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第9讲 频率的稳定性
一、核心知识点
（一）频率的定义与计算（基础考点）
1. 定义
在重复试验中，某一事件发生的次数（称为“频数”，记为）与试验总次数（记为）的比值，叫做该事件发生的频率。
核心本质：频率是“事件发生的频繁程度”的定量描述，随试验次数变化而变化。
2. 计算公式
频率频数试验总次数
取值范围：频率的值始终在到之间（），对应事件发生的可能性从“不可能”到“必然”。
3. 示例计算
示例：掷一枚硬币次，正面朝上的次数为次，则正面朝上的频率为；若再掷次，正面朝上次，此时累计试验次，累计频率为。
（二）频率的稳定性（核心定理）
1. 实验规律（频率稳定性定理）
大量重复试验中，某一随机事件的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率（统计定义）。
关键特征：
试验次数较少时，频率波动较大；
试验次数越多，频率波动越小，越接近概率；
稳定性是“趋近于”而非“等于”，即频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
2. 经典示例（掷硬币试验）
试验次数时，正面朝上频率可能为、等，波动较大；
试验次数时，频率通常在左右小幅波动；
试验次数趋近于无穷大时，频率无限接近概率（硬币均匀时）。
（三）概率的统计定义（高频考点）
1. 定义
一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件发生的概率，记作。
取值范围：（与频率一致）：
必然事件的概率；
不可能事件的概率；
随机事件的概率。
2. 概率与频率的区别与联系
对比维度 频率 概率
本质属性 试验结果的统计量（动态变化） 事件本身的固有属性（静态定值）
取值特点 随试验次数变化而波动 不随试验次数变化，唯一确定
关系 大量重复试验中，频率趋近于概率（概率是频率的稳定值） 概率是频率的理论依据，频率是概率的近似估计
示例 掷硬币100次，正面朝上48次，频率为0.48 掷均匀硬币，正面朝上的概率为0.5
（四）用频率估计概率的步骤与应用
1. 核心步骤
设计重复试验（保证试验条件一致，如摇匀袋子、均匀掷骰子）；
记录试验总次数和事件发生的频数；
计算频率；
当试验次数足够大时，用频率作为概率的估计值（即）。
2. 实际应用场景
估计随机事件的概率（如估计抽奖中奖概率、估计产品合格率、估计池塘中鱼的数量）；
示例：某超市举办抽奖活动，前1000人抽奖有100人中奖，中奖频率为，可估计该抽奖活动的中奖概率约为（即10%）。
（五）试验注意事项
试验条件要一致（如摸球时袋子需摇匀，保证每个球被摸到的机会均等）；
试验次数要足够多（次数越多，频率越接近概率，估计结果越准确）；
避免人为干预试验结果（如刻意选择某类球摸取，导致频率偏差）。
二、常见易错知识
1. 混淆频率与概率的本质区别（核心易错点）
错误表现：
认为“频率等于概率”，如“掷硬币10次，正面朝上6次，频率为0.6，所以正面朝上的概率是0.6”；
忽略概率的“固有属性”，认为“概率随试验次数变化”，如“掷硬币次数越多，正面朝上的概率越大”；
用少量试验的频率直接作为概率，如“掷硬币3次都正面朝上，所以正面朝上的概率是1”。
正确分析：
频率是“动态统计量”，随试验次数变化；概率是“静态定值”，由事件本身决定，与试验次数无关；
少量试验的频率波动较大，不能作为概率的估计值；只有大量重复试验的频率稳定在某个常数附近，该常数才是概率。
正确表述：“掷硬币10次，正面朝上频率为0.6，这是该次试验的频率，不能等同于概率；大量重复试验后，正面朝上的频率会趋近于概率0.5”。
2. 忽略“试验条件一致”对频率的影响
错误表现：
试验时未保证条件一致，导致频率偏差，仍用该频率估计概率，如“摸球时袋子未摇匀，红球集中在底部，摸出红球的频率为0.1，就估计红球概率为0.1”；
人为干预试验结果，如“刻意避开白球摸取，导致红球频率偏高，进而错误估计红球概率”。
正确分析：
用频率估计概率的前提是“试验条件一致，每个结果发生的机会均等”（即等可能试验）；
若试验条件不一致，频率不能反映事件的真实概率，估计结果会失真。
正确做法：试验前需保证条件一致（如摇匀袋子、均匀掷骰子），避免人为干预，确保频率的客观性。
3. 误解“频率的稳定性”是“频率不变”
错误表现：
认为“频率稳定在概率附近”是“频率不再变化”，如“掷硬币1000次，正面朝上频率为0.5，再掷1000次，频率必须还是0.5”；
看到频率波动就否定稳定性，如“掷硬币100次频率0.5，110次频率0.49，就认为频率不稳定，无法估计概率”。
正确分析：
频率的稳定性是“在某个常数附近小幅波动”，而非“绝对不变”；
少量额外试验可能导致频率轻微变化，但总体趋势是围绕概率波动，且波动幅度会随试验次数增加而减小。
正确表述：“掷硬币1000次频率为0.5，1100次频率为0.49，这是正常波动，仍可说明频率稳定在0.5附近，概率约为0.5”。
4. 试验次数不足时强行估计概率
错误表现：
仅进行几次或几十次试验，就用频率估计概率，如“抽奖5次都未中奖，频率为0，就认为中奖概率为0”；
认为“试验次数越多，估计结果一定越准确”，但忽略“试验条件一致”的前提，如“掷不均匀骰子1000次，频率稳定在0.3，就认为概率为0.3”（不均匀骰子的概率本身不是固定值，试验条件不一致）。
正确分析：
试验次数不足时，频率波动大，估计结果误差大，不能作为概率的有效估计；
“试验次数越多越准确”的前提是“试验条件一致且为等可能试验”，若试验本身不满足等可能（如不均匀骰子），即使次数再多，频率也不会稳定在某个固定概率附近。
正确做法：至少进行数百次以上等可能试验，再用频率估计概率；若试验不满足等可能，需先调整试验条件（如更换均匀骰子）。
5. 计算频率时统计错误
错误表现：
混淆“频数”与“试验总次数”，如“掷骰子20次，点数为3的次数是4次，错算频率为”（正确应为）；
漏记或错记频数，如“摸球30次，红球出现12次，错记为10次，导致频率计算错误”。
正确分析：
频率的计算公式是“频数÷试验总次数”，需明确“频数是事件发生的次数，总次数是试验的总次数”，不可颠倒；
计算前需仔细核对频数和总次数的统计数据，避免因数据错误导致频率偏差。
6. 误解概率的取值范围
错误表现：
计算出的频率或估计的概率超出到的范围，如“某事件的频率为1.2” “估计概率为-0.1”；
认为“概率为0的事件一定不会发生，概率为1的事件一定发生”（严格来说，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件可能不发生，但初中阶段可理解为“几乎不可能” “几乎必然”）。
正确分析：
频率是“次数的比值”，必然在到之间，概率作为频率的稳定值，也必然满足；
初中阶段可简单理解：概率为0的事件是不可能事件（一定不发生），概率为1的事件是必然事件（一定发生），但需注意特殊情况（如连续型随机变量中，单点事件概率为0但可能发生）。
