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第3讲 乘法公式
一、核心知识点
（一）平方差公式
1. 公式推导（依据多项式乘法法则）
（中间两项为同类项，相互抵消，最终得平方差形式）
2. 公式核心内容
文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
符号表示：
结构特征：
左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（“相同项”），另一项互为相反数（“相反项”）；
右边：相同项的平方减去相反项的平方（注意“相同项 - 相反项 ”，顺序不可颠倒）。
3. 公式拓展与逆用
底数拓展：相同项和相反项可表示数字、字母、多项式（整体思想）：
示例：；
示例：（将看作整体）。
逆用（因式分解基础）：，用于将平方差形式转化为两个二项式的积。
示例：。
（二）完全平方公式
1. 公式推导（依据多项式乘法法则）
2. 公式核心内容
文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
符号表示：
和的平方：
差的平方：
结构特征：
左边：一个二项式的平方（两项的和或差）；
右边：三项式，包含“首项 + 末项 + 中间项（2×首项×末项）”，中间项的符号与左边二项式的符号一致。
3. 公式拓展与变形
底数拓展：首项、末项可表示数字、字母、多项式（整体思想）：
示例：；
示例：。
核心变形（高频考点）：
；
；
；
。
逆用（因式分解基础）：
；
（完全平方公式逆用，用于判断完全平方式）。
（三）两个乘法公式的对比
公式类型 左边结构 右边结构 关键区别 示例
平方差公式 两个二项式相乘（同+反） 两项：平方差（同 - 反 ） 无中间项，右边是两项差
完全平方公式 一个二项式的平方（和/差） 三项：平方和+2倍积（和）/ 平方和-2倍积（差） 有中间项，右边是三项式 ；
二、常见易错知识
1. 平方差公式使用条件混淆
错误表现：
对非“同项+反项”的二项式相乘误套平方差公式；
颠倒右边“平方差”的顺序，写成“相反项 - 相同项 ”。
示例1：错将用平方差公式计算（错误，无完全相同的项）；
示例2：错将计算为（错误，顺序颠倒）。
正确分析：
平方差公式的核心前提是“两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数”，缺一不可；
右边固定为“相同项的平方 - 相反项的平方”，需先明确“相同项”和“相反项”再计算。
正确计算：。
2. 完全平方公式漏加/漏减中间项
错误表现：
忽略中间项“2ab”，直接写成“首项 + 末项 ”；
中间项的系数漏乘2。
示例1：错将计算为（错误，漏加中间项）；
示例2：错将计算为（错误，中间项系数应为）。
正确分析：
完全平方公式右边是“三项式”，必须包含“首项 + 末项 + 2×首项×末项”，中间项的系数“2”是关键，不可遗漏；
记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”。
正确计算：；。
3. 完全平方公式中间项符号错误
错误表现：中间项的符号与左边二项式的符号不一致。
示例：错将计算为（错误，左边是“差”，中间项应为负）。
正确分析：
中间项的符号由左边二项式的符号决定：左边是“和”，中间项为正；左边是“差”，中间项为负；
末项始终为正（平方的非负性）。
正确计算：。
4. 底数为多项式时，未正确运用整体思想
错误表现：将多项式拆分开计算，忽略“整体平方”或“整体相乘”的原则。
示例1：错将计算为（错误，未按整体平方展开）；
示例2：错将计算为（错误，无完全相同的整体项）。
正确分析：
当底数为多项式时，先将其看作一个“整体”，再套公式，展开后再去括号；
平方差公式需确保整体上有“相同项”和“相反项”，否则不能直接套用。
正确计算：；
正确计算：（无法用平方差公式，直接多项式乘法）。
5. 混淆“完全平方和”与“平方和”
错误表现：认为，忽略中间项。
示例：错将计算为（错误，实际）。
正确分析：
“完全平方和”是“两个数的和的平方”，结果包含中间项；
“平方和”是“两个数分别平方后相加”，无中间项，二者相差（即）。
6. 公式逆用不熟练或错误
错误表现：
不会逆用公式解决求值问题；
逆用时符号或系数错误。
示例1：已知，，无法求（不会逆用）；
示例2：错将逆用为（正确），但错将逆用为（错误，常数项为负，不是完全平方式）。
正确分析：
公式逆用是高频考点，需熟练掌握变形公式（如）；
逆用完全平方公式时，需满足“首项 + 末项 ± 2×首项×末项”的结构，常数项必须为正（平方的非负性）。
正确计算：；不是完全平方式，无法逆用完全平方公式。
7. 混合运算中运算顺序错误
错误表现：先套用公式，再算乘除或加减，违背“先乘除后加减，有括号先算括号内”的顺序。
示例：错将计算为（错误，平方差公式逆用符号错误）。
正确分析：
混合运算需遵循“先算乘方（完全平方），再算乘除（多项式乘法、平方差），最后算加减（合并同类项）”；
每一步套公式时需注意符号，尤其是平方差公式的“减号”和完全平方公式的中间项符号。
正确计算：。
三、核心公式速记与易错警示
1. 核心公式
平方差公式：（逆用：）
完全平方公式：（逆用：）
变形公式：；
2. 易错警示
套公式前先判断结构：平方差公式是“两二项式相乘（同+反）”，完全平方公式是“二项式平方”；
完全平方公式必含中间项“2ab”，符号与左边一致，末项恒正；
底数为多项式时，先整体套公式，再展开，避免拆分错误；
混合运算注意运算顺序和符号，尤其是平方差公式右边的“减号”和去括号时的符号变化。
【知识点结合练】
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征．
根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：，
故选：B．
2．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差与几何图形面积的计算，理解图示面积的计算方法是解题的关键．
边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，则面积为，拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，其面积为，两部分面积相等，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为，
拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积为，
∴，
故选：B ．
3．如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握完全平方公式．图中最大的正方形的边长为，则其面积为，而边长为的正方形面积又等于两个较小的正方形面积加上两个长方形面积，据此求解即可．
【详解】解：图中最大的正方形的边长为，则其面积为，
而各部分的面积和，
∴，
故选：D．
4．已知是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵是完全平方式，
且，
，
故选：C．
5．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，分别表示出，根据，进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
6．已知，则的值为（ ）
A．21 B．9 C．81 D．41
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式计算各选项中的式子即可得到答案．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，由平方差公式得，进行前后约分运算，即可求解；能熟练利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故选：B．
二、填空题
9．计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积 ．（填变大、变小或不变）
【答案】变小
【分析】本题考查了用平方差公式计算实际问题，解题关键是掌握用平方差公式．
分别求出改造前后花园的面积，比较后作出判断即可．
【详解】解：边长为a米（）的正方形的面积为（米2），
把边长为a米（）的正方形花园一边增加10米，一边减少10米．则改造后花园的面积为，
所以改造后花园的面积变小．
11．计算 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，利用平方差公式，完全平方公式解答即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
．
12．若满足，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式即可求得答案．
【详解】解：∵n满足，
∴
，
故答案为：1．
13．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ．
【答案】16
【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算．
根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值．
【详解】解：由图形可知，，．
则．
根据平方差公式
已知
所以．
故答案为：．
14．已知，那么代数式的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴原式4．
故答案为：4．
15．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
【答案】①②
【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式．
【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，
故可得：，可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积，
可得：，可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积，
可得：（，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
16．用简便方法计算的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
三、解答题
17．计算：．
【答案】．
【分析】本题考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式：“”是解题的关键．运用完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
先根据完全平方公式和去括号计算，然合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
19．【教材呈现】教材P49-复习题13题：
已知，求的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知，求的值． 已知，求的值．
，
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程．
（2）若．则______，______；
【拓展提升】
（3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】本题考查完全平方公式的应用．
（1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可；
（2）利用完全平方公式变形即可求解；
（3）设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：（1）∵，且，
∴，
（2）∵，
∴；
，
故答案为：，；
（3）设，，则
由题意可得：，．
∴．
∵，
∴，即．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】；21
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式乘法运算法则，完全平方公式，是解题的关键．根据整式乘法混合运算法则，进行化简，然后再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
21．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握各公式的结构特征是解题的关键．
（1）先用完全平方公式以及平方差公式计算整式乘法，然后合并同类项即可．
（2）先用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可.
