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2026江苏中考数学专题练
第一章 数与式
第1节 实数
基础练
1．[2025扬州一模]我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.当气温升高时，气温变化记作，那么当气温下降时，气温变化记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2025南通一模实数]，，0，中，最小的是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
3．[2025扬州一模]倒数等于2的数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
4．[2025苏州一模]下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
5．[2025南京模拟]等于（ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】A
6．[2025南京二模绝]对值不大于的整数的个数是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
7．[2025南京模拟]面积为4的正方形的边长是（ ）
A. 4的平方根 B. 4的算术平方根
C. 4开平方的结果 D. 4的立方根
【答案】B
8．[2025扬州一模]计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9．[2025山东威海]据央视网2025年4月19日消息,复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【答案】A
10．[2025连云港模拟]请写出一个比1小的无理数：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】（答案不唯一）
11．[2025南京一模]5的算术平方根是_ _ _ _ .
【答案】
12．[2025泰州二模]16的平方根是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．[2025南京模拟]64的立方根为_ _ _ _ ；若，则_ _ _ _ .
【答案】4； 16
14．[2025无锡二模]截至2025年4月12日17时38分，我国2025年度电影大盘票房（含预售）突破250亿元，位居全球第一，其中《哪吒之魔童闹海》以的票房占比领跑.数据250亿用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
15．[2024常州二模]如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点表示的数是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
16．[2025扬州模拟]如图，以1个单位长度为直角边长画一个等腰直角三角形，以实数1对应的点为圆心，该三角形斜边长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
17．[2025扬州二模]若与互为相反数，则_ _ _ _ .
【答案】1
18．计算：
（1） [2025苏州一模];
（2） [2025盐城一模].
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
19．[2025淮安一模]小明在解下面这道有理数混合运算题时，发现一个有理数看不清了.
计算：.
（1） 若，计算：；
（2） 若，求的值；
（3） 若要使的结果为最小正整数，求的值.
【答案】（1） 解：原式.
（2） 已知等式整理得，
即，解得.
（3） 由题意得，
整理得，解得.
提升练
20．[2025宿迁一模]我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如.若，那么的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
21．[2025南通模拟]若，，且，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
22．[2025南京模拟]已知数轴上的点，分别表示数，，其中，.若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
23．已知某正数的两个平方根分别是和，则_ _ _ _ .
【答案】4
24．[2025苏州模拟]已知的平方根是，的立方根是1，是的整数部分，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
25．[2025盐城一模]如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为.
（1） 实数的值是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 在数轴上，，两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值；
（3） 在数轴上，点表示实数，且，化简：.
【答案】（1） .
（2） 解：与互为相反数，
.
，，
，，.
（3） ，，，，.
第2节 代数式与整式
基础练
1．[2025南京二模]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2025无锡一模]下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2025南京模拟]当为正整数时，代数式一定是下面哪个数的倍数？（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】D
4．[2025淮安一模]如图，在同一平面内，正方形的边长为，矩形的两邻边长分别为 和，将正方形在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形覆盖后剩余部分的面积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．[2025宿迁一模]单项式的次数是_ _ _ _ .
【答案】6
6．[2025盐城一模]一个两位数的个位数字为，十位数字为，则这个两位数表示为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
7．[2025扬州一模]分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
8．[2025无锡一模]因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
9．[2025无锡一模]若，，则代数式的值等于_ _ _ _ .
【答案】2
10．[2025扬州一模]已知一个水分子的直径约为米，某种花粉的直径约为米，用科学记数法表示这种花粉的直径约为一个水分子直径的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 倍.
【答案】
11．[跨学科2025扬州一模]如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为_ _ _ _ .
【答案】220
12．[2025苏州模拟]若单项式与单项式是同类项，则_ _ _ _ .
【答案】4
13．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．[2025常州模拟]先化简，再求值：，其中，.
解：原式，当，时，
原式.
15．[2025无锡一模]已知.
（1） 求的值；
（2） 求的值.
【答案】
（1） 解：，
，
或，，，
的值为1或2.
（2） ，，
.