7. 应用频率估计概率时忽略“样本代表性”
错误表现：
用特殊样本的频率估计总体概率，如“仅调查本班同学的抽奖中奖情况，频率为0.2，就估计全校同学的中奖概率为0.2”；
样本容量过小，如“调查10名同学的近视情况，3人近视，频率为0.3，就估计全校学生近视概率为0.3”。
正确分析：
用频率估计总体概率时，样本需具有“代表性”（如随机抽样，涵盖不同群体）和“足够大的容量”；
特殊样本（如仅本班同学、仅低年级同学）的频率不能反映总体情况，样本容量过小会导致估计误差过大。
正确做法：扩大样本容量，确保样本具有代表性（如随机调查全校不同年级、不同班级的同学），再用频率估计总体概率。
三、核心概念速记与易错警示
1. 核心概念速记
频率：“频数÷总次数，动态变化”；
概率：“频率稳定值，静态定值”；
估计方法：“大量重复试验，频率趋近概率”；
取值范围：“0到1之间，必然1，不可能0”。
2. 易错警示
两不混淆：不混淆“频率”与“概率”的本质，不混淆“少量试验频率”与“大量试验频率”；
两不忽略：不忽略“试验条件一致”，不忽略“样本代表性与容量”；
关键原则：“次数足够多，条件要一致，频率估概率，偏差可减小”。
【知识点结合练】
一、单选题
1．绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用总质量乘以样本中发芽的频率即可．
【详解】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有．
故选：A．
2．新郑大枣以其瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．
由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此求解即可．
【详解】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近，
∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90，
故选：D．
4．若气象部门预报明天下雪的概率是，则下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雪 B．明天一定不下雪
C．明天的地方下雪 D．明天下雪的可能性较大
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义去理解即可，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：∵气象部门预报明天下雪的概率是，
∴明天下雪的可能性比较大，
故选：．
5．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
【答案】D
【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为，
摸到红球出现的频率，
摸到黄球出现的频率，
摸到蓝球出现的频率，
摸到绿球出现的频率，
∴该球的颜色最有可能是绿球，
故选：．
6．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次
B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地”
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率逐项判断即可解答．
【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意；
B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意；
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意；
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意；
故选：A．
7．下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率．
8．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用频率估计概率求解即可；
【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键
二、填空题
9．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解．
【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个），
故答案为：15．
10．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085
试估计“点落入圆形区域内”的概率 (精确到0.01) ．
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到附近，
所以估计“点落入圆形区域内”的概率为，
故答案为：．
11．某种树苗移植的成活情况记录如下：
移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000
移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801
移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801
估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.80
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80，
故答案为：0.80．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的试验数据：
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
请根据以上数据，估计“掷硬币”出现“正面朝上”的概率是 （精确到0.1）．
【答案】0.5/
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率即可求解．
【详解】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为：0.5．
13．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分，
∴黑色部分占正方形的：，
∴二维码中黑色部分的面积约为：，
故答案为：．
