等边三角形,, ,,,
,,
, , ,
,
,
,,.
第5节 相似三角形
基础练
1．[2025淮安一模]两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2025宿迁一模]如图，中，点是上一点，补充下列条件中的一个，仍不能判定的是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2025扬州模拟]如图，在菱形中，点在边上，射线交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
第3题图
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】C
4．[2025淮安模拟]大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也能产生最具美感的黄金分割比.如图，为的黄金分割点，若，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（结果保留根号）
第4题图
【答案】
5．[2025连云港模拟]如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第5题图
【答案】
6．[2025南京二模]如图，直线，若，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
7．[2025淮安模拟]如图，中， ，于点，，，求.
解： ，，
， ，，，
，,
即，，
.
8．[2025南京二模]如图，在正方形中，是的中点，点在上，且.求证.
证明：设，则，， 四边形是正方形，
， ， 点是的中点，
，在中，
,
同理得，，
，，
，，,,,
，.
提升练
9．[2025宿迁一模]如图，的中位线，把沿折叠，使点落在边上的点处，若、两点间的距离是，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
10．[2025扬州一模]将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则_ _ _ _ .
【答案】8
11．[2025南京模拟]如图，是的中线，点在上，延长交于点.若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．[2025南京模拟]如图，矩形中，，，点是边上一定点，且.在线段上找一点，使与相似.若这样的点恰好有两个，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3或4
【解析】如图，延长，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，以为直径作圆交于点、，
与相似， 分两种情况：①当时，，由图可知线段上始终存在一点使成立.②当时，,设，则，,.当时，，存在一个点（与重合）使成立；当时，或3，存在两个点使成立，但当时也成立（与重合）；当且时，存在两个点与使成立.
综上，的值为3或4.
13．[2025南京二模]
（1） 如图1，在四边形中， ，点在上，且.过点作，垂足为，交于点.
图1
① 求证：;
② 求证：.
（2） 如图2，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为.
图2
① 当点在直线上运动时，点的运动路线是_ _ _ _ _ _ .
A.直线 B.弧 C.线段
② 若，，点到的距离为，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】① 解：证明：，，.
② 由①知，
,， ，， ，
，，
,，
.
（2） ①
② .
【解析】
（2） ① 详解：过点作于点，在上截取，使,
，，连接，,, ,易知点不与点重合， 点的运动路线是以为直径的圆上的一段弧.
② ,,
,
,
,
是定值， 当的值最大时，的值最大，此时经过圆心.连接，,作于点，则.
由①得，，，
易得四边形是矩形，
，,
,
的最大值为，
的最大值为.
微专题7 相似三角形模型
1．[2025南通一模]如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且 ，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2025连云港一模]如图，四边形是平行四边形，点是线段的中点，连接，交于点，若，则_ _ _ _ .
【答案】4
3．[2025苏州一模]如图，在中， ，，,分别为边,上一点，且 ，设，，则与之间的函数关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
4．[2025扬州三模]在中， ，，为上一点，，交于点，若将的周长分成的两部分（即），则的值为_ _ _ _ _ _ .
第4题图
【答案】
【解析】过点作交于点,
，又，,，设,,,则，,,，易知,，即,..
在中,,.
5．[2025连云港一模]两个等腰直角三角尺如图放置，点为的中点，，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
第5题图
【答案】
6．[2025盐城一模]【问题情境】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点所连的线段存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1，在中， ，，分别取、的中点、，连接.如图2，将绕点逆时针旋转，连接、.
图1 图2 图3 图4
【探究发现】 旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.
【类比应用】 如图3，当所在直线首次经过点时，求的长.
【延伸思考】 如图4，在中， ，，，分别取、的中点、，连接，将绕点逆时针旋转，连接、.当首次与平行时，求的面积.
【探究发现】 解：，证明如下：
由题意得，，
，，
根据旋转的性质可得，
，，
易知，.
【类比应用】 由题意知 ，，
当所在直线经过点时，，
.