提升练
16．[2025南京一模]若代数式，，则和的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不确定，与的值有关
【答案】C
17．[2025扬州模拟]如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按一定的规律编织而成的，图2是其抽象成的平面图形，第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形， 按此规律，第 个图形中小正方形的个数为 （ ）
图1 图2
A. 245 B. 246 C. 254 D. 255
【答案】C
18．[2025宿迁一模]若，则的值为（ ）
A. 82 B. 81 C. 42 D. 41
【答案】D
19．[2025无锡一模]已知，，那么_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
20．[2025淮安一模]已知实数满足等式，则代数式的值是_ _ _ _ .
【答案】13
【解析】令，则,,，，化简得,.
21．[2025扬州一模]如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个“智慧数”.在正整数中，从1开始，第2 025个“智慧数”是_ _ _ _ .
【答案】2 703
【解析】设是正整数，， 除1外，所有正奇数都是“智慧数”；
， 除4外，所有能被4整除的正偶数都是“智慧数”，且被4除余2的正偶数都不是“智慧数”.将从1开始的正整数依次每4个分成一组，则除第一组有1个“智慧数”外，其余各组都有3个“智慧数”，而且每组中第二个数不是“智慧数”.，
第2 025个“智慧数”是第组的第3个数，即.
22．[2025南京一模]代数式，代数式.
（1） 当时，若，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若，，判断代数式与的大小，并说明理由；
（3） 将“与的差”记为，即，当时，要使的值满足，直接写出的取值范围.
【答案】（1） .
（2） 解：，理由：，，
，，
，又，，
，，即.
（3） .
【解析】
（3） 由（2）得.
①当时，随着的增大而增大，
当时，取最大值，为，
当时，取最小值，为，
，，
；
②当时，，满足，
满足题意；
③当时，随着的增大而减小，
当时，取最大值，为，
当时，取最小值，为，
，，
.
综上,.
23．[2025扬州一模]某数学兴趣小组研究如下等式：，，，.观察发现以上等式均是两个十位数字相同，个位数字之和是10的两位数相乘，且积有一定的规律.
（1） 根据上述运算规律，直接写出结果：_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
（2） 设两个两位数中的一个数的十位数字为，个位数字为.
① 请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
② 上述等式中，分别将左边两个乘数的十位数字和个位数字调换位置，得到两个新的两位数相乘（如：调换为），记两个新的两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值.
【答案】（1） 3 016；5 625.
（2） ① 解：由题意得这两个两位数分别为，，
这个运算规律为.
证明：左边,
右边，
左边右边,即等式成立.
② 由①得，
由题意可知，两个新的两位数分别为，，
，
，
，
易得为整数，能被99整除， 这个两位数的最大值为99.
第3节 分式
基础练
1．[2025无锡一模]若有意义，则下列选项正确的是 （ ）
A. B. C. 且 D.
【答案】B
2．[2025淮安期中]下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍
C. 缩小为原来的 D. 不变
【答案】A
4．[2025苏州模拟]当时，下列分式没有意义的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2025河北]若,则（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】B
6．[2024泰州一模]对于分式的值，下列说法一定正确的是（ ）
A. 不可能为0 B. 比1大 C. 可能为2 D. 比大
【答案】D
7．[2025宿迁一模]若式子对任意的值都有意义，则的值可以为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个符合条件的值即可）.
【答案】1（答案不唯一）
8．[2025扬州一模]计算：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
9．[2025南通一模]若分式的值为0，则的值为_ _ _ _ .
【答案】1
10．[2025南京模拟]化简：_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．计算：
（1） [2025扬州一模]；
（2） [2025南京二模].
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
12．先化简，再求值：
（1） [2025南通二模]，其中；
（2） [2025无锡一模]，其中 ；
（3） [2025苏州二模]，其中.
【答案】
（1） 解：原式,
, 原式.
（2） 原式
，
， 原式.
（3） 原式
,
, 原式.