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
22．先化简，再求值：，其中，
【答案】，0
【分析】此题考查了完全平方公式，平方差公式．原式第一项利用完全平方公式展开．第二项先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，原式 ．
23．已知，求代数式的值．
【答案】19
【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算单项式乘以多项式、完全平方公式，然后代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
24．根据以下素材，探索完成任务．
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．
素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：．
问题解决
任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）．
任务2 利用“平方差公式”计算：；
任务3 计算：
【答案】任务1：①②③；任务2：4；任务3：
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
任务1：根据平行四边形及正方形，长方形的面积公式求解判定即可得解；
任务2：将原式化为，再用平方差公式求解；
任务3：先乘以，再连续运用平方差公式即可求解．
【详解】解：任务1：
图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，
∴，不可验证平方差公式，
故答案为：①②③；
任务2：
；
任务3：
．
试卷第4页，共18页
试卷第5页，共18页中小学教育资源及组卷应用平台
第3讲 乘法公式
一、核心知识点
（一）平方差公式
1. 公式推导（依据多项式乘法法则）
（中间两项为同类项，相互抵消，最终得平方差形式）
2. 公式核心内容
文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
符号表示：
结构特征：
左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（“相同项”），另一项互为相反数（“相反项”）；
右边：相同项的平方减去相反项的平方（注意“相同项 - 相反项 ”，顺序不可颠倒）。
3. 公式拓展与逆用
底数拓展：相同项和相反项可表示数字、字母、多项式（整体思想）：
示例：；
示例：（将看作整体）。
逆用（因式分解基础）：，用于将平方差形式转化为两个二项式的积。
示例：。
（二）完全平方公式
1. 公式推导（依据多项式乘法法则）
2. 公式核心内容
文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
符号表示：
和的平方：
差的平方：
结构特征：
左边：一个二项式的平方（两项的和或差）；
右边：三项式，包含“首项 + 末项 + 中间项（2×首项×末项）”，中间项的符号与左边二项式的符号一致。
3. 公式拓展与变形
底数拓展：首项、末项可表示数字、字母、多项式（整体思想）：
示例：；
示例：。
核心变形（高频考点）：
；
；
；
。
逆用（因式分解基础）：
；
（完全平方公式逆用，用于判断完全平方式）。
（三）两个乘法公式的对比
公式类型 左边结构 右边结构 关键区别 示例
平方差公式 两个二项式相乘（同+反） 两项：平方差（同 - 反 ） 无中间项，右边是两项差
完全平方公式 一个二项式的平方（和/差） 三项：平方和+2倍积（和）/ 平方和-2倍积（差） 有中间项，右边是三项式 ；
二、常见易错知识
1. 平方差公式使用条件混淆
错误表现：
对非“同项+反项”的二项式相乘误套平方差公式；
颠倒右边“平方差”的顺序，写成“相反项 - 相同项 ”。
示例1：错将用平方差公式计算（错误，无完全相同的项）；
示例2：错将计算为（错误，顺序颠倒）。
正确分析：
平方差公式的核心前提是“两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数”，缺一不可；
右边固定为“相同项的平方 - 相反项的平方”，需先明确“相同项”和“相反项”再计算。
正确计算：。
2. 完全平方公式漏加/漏减中间项
错误表现：
忽略中间项“2ab”，直接写成“首项 + 末项 ”；
中间项的系数漏乘2。
示例1：错将计算为（错误，漏加中间项）；
示例2：错将计算为（错误，中间项系数应为）。
正确分析：
完全平方公式右边是“三项式”，必须包含“首项 + 末项 + 2×首项×末项”，中间项的系数“2”是关键，不可遗漏；
记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”。