由【探究发现】得，
.
【延伸思考】 过点作于点，
根据题意可得，
，，，
，
，
，，
根据旋转的性质可得，
，
，
.
第6节 锐角三角函数
基础练
1．[2025天津] 的值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】A
2．[2025扬州一模]在正方形网格中，为正方形的顶点，则等于（ ）
第2题图
A. 3 B. C. D.
【答案】D
3．[2025南通三模]如图，以点为圆心的经过原点，与轴交于点，点是轴右侧优弧上的一点，则的值是（ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2025南通一模]在中，，为斜边上的中线，若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
5．[2025连云港模拟]若，则锐角 的度数是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
6．[2025宿迁一模]在中，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
7．[2025扬州一模]如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第7题图
【答案】
8．[2025常州模拟]在菱形中，，，，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第8题图
【答案】
9．[2025宿迁一模]在中，,,分别是,,的对边， ， ，，解这个三角形.
解： ， ， ，
，即，
，.
10．[2025连云港模拟]如图，在中， ，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，.
（1） 求的长；
（2） 求的正切值.
【答案】
（1） 解：，
，
在中，，,，,
，，
，.
（2） 过点作于点，
,在中，,,
是的中点，,
在中，,,
，
.
提升练
11．[2025扬州一模]如图，在中，，以为直径的圆分别与、相交于点、，若，则的值为（ ）
第11题图
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作于点，
，设，则，，，，由题意易得，.
12．[2025南通二模]如图，在中，， ，为延长线上一点，为上一点，，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）
第12题图
A. 4.5或7.5 B. 5或7 C. 5.5或6.5 D. 6
【答案】B
【解析】在上取点，使,连接,过点作于点,
设,,,,,为的中点,为的中位线,, , ,,,,在中，,即,解得或.当时,；当时,.
综上，的长为5或7.
13．[2025连云港一模]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．已知中， ，，，则的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
15．[2025淮安一模]新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，设，则，，，，，，，，，在中， ， ，，，，即，，，，.
16．[2025苏州一模]综合与实践
九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动.
【特例探究】
（1） 如图①，锐角中， ，，作，垂足为，则的面积为_ _ _ _ ；
图①
【一般证明】
（2） 如图②，锐角中， ，，，的面积为，求证： ；
图②
【迁移应用】
（3） 如图③，锐角中， ，，，是的平分线，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图③
【答案】（1） 4.
（2） 解：证明：过点作于点，
， ，
.
（3） .
第7节 解直角三角形的实际应用
基础练
1．[2025常州模拟]某人沿着坡度为的山坡前进了，则他竖直方向升高了（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2025南通一模]如图，建筑物上有一旗杆（,,三点共线），从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为 ，观测旗杆底部的仰角为 ，则旗杆的高度是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2025苏州模拟]如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向的处，海里.它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东 方向的处，则处与灯塔的距离为_ _ _ _ _ _ 海里.（结果保留根号）
第3题图
【答案】
4．[2025南京一模]如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东 方向；在处测得点在北偏东 方向，点在北偏西 方向.，求、两点间的距离.（结果保留根号，参考数据：）
解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题意知 ， ，，，，， ，
四边形是矩形，
，，由题意知 ，，
在中，，，，，
在中，，.
答：、两点间的距离是.
5．[2025南京一模]如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体.如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮的仰角为 ，向后水平移动到处，测得定滑轮的仰角为 ，此时物体上升到处.已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离.（结果精确到，参考数据：，，，）
① ②
解：延长交于点，
由题意得，设，
在中，，
在中，，，,,
,，
绳子总长不变，
，
.
答：距离约为.
提升练
6．[2025泰州一模]如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子是可供学生午休的躺椅.图1是上课期间椅子的状态，已知座面宽且，座面高，背垫为，点到地面的距离为， .图2是学生躺下时椅子的状态，脚垫长，， .
图1 图2
（1） 求背垫的长；
（2） 如图2，求学生躺下时点与点之间的水平距离.