提升练
13．[2025四川南充]已知,则的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
14．[2024无锡一模]已知实数、、满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的为（ ）
A. ②③④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】C
【解析】，，，，，故结论①正确；
，，，
，，，
，，，
，，
故结论②正确；
，，，,，，，，故结论③正确；
，，，，，，，，，故结论④不正确.
正确的结论为①②③.
15．[2024南京模拟]已知，则的值为_ _ _ _ .
【答案】1
16．[2025宿迁三模]已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得,，,,,.
17．
（1） [2025宿迁一模]已知，求的值；
（2） [2025无锡二模]先化简：，其中为整数，且，再选一个你喜欢的值代入.
【答案】
（1） 解：原式
，
，，
原式.
（2） 原式
,
为整数，且，可为、、0、1， 要使分式有意义，则且，且.
当时，原式.
当时，原式.
（写出二者之一即可）
18．[2024南京三模]某店去年销售燃油汽车辆，新能源汽车辆，混动汽车的销量是燃油汽车的一半.今年计划销售燃油汽车的数量比去年减少，新能源汽车的数量是去年的2倍，混动汽车的数量保持不变.
（1） 今年燃油汽车的计划销量为_ _ _ _ _ _ _ _ 辆（用含的代数式表示）；
（2） 若今年计划的总销量比去年增加，求的值.
【答案】（1） .
（2） 解：由题意得去年混动汽车的销量是辆，
去年总销量为辆，
即辆.
由题意得今年计划的总销量为辆，即辆，则，
.
第4节 二次根式
基础练
1．[2025淮安模拟]下列式子为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2025南通模拟]下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2025南通一模]计算，正确的结果是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】A
4．[2025南通模拟]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2025南京模拟]若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．[2025南京一模]若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
7．[2025扬州一模]若，则下列各式正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8．[2025南京模拟]化简的结果是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
9．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
10．[2025南京二模] _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．[2024苏州一模]计算：_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．已知，则的值为_ _ _ _ .
【答案】1
13．[2024苏州三模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．计算：
（1） [2025泰州一模]；
（2） [2025淮安模拟].
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
15．[2025宿迁二模]先化简，再求值：，其中.
解：原式
，
当时，原式.
提升练
16．[2025宿迁一模]若是整数，则满足条件的自然数的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
17．[2025无锡一模]已知、是两个连续的偶数，且，，，则下列对的表述中正确的是（ ）
A. 一定是奇数
B. 一定是偶数
C. 一定是无理数
D. 可能是有理数，也可能是无理数
【答案】B
【解析】、是两个连续的偶数，，，
，
一定是偶数.
18．[2025无锡一模]秦九韶公式是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一.设三角形的三边长分别为，，，记，则其面积.若，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 12 C. D. 10
【答案】A
【解析】由题意得，
,.
,, 当时，取最大值，为.
19．[2024扬州一模]已知，则与最接近的整数为_ _ _ _ .
【答案】5
20．[2024南京模拟]代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】
,且，
或.
21．已知，则的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】，， 原式.
22．当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由题意可得，，，
，，，，
当时，.
23．先阅读材料，然后作答.
提出问题 该如何化简？
分析问题 化简形如的式子，只要找到两个数、，使，，这样，，那么便有
解决问题 解：首先把化为，这里，，由于，，即，，
方法应用
（1） 利用上述解决问题的方法化简下列各式：
① ；
② .
（2） 在中， ，，，求边的长（结果化成最简形式）
【答案】
① 解：，，
，，
，，
.
② ，
，，，，
，，
.
（2）
，
，，
，，，，
.
第一章 章节检测
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．[2025南京二模]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2025无锡二模]若有意义，则能取的最小整数值是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
3．[2025扬州一模]无理数的发现不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对科学和哲学产生了深远的影响.下列四个数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2025扬州一模]下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
5．[2025南京二模]据统计，江苏省2024年“五一”假期接待的旅游人数约为,2025年“五一”假期接待的旅游人数增加了约，用科学记数法表示江苏省2025年“五一”假期接待的旅游人数约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2025苏州模拟]计算所得结果是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
7．[2025徐州一模]已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．[2025徐州模拟]已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．[2025南京模拟]两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（ ）
A. 和 B. 差 C. 积 D. 差的平方
【答案】A
10．[2025扬州一模]实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．[2025无锡二模]4的平方根是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．[2025淮安一模]和互为相反数，那么_ _ _ _ .