正确计算：；。
3. 完全平方公式中间项符号错误
错误表现：中间项的符号与左边二项式的符号不一致。
示例：错将计算为（错误，左边是“差”，中间项应为负）。
正确分析：
中间项的符号由左边二项式的符号决定：左边是“和”，中间项为正；左边是“差”，中间项为负；
末项始终为正（平方的非负性）。
正确计算：。
4. 底数为多项式时，未正确运用整体思想
错误表现：将多项式拆分开计算，忽略“整体平方”或“整体相乘”的原则。
示例1：错将计算为（错误，未按整体平方展开）；
示例2：错将计算为（错误，无完全相同的整体项）。
正确分析：
当底数为多项式时，先将其看作一个“整体”，再套公式，展开后再去括号；
平方差公式需确保整体上有“相同项”和“相反项”，否则不能直接套用。
正确计算：；
正确计算：（无法用平方差公式，直接多项式乘法）。
5. 混淆“完全平方和”与“平方和”
错误表现：认为，忽略中间项。
示例：错将计算为（错误，实际）。
正确分析：
“完全平方和”是“两个数的和的平方”，结果包含中间项；
“平方和”是“两个数分别平方后相加”，无中间项，二者相差（即）。
6. 公式逆用不熟练或错误
错误表现：
不会逆用公式解决求值问题；
逆用时符号或系数错误。
示例1：已知，，无法求（不会逆用）；
示例2：错将逆用为（正确），但错将逆用为（错误，常数项为负，不是完全平方式）。
正确分析：
公式逆用是高频考点，需熟练掌握变形公式（如）；
逆用完全平方公式时，需满足“首项 + 末项 ± 2×首项×末项”的结构，常数项必须为正（平方的非负性）。
正确计算：；不是完全平方式，无法逆用完全平方公式。
7. 混合运算中运算顺序错误
错误表现：先套用公式，再算乘除或加减，违背“先乘除后加减，有括号先算括号内”的顺序。
示例：错将计算为（错误，平方差公式逆用符号错误）。
正确分析：
混合运算需遵循“先算乘方（完全平方），再算乘除（多项式乘法、平方差），最后算加减（合并同类项）”；
每一步套公式时需注意符号，尤其是平方差公式的“减号”和完全平方公式的中间项符号。
正确计算：。
三、核心公式速记与易错警示
1. 核心公式
平方差公式：（逆用：）
完全平方公式：（逆用：）
变形公式：；
2. 易错警示
套公式前先判断结构：平方差公式是“两二项式相乘（同+反）”，完全平方公式是“二项式平方”；
完全平方公式必含中间项“2ab”，符号与左边一致，末项恒正；
底数为多项式时，先整体套公式，再展开，避免拆分错误；
混合运算注意运算顺序和符号，尤其是平方差公式右边的“减号”和去括号时的符号变化。
【知识点结合练】
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
5．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A．21 B．9 C．81 D．41
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算 ．
10．若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积 ．（填变大、变小或不变）
11．计算 ．
12．若满足，则 ．
13．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ．
14．已知，那么代数式的值是 ．
15．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
16．用简便方法计算的结果是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．【教材呈现】教材P49-复习题13题：
已知，求的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知，求的值． 已知，求的值．
，
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程．
（2）若．则______，______；
【拓展提升】
（3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长．
20．先化简，再求值：，其中．
21．计算：
(1)
(2)
22．先化简，再求值：，其中，
23．已知，求代数式的值．
24．根据以下素材，探索完成任务．
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．
素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：．
问题解决
任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）．
任务2 利用“平方差公式”计算：；
任务3 计算：
试卷第8页，共9页
试卷第7页，共9页