（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】
（1） 解：如图，过点作交的延长线于点， ，
，，
在中，.
答：的长约为.
（2） 如图，过点作，分别过点，，作于，于，于，延长交于点，
，
，，
，，
四边形，均是矩形，
，，，
由（1）知，， ， ，
在中， ，
同理得 ,
.
答：点与点之间的水平距离约为.
7．[2025苏州一模]某物理探究小组利用实验器材模拟室内光的反射，研究光的反射规律.如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点射入，在处反射后，在光屏上形成光斑.由光的反射定律可知.已知光屏与水平面的夹角为 ，点与的距离分米，当光线与平面镜的夹角 时，在光屏上形成的光斑为点.
图1 图2
（1） 求点与点的距离（结果保留根号）；
（2） 如图2，若光线与平面镜的夹角 ，此时光经过反射在光屏上形成的光斑为点，求点与点之间的距离（结果保留根号）.
【答案】
（1） 解：如图,
由题意得，，
，
，
，
，
在中，分米，
在中，分米.
答：点与点的距离为分米.
（2） 过点作于点，如图，
， ，
由题意得 ，
，
在和中，
，
分米，
， ，
， ，
在中，分米，
由（1）知分米，
（分米）.
答：点与点之间的距离是分米.
第四章 章节检测（二）
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．[2025无锡一模]某博物馆大厅电梯的截面如图所示，的长为12米，与的夹角为 ，则高是（ ）
第1题图
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
2．[2025南通二模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上，连接,,则的值是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2025南京模拟]如图，在中，分别交，于点，，交于点，，，则的长为（ ）
第3题图
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
4．[2025浙江]如图,五边形,是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点,的坐标分别为,.若的长为3,则的长为（ ）
第4题图
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
5．[2025扬州一模]如图是，延长斜边到点，连接.若，，，则的长为（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【答案】B
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．[2025广东]计算 的结果是_ _ _ _ .
【答案】0
7．[2025常州模拟]如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第7题图
【答案】
8．[2025连云港模拟]如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则_ _ _ _ _ _ .
第8题图
【答案】
9．[2025扬州一模]如图，中， ，于点，作 ，交线段于点，恰有，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
第9题图
【答案】
10．[2025苏州模拟]如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当的值最小时，的长为_ _ _ _ _ _ .
第10题图
【答案】
【解析】如图，过点作于点，连接，易得，，，，，，，， ，，，，，，，即在点运动的过程中，的大小不变， 当时，的值最小，此时，设，易得，，，，，，，，，.
三、解答题（共40分）
11．[2025连云港模拟]（12分）如图，等边的边长为2，点，，，在同一直线上，，.
（1） 求证：；
（2） 求的长.
【答案】
（1） 解：证明：是等边三角形，
，
，
，.
（2） 等边的边长为2，，
，，
，即，，
，
，，
，，
，或（不符合题意，舍去），
的长为.
12．[2025南京一模]（12分）如图，大坝的横截面是，坝高为.因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面，坝面的倾斜角 为 ，坝面的倾斜角 为 .
（参考数据：，）
（1） 求坝面的长度；
（2） 求坡脚向前推进的距离.
【答案】
（1） 解：过点作于点，于点，
在中，，
设，则，
，
，，
，，
，
四边形为矩形，
米，，
在中，，
则，解得，
经检验,为原方程的解，
，，，.
答：坝面的长度为.
（2） 在中，，，，
由题意得，
即，，
.
答：坡脚向前推进的距离为.
13．[2025常州二模]（16分）如图，已知中， ，，，，垂足为，点是线段上一点（不与点、重合），连接并延长交于点.
（1） 求的长；
（2） 若点是的中点，求的值；
（3） 若是等腰三角形，求的长.
【答案】
（1） 解：中， ，，，，，
，
.
（2） 过点作于点，
，，
点是的中点，
，,
,
,
.