【答案】1
13．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．[2025宿迁二模]计算的结果为_ _ _ _ .
【答案】2
15．[2025扬州二模]若一个多项式加上,结果是,则这个多项式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
16．[2025无锡二模]分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
17．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
18．[2025苏州二模]已知，则代数式的值是_ _ _ _ .
【答案】2 031
19．[2025淮安一模]写出一个在和之间的整数是_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】（答案不唯一）
20．[2025南京模拟]若，则，，的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”号连接）
【答案】
三、解答题（共40分）
21．[2025扬州一模]（14分）
（1） 计算：
；
（2） 先化简，再求值：，其中 .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
，，
原式.
22．[2025南京二模]（8分）先化简，再求值：，其中.
解：原式
,
， 原式.
23．[2025南京模拟]（8分）
（1） 已知，计算的值；
（2） 已知，证明；
（3） 已知，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：，
.
（2） 证明：，
，
，
，.
（3） .
【解析】
（3） 详解：令,,
则,由（2）得,
即,
,
,
.
24．[2025宿迁一模]（10分）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10.动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1） 数轴上点表示的数是_ _ _ _ _ _ ，点表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）.
（2） 动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点、同时出发.
① 当点运动多少秒时，点与点相遇？
② 当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
【答案】（1） ；.
（2） ① 解：由题意可得点表示的数为，由（1）知点表示的数是，令，解得， 当点运动5秒时，点与点相遇.
② 令，
即，或，或，
当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度.
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2026江苏中考数学专题练
第一章 数与式
第1节 实数
基础练
1．[2025扬州一模]我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.当气温升高时，气温变化记作，那么当气温下降时，气温变化记作（ ）
A． B． C． D．
2．[2025南通一模实数]，，0，中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
3．[2025扬州一模]倒数等于2的数是（ ）
A． B． C．2 D．
4．[2025苏州一模]下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
5．[2025南京模拟]等于（ ）
A．8 B． C． D．
6．[2025南京二模绝]对值不大于的整数的个数是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．[2025南京模拟]面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
8．[2025扬州一模]计算：（ ）
A． B． C． D．
9．[2025山东威海]据央视网2025年4月19日消息,复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒
C．秒 D．秒
10．[2025连云港模拟]请写出一个比1小的无理数：_ _ _ _ _ _ .
11．[2025南京一模]5的算术平方根是_ _ _ _ .
12．[2025泰州二模]16的平方根是_ _ _ _ _ _ .
13．[2025南京模拟]64的立方根为_ _ _ _ ；若，则_ _ _ _ .
14．[2025无锡二模]截至2025年4月12日17时38分，我国2025年度电影大盘票房（含预售）突破250亿元，位居全球第一，其中《哪吒之魔童闹海》以的票房占比领跑.数据250亿用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2024常州二模]如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点表示的数是_ _ _ _ _ _ .
16．[2025扬州模拟]如图，以1个单位长度为直角边长画一个等腰直角三角形，以实数1对应的点为圆心，该三角形斜边长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数是_ _ _ _ _ _ .
17．[2025扬州二模]若与互为相反数，则_ _ _ _ .
18．计算：
（1） [2025苏州一模];
（2） [2025盐城一模].
19．[2025淮安一模]小明在解下面这道有理数混合运算题时，发现一个有理数看不清了.
计算：.
（1） 若，计算：；
（2） 若，求的值；
（3） 若要使的结果为最小正整数，求的值.
提升练
20．[2025宿迁一模]我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如.若，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
21．[2025南通模拟]若，，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
22．[2025南京模拟]已知数轴上的点，分别表示数，，其中，.若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知某正数的两个平方根分别是和，则_ _ _ _ .
24．[2025苏州模拟]已知的平方根是，的立方根是1，是的整数部分，则的值为_ _ _ _ _ _ .
25．[2025盐城一模]如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为.