14．一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得，，
解得，，
经检验是原方程的根．
故答案为：5．
15．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【答案】
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为．
故答案为：．
【点睛】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1．
16．如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
【答案】①③④
【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案．
【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为：
∴米粒落在圆内的概率为；
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误；
③米粒落在圆内的概率＝，故③正确；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即，
∴的值接近于，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题
17．一只不透明的袋中装有3个球，分别标有数字，这些球除数字外其他都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球的数字之积，记录后将球都放回袋中并搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 500 1000
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频数 3 10 15 24 25 36 59 81 167 332
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频率 0.30 0.50 0.50 0.40 0.278 0.30 0.328 0.338 0.334 0.332
(1)当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定吗？你认为它在哪个常数附近摆动？
(2)“摸出的2个球的数字之积为6”的概率的估计值是多少？
【答案】(1)稳定，0.33
(2)
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．
（1）根据表格可知，当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定，它在0.33附近摆动；
（2）根据摸出的2个球的总情况数有3种，其中“摸出的2个球的数字之积为6”的情况有1种，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定，它在0.33附近摆动；
（2）解：由题意知“摸出的2个球的数字之积为6”的频率在0.33附近摆动，
∴“摸出的2个球的数字之积为6”的概率的估计值是．
18．一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据：
摸球总次数
出现黄色乒乓球的次数
出现黄色乒乓球的频率
(1)填空： ， ；
(2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1）
(3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？
【答案】(1)，
(2)0.4
(3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，
（1）利用概率公式求出，的值即可；
（2）根据表格中的数据即可得出结论；
（3），根据②中的概率计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，
故答案为：，；
（2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近，
当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是，
盒子中黄色乒乓球的个数（个）；
白色乒乓球有个，
答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个．
19．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子颗数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子颗数 94 378 571 664 951
发芽种子频率
(1)填空：上表中的值为___________，的值为___________；
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到）
【答案】(1)，855
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
（1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可；
（2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右，
∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为．
20．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1）
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵树；
②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
【答案】(1)0.9，0.9
(2)①18000棵，②80000棵
【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用20000乘以成活的概率即可；
②方法一：用移植的总棵树减去已经移植的棵树；
方法二：用还需成活的棵树除以成活的概率．
【详解】（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9．
故答案为：0.9，0.9；
（2）①（棵）
答：这种花卉成活率约18000棵．
②方法一：（棵）
答：估计还要移植80000棵．
方法二：（棵）