（3） 分三种情况讨论：
①当时，过点作于点，如图，
，
，，
， ，
，是的平分线，又 ，，
，设，
，
，，，
，，即，解得，；
②当时，过点作于点，如图，
，，
， ，
，是等腰三角形，，，
，，
，，
，
；
③当时，如图，
， ，
， ，
，，
，.
综上，的长是3或或.
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2026江苏中考数学专题练
第四章 三角形
第1节 线与角、相交线与平行线
基础练
1．[2025苏州一模]若，则 的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025苏州模拟]如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ）
第2题图
A．同位角相等 B．内错角相等
C．对顶角相等 D．同旁内角互补
3．[2025常州一模]如图，直线，交于点，于，若 ，则的度数是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2025苏州一模]下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．对角线相等的四边形是矩形
C．若，，则 D．若，则
5．[2025无锡二模]对于命题“若，则”，下面给出的值中，能说明这个命题是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．[2025常州模拟]如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟，过点作于点，沿着方向铺设排水管道用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
第6题图
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
7．[2025镇江一模]将套尺中的量角器和三角尺按照如图所示的方式摆放，其中三角尺的直角顶点与量角器的中心重合，为量角器（半圆）的直径， .下列条件中，不能判定的是 （ ）
第7题图
A． B．
C． D．
8．[2025南通三模]如图，与互补， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．[2025南京一模]一个角比它的余角大 ，则这个角的补角等于_ _ _ _ .
10．[2025无锡一模]命题“等边对等角”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ .
11． _ _ _ _ .
12．[2025徐州一模]如图，已知平面镜平行于平面镜，光沿水平方向射来，传播路线为，，，若 ，则_ _ _ _ .
提升练
13．[2025扬州一模]如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．[2025扬州一模]如图，一束平行于主光轴的光经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．[2025扬州一模]小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角尺上，使量角器的 刻度线与三角尺的斜边平行，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处.现将三角尺斜边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为 ，那么被测物体表面的倾斜角 为_ _ _ _ .
16．[2025苏州模拟]【学科融合】如图1，一种反光板由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线.在光反射时，，.
【问题初探】
图1 图2
（1） 如图1，当两面镜子，的夹角 时，试说明.
【深入探究】
（2） 如图2，当两面镜子，的夹角 且 时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不与点重合），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围.
（3） 如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由.
第2节 三角形与多边形
基础练
1．[2025南通模拟]能与两根长度分别为，的小木棒组成三角形的小木棒的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024常州一模]要将一块如图所示的三角形土地分成面积相等的两部分，则图中所作的线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
3．[2025无锡一模]一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别取，的中点，，若的长为10米，则，间的距离是（ ）
第4题图
A．10米 B．20米 C．30米 D．40米
5．[2025扬州一模]如图，是的外角的平分线，且 ， ，则的度数为（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．[2025盐城一模]一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行.若斜面的坡角 ，则摩擦力与重力方向的夹角 的度数为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．[2025南京二模]如图，在中，是高，是角平分线，若 ， ，则（ ）
第7题图
A． B．
C． D．
8．[2025徐州一模]已知的两边长分别为2和4，第三边长为偶数，则第三边的长为_ _ _ _ .
9．[2025徐州一模]已知正边形的一个内角为 ，则的值是_ _ _ _ .
10．[2025盐城一模]如图，在中， ，剪去得到四边形，则_ _ _ _ .
第10题图
11．[2025扬州一模]如图，，的顶点，分别在，上， ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
第11题图
12．[2025淮安模拟]如图，在中，，是两条中线，则_ _ _ _ _ _ .
第12题图
13．如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长为_ _ _ _ .
第13题图
14．[2025宿迁二模]如图，在四边形中，，，点，分别在，上，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，平分，求的度数.
提升练
15．[2025宿迁一模]如图，点是正八边形的边上一点，一束光从点出发，经过两次反射后到达边上一点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．[2025泰州一模]如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且.要求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
17．[2025南京模拟]如图，直线分别与正六边形的边，相交于点，，则 的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
18．[2025南京一模]在中， ，.若为钝角，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
19．[2025南京一模]如图，在中，，延长至，使，连接，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为_ _ _ _ .