（1） 实数的值是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 在数轴上，，两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值；
（3） 在数轴上，点表示实数，且，化简：.
第2节 代数式与整式
基础练
1．[2025南京二模]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025无锡一模]下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025南京模拟]当为正整数时，代数式一定是下面哪个数的倍数？（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
4．[2025淮安一模]如图，在同一平面内，正方形的边长为，矩形的两邻边长分别为 和，将正方形在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形覆盖后剩余部分的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．[2025宿迁一模]单项式的次数是_ _ _ _ .
6．[2025盐城一模]一个两位数的个位数字为，十位数字为，则这个两位数表示为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025扬州一模]分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025无锡一模]因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
9．[2025无锡一模]若，，则代数式的值等于_ _ _ _ .
10．[2025扬州一模]已知一个水分子的直径约为米，某种花粉的直径约为米，用科学记数法表示这种花粉的直径约为一个水分子直径的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 倍.
11．[跨学科2025扬州一模]如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为_ _ _ _ .
12．[2025苏州模拟]若单项式与单项式是同类项，则_ _ _ _ .
13．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
14．[2025常州模拟]先化简，再求值：，其中，.
15．[2025无锡一模]已知.
（1） 求的值；
（2） 求的值.
提升练
16．[2025南京一模]若代数式，，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定，与的值有关
17．[2025扬州模拟]如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按一定的规律编织而成的，图2是其抽象成的平面图形，第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形， 按此规律，第 个图形中小正方形的个数为 （ ）
图1 图2
A．245 B．246 C．254 D．255
18．[2025宿迁一模]若，则的值为（ ）
A．82 B．81 C．42 D．41
19．[2025无锡一模]已知，，那么_ _ _ _ _ _ _ _ .
20．[2025淮安一模]已知实数满足等式，则代数式的值是_ _ _ _ .
21．[2025扬州一模]如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个“智慧数”.在正整数中，从1开始，第2 025个“智慧数”是_ _ _ _ .
22．[2025南京一模]代数式，代数式.
（1） 当时，若，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若，，判断代数式与的大小，并说明理由；
（3） 将“与的差”记为，即，当时，要使的值满足，直接写出的取值范围.
23．[2025扬州一模]某数学兴趣小组研究如下等式：，，，.观察发现以上等式均是两个十位数字相同，个位数字之和是10的两位数相乘，且积有一定的规律.
（1） 根据上述运算规律，直接写出结果：_ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
（2） 设两个两位数中的一个数的十位数字为，个位数字为.
① 请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
② 上述等式中，分别将左边两个乘数的十位数字和个位数字调换位置，得到两个新的两位数相乘（如：调换为），记两个新的两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值.
第3节 分式
基础练
1．[2025无锡一模]若有意义，则下列选项正确的是 （ ）
A． B．
C．且 D．
2．[2025淮安期中]下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．不变
4．[2025苏州模拟]当时，下列分式没有意义的是 （ ）
A． B． C． D．
5．[2025河北]若,则（ ）
A． B． C．3 D．6
6．[2024泰州一模]对于分式的值，下列说法一定正确的是（ ）
A．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比大
7．[2025宿迁一模]若式子对任意的值都有意义，则的值可以为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个符合条件的值即可）.
8．[2025扬州一模]计算：_ _ _ _ _ _ .
9．[2025南通一模]若分式的值为0，则的值为_ _ _ _ .
10．[2025南京模拟]化简：_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．计算：
（1） [2025扬州一模]；
（2） [2025南京二模].
12．先化简，再求值：
（1） [2025南通二模]，其中；
（2） [2025无锡一模]，其中 ；
（3） [2025苏州二模]，其中.
提升练
13．[2025四川南充]已知,则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
14．[2024无锡一模]已知实数、、满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的为（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
15．[2024南京模拟]已知，则的值为_ _ _ _ .
16．[2025宿迁三模]已知，则_ _ _ _ _ _ .
17．
（1） [2025宿迁一模]已知，求的值；
（2） [2025无锡二模]先化简：，其中为整数，且，再选一个你喜欢的值代入.