答：估计还要移植80000棵．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
21．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202
摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【答案】(1)298；0.601
(2)0.60
(3)3个
【分析】本题考查了利用频率估计概率：
（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：，，
故答案为：298；0.601；
（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60；
故答案为：0.60．
（3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60，
摸到红球的概率的估计值是0.40，
袋中有红球2个，
球的个数共有：（个），
袋中白球的个数为（个）．
22．综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼．
【分析】本题考查了概率与统计，用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握“频率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．
活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
23．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 164 237 328 z
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83
(1)填空：________，________，________；
(2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）；
(3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次；
(4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？
【答案】(1)100，，
(2)0.8
(3)120
(4)不会一样，理由见解析
【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键：
（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可；
（2）根据频率估算概率即可；
（3）根据概率进行判断即可．
（4）根据概率的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：，，；
（2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8；
故答案为：0.8；
（3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为，
∴（次），
估计他命中的次数为次，
故答案为：．
（4）不会一样，理由如下：
由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动，
故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同．
24．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽个数m（粒） 1 a 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 1 b c
(1)计算表中a，b，c的值；
(2)估计该麦种的发芽概率（精确到）；
(3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有100千克麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？
【答案】(1)；
(2)该麦种的发芽概率约为；
(3)有千克的麦种可以成活为秧苗．
【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．
（1）用发芽频数除以实验种子数即可求得发芽频率；
（2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率；
（3）用小麦种子总重量乘以发芽率及成活率即可求得结果．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
，
，
故答案为：；
（2）解：观察发现：经过大量重复试验后，发芽频率逐渐稳定到常数附近，
∴该麦种的发芽概率约为；
（3）解：由题意得：
（千克），
∴有千克的麦种可以成活为秧苗．
试卷第6页，共21页
试卷第7页，共21页中小学教育资源及组卷应用平台
第9讲 频率的稳定性
一、核心知识点
（一）频率的定义与计算（基础考点）
1. 定义
在重复试验中，某一事件发生的次数（称为“频数”，记为）与试验总次数（记为）的比值，叫做该事件发生的频率。
核心本质：频率是“事件发生的频繁程度”的定量描述，随试验次数变化而变化。
2. 计算公式
频率频数试验总次数
取值范围：频率的值始终在到之间（），对应事件发生的可能性从“不可能”到“必然”。
3. 示例计算
示例：掷一枚硬币次，正面朝上的次数为次，则正面朝上的频率为；若再掷次，正面朝上次，此时累计试验次，累计频率为。
（二）频率的稳定性（核心定理）
1. 实验规律（频率稳定性定理）
大量重复试验中，某一随机事件的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率（统计定义）。
关键特征：
试验次数较少时，频率波动较大；
试验次数越多，频率波动越小，越接近概率；
稳定性是“趋近于”而非“等于”，即频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
2. 经典示例（掷硬币试验）
试验次数时，正面朝上频率可能为、等，波动较大；
试验次数时，频率通常在左右小幅波动；
试验次数趋近于无穷大时，频率无限接近概率（硬币均匀时）。
（三）概率的统计定义（高频考点）
1. 定义
一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件发生的概率，记作。
取值范围：（与频率一致）：
必然事件的概率；
不可能事件的概率；
随机事件的概率。
2. 概率与频率的区别与联系
对比维度 频率 概率
本质属性 试验结果的统计量（动态变化） 事件本身的固有属性（静态定值）