20．[2024盐城一模]要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
已知：如图，在中，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
求证：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
第3节 全等三角形
基础练
1．[2025盐城一模]如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
2．[2025常州一模]如图，在中， ，垂直平分，交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2024南通一模]如图，，与交于点，请添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ ，使.（只填一种情况即可）
4．[2024南京三模]如图，在中，平分，.若，，则_ _ _ _ .
5．[2025宿迁一模]如图所示，在正方形网格图中，点、、、均在正方形网格的格点上.则_ _ _ _ .
6．[2025南京一模]如图，在四边形中，是边上一点，连接，，，平分，.
求证：.
7．[2025苏州二模]如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，连接，作射线，交于点.
（1） 求证：；
（2） 若，求的度数.
提升练
8．[2024南京模拟]如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴正半轴，轴正半轴上， ，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．[2025南通二模]如图，中， ，，点是的中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．[2025宿迁一模]如图，平面直角坐标系中，，若点的坐标为，，两点的纵坐标均为，，两点在轴上，则点到轴的距离为_ _ _ _ 个单位.
11．[2025徐州一模]如图，中， ， ，的垂直平分线分别交，于点，，交的延长线于点，若，则四边形的面积是_ _ _ _ _ _ .
12．[2025常州模拟]如图，在中， ，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
13．[2024南京二模节选]将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径.
如图1，在中，是中线，是边上一点， ，作的垂直平分线分别交、于点、，探究下列问题.
图1 图2
【特殊化】
（1） 当点与点重合时，
① 在图2中，画出此特殊情况；
② 此情况下，点与点_ _ _ _ 重合，与满足的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【一般化】
（2） 当点、、中任意两点不重合时，如图1，（1）中与所满足的数量关系是否仍然成立？说明理由.
微专题4 全等三角形模型
1．[2025南通二模]如图，在等腰三角形中，，点在上，连接，把绕点逆时针旋转得到，使，连接,，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
2．【基础巩固】
（1） 如图1，为等腰直角三角形， ，求证：；
图1
【尝试应用】
（2） 如图2，在（1）的条件下，连接，，求的长；
图2
【拓展提高】
（3） 如图3，在中，，分别在直角边，上，， ，求的值.
图3
3．在几何图形中，两个共顶点的角中的小角的角度是大角的一半，我们称之为“半角模型”.
（1） 如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且 ，写出图中线段，，之间的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
图1
（2） 如图2，四边形中，， ， ，且，，，求的长；
图2
（3） 如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于_ _ _ _ ；
图3
（4） 如图4，边长为6的正方形中，的顶点,分别在,边上，且，连接分别交,于点，，若，求的长.
图4
微专题5 与角平分线有关的添加辅助线的方法
1．综合与探究
折纸常能为证明一个命题提供思路和方法.
【感悟】
（1） 如图1，是的高，，若，，求的长.
笑笑同学的解法：将沿折叠，点刚好落在边上的点处，则_ _ _ _ .
图1
【探究】
（2） 如图2，，的外角的平分线交的延长线于点，线段,,之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.
图2
【拓展】
（3） 如图3，在四边形中，平分，，.
图3
① 求证： ;
② 若，求的长.
2．综合与实践
【问题呈现】
如图①，在四边形中， ，，求证：平分.
【问题解决】
现有两种“构造”方案：
方案一：如图②，过作于点，交的延长线于点；
方案二：如图③，延长至点，使，连接.
图① 图② 图③
图④
（1） 请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程；
【思维发散】
（2） 如图④，在等边中，点是的中点， ，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系.
第4节 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2025南京一模]如图，在中，点在上，， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．[2025扬州一模]象棋是中国的传统棋种，如图所示的棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A．5 B． C． D．
3．[2025扬州一模]如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为因变量能使，符合如图2所示的函数关系？（ ）
图1 图2
A．的面积 B．的周长
C．的面积 D．的周长
4．[2025安徽]如图，在中， ，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
5．[2025常州一模]如图，， ，，则_ _ _ _ .