18．[2024南京三模]某店去年销售燃油汽车辆，新能源汽车辆，混动汽车的销量是燃油汽车的一半.今年计划销售燃油汽车的数量比去年减少，新能源汽车的数量是去年的2倍，混动汽车的数量保持不变.
（1） 今年燃油汽车的计划销量为_ _ _ _ _ _ _ _ 辆（用含的代数式表示）；
（2） 若今年计划的总销量比去年增加，求的值.
第4节 二次根式
基础练
1．[2025淮安模拟]下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025南通模拟]下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025南通一模]计算，正确的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．[2025南通模拟]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025南京模拟]若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．[2025南京一模]若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．[2025扬州一模]若，则下列各式正确的是 （ ）
A． B． C． D．
8．[2025南京模拟]化简的结果是_ _ _ _ _ _ .
9．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
10．[2025南京二模] _ _ _ _ _ _ .
11．[2024苏州一模]计算：_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．已知，则的值为_ _ _ _ .
13．[2024苏州三模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
14．计算：
（1） [2025泰州一模]；
（2） [2025淮安模拟].
15．[2025宿迁二模]先化简，再求值：，其中.
提升练
16．[2025宿迁一模]若是整数，则满足条件的自然数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．[2025无锡一模]已知、是两个连续的偶数，且，，，则下列对的表述中正确的是（ ）
A．一定是奇数
B．一定是偶数
C．一定是无理数
D．可能是有理数，也可能是无理数
18．[2025无锡一模]秦九韶公式是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一.设三角形的三边长分别为，，，记，则其面积.若，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．10
19．[2024扬州一模]已知，则与最接近的整数为_ _ _ _ .
20．[2024南京模拟]代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
21．已知，则的值为_ _ _ _ .
22．当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为_ _ _ _ .
23．先阅读材料，然后作答.
提出问题 该如何化简？
分析问题 化简形如的式子，只要找到两个数、，使，，这样，，那么便有
解决问题 解：首先把化为，这里，，由于，，即，，
方法应用
（1） 利用上述解决问题的方法化简下列各式：
① ；
② .
（2） 在中， ，，，求边的长（结果化成最简形式）
第一章 章节检测
60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．[2025南京二模]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025无锡二模]若有意义，则能取的最小整数值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．[2025扬州一模]无理数的发现不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对科学和哲学产生了深远的影响.下列四个数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2025扬州一模]下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025南京二模]据统计，江苏省2024年“五一”假期接待的旅游人数约为,2025年“五一”假期接待的旅游人数增加了约，用科学记数法表示江苏省2025年“五一”假期接待的旅游人数约为（ ）
A． B． C． D．
6．[2025苏州模拟]计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
7．[2025徐州一模]已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．[2025徐州模拟]已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．[2025南京模拟]两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（ ）
A．和 B．差 C．积 D．差的平方
10．[2025扬州一模]实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．[2025无锡二模]4的平方根是_ _ _ _ _ _ .
12．[2025淮安一模]和互为相反数，那么_ _ _ _ .
13．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．[2025宿迁二模]计算的结果为_ _ _ _ .
15．[2025扬州二模]若一个多项式加上,结果是,则这个多项式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
16．[2025无锡二模]分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
17．[2025南京二模]计算的结果是_ _ _ _ _ _ .
18．[2025苏州二模]已知，则代数式的值是_ _ _ _ .
19．[2025淮安一模]写出一个在和之间的整数是_ _ _ _ .
20．[2025南京模拟]若，则，，的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”号连接）
三、解答题（共40分）
21．[2025扬州一模]（14分）
（1） 计算：
；
（2） 先化简，再求值：，其中 .
22．[2025南京二模]（8分）先化简，再求值：，其中.
23．[2025南京模拟]（8分）
（1） 已知，计算的值；
（2） 已知，证明；
（3） 已知，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
24．[2025宿迁一模]（10分）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10.动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1） 数轴上点表示的数是_ _ _ _ _ _ ，点表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）.
（2） 动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点、同时出发.
① 当点运动多少秒时，点与点相遇？
② 当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
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