取值特点 随试验次数变化而波动 不随试验次数变化，唯一确定
关系 大量重复试验中，频率趋近于概率（概率是频率的稳定值） 概率是频率的理论依据，频率是概率的近似估计
示例 掷硬币100次，正面朝上48次，频率为0.48 掷均匀硬币，正面朝上的概率为0.5
（四）用频率估计概率的步骤与应用
1. 核心步骤
设计重复试验（保证试验条件一致，如摇匀袋子、均匀掷骰子）；
记录试验总次数和事件发生的频数；
计算频率；
当试验次数足够大时，用频率作为概率的估计值（即）。
2. 实际应用场景
估计随机事件的概率（如估计抽奖中奖概率、估计产品合格率、估计池塘中鱼的数量）；
示例：某超市举办抽奖活动，前1000人抽奖有100人中奖，中奖频率为，可估计该抽奖活动的中奖概率约为（即10%）。
（五）试验注意事项
试验条件要一致（如摸球时袋子需摇匀，保证每个球被摸到的机会均等）；
试验次数要足够多（次数越多，频率越接近概率，估计结果越准确）；
避免人为干预试验结果（如刻意选择某类球摸取，导致频率偏差）。
二、常见易错知识
1. 混淆频率与概率的本质区别（核心易错点）
错误表现：
认为“频率等于概率”，如“掷硬币10次，正面朝上6次，频率为0.6，所以正面朝上的概率是0.6”；
忽略概率的“固有属性”，认为“概率随试验次数变化”，如“掷硬币次数越多，正面朝上的概率越大”；
用少量试验的频率直接作为概率，如“掷硬币3次都正面朝上，所以正面朝上的概率是1”。
正确分析：
频率是“动态统计量”，随试验次数变化；概率是“静态定值”，由事件本身决定，与试验次数无关；
少量试验的频率波动较大，不能作为概率的估计值；只有大量重复试验的频率稳定在某个常数附近，该常数才是概率。
正确表述：“掷硬币10次，正面朝上频率为0.6，这是该次试验的频率，不能等同于概率；大量重复试验后，正面朝上的频率会趋近于概率0.5”。
2. 忽略“试验条件一致”对频率的影响
错误表现：
试验时未保证条件一致，导致频率偏差，仍用该频率估计概率，如“摸球时袋子未摇匀，红球集中在底部，摸出红球的频率为0.1，就估计红球概率为0.1”；
人为干预试验结果，如“刻意避开白球摸取，导致红球频率偏高，进而错误估计红球概率”。
正确分析：
用频率估计概率的前提是“试验条件一致，每个结果发生的机会均等”（即等可能试验）；
若试验条件不一致，频率不能反映事件的真实概率，估计结果会失真。
正确做法：试验前需保证条件一致（如摇匀袋子、均匀掷骰子），避免人为干预，确保频率的客观性。
3. 误解“频率的稳定性”是“频率不变”
错误表现：
认为“频率稳定在概率附近”是“频率不再变化”，如“掷硬币1000次，正面朝上频率为0.5，再掷1000次，频率必须还是0.5”；
看到频率波动就否定稳定性，如“掷硬币100次频率0.5，110次频率0.49，就认为频率不稳定，无法估计概率”。
正确分析：
频率的稳定性是“在某个常数附近小幅波动”，而非“绝对不变”；
少量额外试验可能导致频率轻微变化，但总体趋势是围绕概率波动，且波动幅度会随试验次数增加而减小。
正确表述：“掷硬币1000次频率为0.5，1100次频率为0.49，这是正常波动，仍可说明频率稳定在0.5附近，概率约为0.5”。
4. 试验次数不足时强行估计概率
错误表现：
仅进行几次或几十次试验，就用频率估计概率，如“抽奖5次都未中奖，频率为0，就认为中奖概率为0”；
认为“试验次数越多，估计结果一定越准确”，但忽略“试验条件一致”的前提，如“掷不均匀骰子1000次，频率稳定在0.3，就认为概率为0.3”（不均匀骰子的概率本身不是固定值，试验条件不一致）。
正确分析：
试验次数不足时，频率波动大，估计结果误差大，不能作为概率的有效估计；
“试验次数越多越准确”的前提是“试验条件一致且为等可能试验”，若试验本身不满足等可能（如不均匀骰子），即使次数再多，频率也不会稳定在某个固定概率附近。
正确做法：至少进行数百次以上等可能试验，再用频率估计概率；若试验不满足等可能，需先调整试验条件（如更换均匀骰子）。
5. 计算频率时统计错误
错误表现：
混淆“频数”与“试验总次数”，如“掷骰子20次，点数为3的次数是4次，错算频率为”（正确应为）；
漏记或错记频数，如“摸球30次，红球出现12次，错记为10次，导致频率计算错误”。
正确分析：
频率的计算公式是“频数÷试验总次数”，需明确“频数是事件发生的次数，总次数是试验的总次数”，不可颠倒；
计算前需仔细核对频数和总次数的统计数据，避免因数据错误导致频率偏差。
6. 误解概率的取值范围
错误表现：
计算出的频率或估计的概率超出到的范围，如“某事件的频率为1.2” “估计概率为-0.1”；
认为“概率为0的事件一定不会发生，概率为1的事件一定发生”（严格来说，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件可能不发生，但初中阶段可理解为“几乎不可能” “几乎必然”）。
正确分析：
频率是“次数的比值”，必然在到之间，概率作为频率的稳定值，也必然满足；
初中阶段可简单理解：概率为0的事件是不可能事件（一定不发生），概率为1的事件是必然事件（一定发生），但需注意特殊情况（如连续型随机变量中，单点事件概率为0但可能发生）。
7. 应用频率估计概率时忽略“样本代表性”
错误表现：
用特殊样本的频率估计总体概率，如“仅调查本班同学的抽奖中奖情况，频率为0.2，就估计全校同学的中奖概率为0.2”；
样本容量过小，如“调查10名同学的近视情况，3人近视，频率为0.3，就估计全校学生近视概率为0.3”。
正确分析：
用频率估计总体概率时，样本需具有“代表性”（如随机抽样，涵盖不同群体）和“足够大的容量”；
特殊样本（如仅本班同学、仅低年级同学）的频率不能反映总体情况，样本容量过小会导致估计误差过大。
正确做法：扩大样本容量，确保样本具有代表性（如随机调查全校不同年级、不同班级的同学），再用频率估计总体概率。
三、核心概念速记与易错警示
1. 核心概念速记
频率：“频数÷总次数，动态变化”；
概率：“频率稳定值，静态定值”；
估计方法：“大量重复试验，频率趋近概率”；
取值范围：“0到1之间，必然1，不可能0”。
2. 易错警示
两不混淆：不混淆“频率”与“概率”的本质，不混淆“少量试验频率”与“大量试验频率”；
两不忽略：不忽略“试验条件一致”，不忽略“样本代表性与容量”；
关键原则：“次数足够多，条件要一致，频率估概率，偏差可减小”。
【知识点结合练】
一、单选题
1．绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ）
A． B． C． D．
2．新郑大枣以其瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
4．若气象部门预报明天下雪的概率是，则下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雪 B．明天一定不下雪
C．明天的地方下雪 D．明天下雪的可能性较大