第5题图
6．[2025淮安一模]如图，在中， ，是边上的中线，若，，则的值为_ _ _ _ _ _ .
第6题图
7．[2025南京模拟]如图，在中， ，.求证：是直角三角形.
8．[2025河北]如图,四边形的对角线,相交于点,,,点在上,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:.
提升练
9．[2025南京一模]将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放.在两个涂色的三角形中，较大的三角形和较小的三角形的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
10．[2025广西]如图,点,在同侧,,,则_ _ _ _ _ _ .
11．[2025泰州一模]中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》注解时，用如图所示的4个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若是中点，延长交正方形的边于点，且，则_ _ _ _ _ _ .
第11题图
12．[2025南京一模]如图，点，分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心.将这个正方体的表面展开成平面图形后，点，之间的最大距离是_ _ _ _ _ _ .
第12题图
13．[2025常州一模]如图，已知在中， ，，，点在边上，若有两个内角的差是 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．[2024南京模拟]如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接，过点作，交的延长线于点.
（1） 探究的形状；
（2） 求证：；
（3） 连接,延长交于点，若，求的正切值.
微专题6 与中点有关的添加辅助线的方法
1．如图，四边形是由两个直角三角尺拼成的，其中 ， ，为边的中点，连接交于点.若，则的长为_ _ _ _ .
第1题图
2．如图，点为平行四边形的对角线和的交点，点为边的中点，连接交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
第2题图
3．如图，在中，， ，，为的中点，，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
第3题图
4．如图，的角平分线与边上的中线互相垂直，且，则_ _ _ _ _ _ .
第4题图
5．如图， ，分别以、为斜边，向下方作等腰、等腰，点是的中点，连接、.
（1） 若，，求的长；
（2） 求证：.
6．已知点是直角三角形斜边上一点（不与，重合），分别过，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点.
图1 图2
（1） 如图1，当点与点重合时，与的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，当点不与点重合时，若，，的面积等于3，求的面积.
第四章 章节检测（一）
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．[2025南京二模]下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角三角形的是 （ ）
A．6,9 B．9,15 C．10,16 D．15,18
2．[2025南通二模]将一个含有 角的直角三角尺和一个直尺按如图所示的方式放置，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025宿迁一模]如图，平分，交于点，于点，若 ，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．[2024常州模拟]如图，在中， ，，，垂足为，、分别是、上的点，且.如果 ，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024连云港二模]如图，在中， ，分别以，为边向外作正方形与正方形，为的中点，连接，.记的面积为，的面积为，若要求出的值，只需知道哪条线段的长？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题6分，共36分）
6．[2025南通二模]一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是_ _ _ _ .
7．[2025南通二模]如图，在中， ，是的角平分线，若，则点到的距离等于_ _ _ _ .
8．[2025南京二]模要说明命题“若,则”是假命题，写出一个的值：_ _ _ _ _ _ .
9．[2025南京二模]若等腰三角形的一个外角等于 ，则它的底角为_ _ _ _ .
10．[2025南京二模]如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若 ，则折痕的长为_ _ _ _ .
11．[2025湖南]已知，，是的三条边长，记，其中为整数.
（1） 若三角形为等边三角形，则_ _ _ _ .
（2） 下列结论正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号）
①若，，则为直角三角形；
②若，，，则；
③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7.
三、解答题（共34分）
12．[2025苏州模拟]（10分）在中，， ，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
13．[2025无锡模拟]（10分）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
14．[2025镇江二模]（14分）已知 ，点在边上，点是边上一动点， ，将线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，作于点.
图1 图2
（1） 如图1， .
① 依题意补全图形；
② 连接，求的度数.
（2） 如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
第5节 相似三角形
基础练
1．[2025淮安一模]两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025宿迁一模]如图，中，点是上一点，补充下列条件中的一个，仍不能判定的是（ ）
第2题图
A． B．
C． D．
3．[2025扬州模拟]如图，在菱形中，点在边上，射线交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
第3题图
A．2 B． C．3 D．4
4．[2025淮安模拟]大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也能产生最具美感的黄金分割比.如图，为的黄金分割点，若，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（结果保留根号）
第4题图
5．[2025连云港模拟]如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第5题图
6．[2025南京二模]如图，直线，若，，，则_ _ _ _ _ _ .
7．[2025淮安模拟]如图，中， ，于点，，，求.
8．[2025南京二模]如图，在正方形中，是的中点，点在上，且.求证.
提升练
9．[2025宿迁一模]如图，的中位线，把沿折叠，使点落在边上的点处，若、两点间的距离是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025扬州一模]将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则_ _ _ _ .
11．[2025南京模拟]如图，是的中线，点在上，延长交于点.若，则_ _ _ _ _ _ .
12．[2025南京模拟]如图，矩形中，，，点是边上一定点，且.在线段上找一点，使与相似.若这样的点恰好有两个，则的值为_ _ _ _ .
13．[2025南京二模]
（1） 如图1，在四边形中， ，点在上，且.过点作，垂足为，交于点.
图1
① 求证：;
② 求证：.
（2） 如图2，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为.
图2
① 当点在直线上运动时，点的运动路线是_ _ _ _ _ _ .
A.直线 B.弧 C.线段
② 若，，点到的距离为，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
微专题7 相似三角形模型
1．[2025南通一模]如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且 ，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025连云港一模]如图，四边形是平行四边形，点是线段的中点，连接，交于点，若，则_ _ _ _ .
3．[2025苏州一模]如图，在中， ，，,分别为边,上一点，且 ，设，，则与之间的函数关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．[2025扬州三模]在中， ，，为上一点，，交于点，若将的周长分成的两部分（即），则的值为_ _ _ _ _ _ .
第4题图
5．[2025连云港一模]两个等腰直角三角尺如图放置，点为的中点，，，则的长为_ _ _ _ _ _ .
第5题图
6．[2025盐城一模]【问题情境】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点所连的线段存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1，在中， ，，分别取、的中点、，连接.如图2，将绕点逆时针旋转，连接、.
图1 图2 图3 图4
【探究发现】 旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.
【类比应用】 如图3，当所在直线首次经过点时，求的长.
【延伸思考】 如图4，在中， ，，，分别取、的中点、，连接，将绕点逆时针旋转，连接、.当首次与平行时，求的面积.
第6节 锐角三角函数
基础练
1．[2025天津] 的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．[2025扬州一模]在正方形网格中，为正方形的顶点，则等于（ ）
第2题图
A．3 B． C． D．
3．[2025南通三模]如图，以点为圆心的经过原点，与轴交于点，点是轴右侧优弧上的一点，则的值是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2025南通一模]在中，，为斜边上的中线，若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
5．[2025连云港模拟]若，则锐角 的度数是_ _ _ _ _ _ .
6．[2025宿迁一模]在中，，则_ _ _ _ _ _ .
7．[2025扬州一模]如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第7题图
8．[2025常州模拟]在菱形中，，，，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第8题图
9．[2025宿迁一模]在中，,,分别是,,的对边， ， ，，解这个三角形.
10．[2025连云港模拟]如图，在中， ，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，.
（1） 求的长；
（2） 求的正切值.
提升练
11．[2025扬州一模]如图，在中，，以为直径的圆分别与、相交于点、，若，则的值为（ ）
第11题图
A．1 B． C． D．
12．[2025南通二模]如图，在中，， ，为延长线上一点，为上一点，，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）
第12题图
A．4.5或7.5 B．5或7 C．5.5或6.5 D．6
13．[2025连云港一模]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
14．已知中， ，，，则的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2025淮安一模]新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
16．[2025苏州一模]综合与实践
九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动.