5．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
6．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次
B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地”
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8
7．下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
8．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率
A． B． C． D．
二、填空题
9．在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ．
10．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085
试估计“点落入圆形区域内”的概率 (精确到0.01) ．
11．某种树苗移植的成活情况记录如下：
移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000
移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801
移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801
估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．
12．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的试验数据：
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
请根据以上数据，估计“掷硬币”出现“正面朝上”的概率是 （精确到0.1）．
13．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ．
14．一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为 ．
15．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
16．如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
三、解答题
17．一只不透明的袋中装有3个球，分别标有数字，这些球除数字外其他都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球的数字之积，记录后将球都放回袋中并搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 500 1000
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频数 3 10 15 24 25 36 59 81 167 332
“摸出的2个小球上数字之积为6”出现的频率 0.30 0.50 0.50 0.40 0.278 0.30 0.328 0.338 0.334 0.332
(1)当摸球次数很大时，“摸出的2个球的数字之积为6”的频率稳定吗？你认为它在哪个常数附近摆动？
(2)“摸出的2个球的数字之积为6”的概率的估计值是多少？
18．一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据：
摸球总次数
出现黄色乒乓球的次数
出现黄色乒乓球的频率
(1)填空： ， ；
(2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1）
(3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？
19．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子颗数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子颗数 94 378 571 664 951
发芽种子频率
(1)填空：上表中的值为___________，的值为___________；
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到）
20．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1）
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵树；
②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
21．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202
摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
22．综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
23．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 164 237 328 z
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83
(1)填空：________，________，________；
(2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）；
(3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次；
(4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？
24．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽个数m（粒） 1 a 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 1 b c
(1)计算表中a，b，c的值；
(2)估计该麦种的发芽概率（精确到）；
(3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有100千克麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？
试卷第14页，共14页
试卷第13页，共14页