【特例探究】
（1） 如图①，锐角中， ，，作，垂足为，则的面积为_ _ _ _ ；
图①
【一般证明】
（2） 如图②，锐角中， ，，，的面积为，求证： ；
图②
【迁移应用】
（3） 如图③，锐角中， ，，，是的平分线，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
图③
第7节 解直角三角形的实际应用
基础练
1．[2025常州模拟]某人沿着坡度为的山坡前进了，则他竖直方向升高了（ ）
A． B． C． D．
2．[2025南通一模]如图，建筑物上有一旗杆（,,三点共线），从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为 ，观测旗杆底部的仰角为 ，则旗杆的高度是（ ）
第2题图
A． B．
C． D．
3．[2025苏州模拟]如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向的处，海里.它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东 方向的处，则处与灯塔的距离为_ _ _ _ _ _ 海里.（结果保留根号）
第3题图
4．[2025南京一模]如图，点、、在同一水平线上，在处测得点在正北处，点在北偏东 方向；在处测得点在北偏东 方向，点在北偏西 方向.，求、两点间的距离.（结果保留根号，参考数据：）
5．[2025南京一模]如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体.如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮的仰角为 ，向后水平移动到处，测得定滑轮的仰角为 ，此时物体上升到处.已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离.（结果精确到，参考数据：，，，）
① ②
提升练
6．[2025泰州一模]如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子是可供学生午休的躺椅.图1是上课期间椅子的状态，已知座面宽且，座面高，背垫为，点到地面的距离为， .图2是学生躺下时椅子的状态，脚垫长，， .
图1 图2
（1） 求背垫的长；
（2） 如图2，求学生躺下时点与点之间的水平距离.
（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
7．[2025苏州一模]某物理探究小组利用实验器材模拟室内光的反射，研究光的反射规律.如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点射入，在处反射后，在光屏上形成光斑.由光的反射定律可知.已知光屏与水平面的夹角为 ，点与的距离分米，当光线与平面镜的夹角 时，在光屏上形成的光斑为点.
图1 图2
（1） 求点与点的距离（结果保留根号）；
（2） 如图2，若光线与平面镜的夹角 ，此时光经过反射在光屏上形成的光斑为点，求点与点之间的距离（结果保留根号）.
第四章 章节检测（二）
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．[2025无锡一模]某博物馆大厅电梯的截面如图所示，的长为12米，与的夹角为 ，则高是（ ）
第1题图
A． 米 B． 米 C．米 D．米
2．[2025南通二模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上，连接,,则的值是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2025南京模拟]如图，在中，分别交，于点，，交于点，，，则的长为（ ）
第3题图
A． B． C．2 D．3
4．[2025浙江]如图,五边形,是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点,的坐标分别为,.若的长为3,则的长为（ ）
第4题图
A． B．4 C． D．5
5．[2025扬州一模]如图是，延长斜边到点，连接.若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．[2025广东]计算 的结果是_ _ _ _ .
7．[2025常州模拟]如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的值是_ _ _ _ _ _ .
第7题图
8．[2025连云港模拟]如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则_ _ _ _ _ _ .
第8题图
9．[2025扬州一模]如图，中， ，于点，作 ，交线段于点，恰有，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
第9题图
10．[2025苏州模拟]如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当的值最小时，的长为_ _ _ _ _ _ .
第10题图
三、解答题（共40分）
11．[2025连云港模拟]（12分）如图，等边的边长为2，点，，，在同一直线上，，.
（1） 求证：；
（2） 求的长.
12．[2025南京一模]（12分）如图，大坝的横截面是，坝高为.因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面，坝面的倾斜角 为 ，坝面的倾斜角 为 .
（参考数据：，）
（1） 求坝面的长度；
（2） 求坡脚向前推进的距离.
13．[2025常州二模]（16分）如图，已知中， ，，，，垂足为，点是线段上一点（不与点、重合），连接并延长交于点.
（1） 求的长；
（2） 若点是的中点，求的值；
（3） 若是等腰三角形，求的长.
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