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第7讲 平行线的性质
一、核心知识点
（一）平行线的三大核心性质（核心：平行关系→角度关系）
1. 性质1：两直线平行，同位角相等（基本事实，无需证明）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
符号表示：若，截线为，则（或其他任意一组同位角相等）。
推导依据：通过度量、叠合实验验证（平行线的判定定理逆推，是几何证明的重要基础）。
2. 性质2：两直线平行，内错角相等（推论，由性质1推导）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
符号表示：若，则（或）。
3. 性质3：两直线平行，同旁内角互补（推论，由性质1推导）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为）。
符号表示：若，则（或）。
（二）平行线性质的拓展应用
1. 平行线的传递性（与判定推论一致）
若，，则（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
应用：可通过多条平行线传递平行关系，间接推导角的关系。
2. 垂直于平行线的直线特征
若，且，则（垂直于其中一条平行线的直线，必垂直于另一条）。
推导：由得，因，同位角相等故，即。
3. 角度计算的综合应用
步骤：① 由平行线性质推导角的关系（相等或互补）；② 结合对顶角、邻补角转化角度；③ 计算未知角的度数。
二、常见易错知识
1. 混淆判定与性质的因果关系（最核心易错点）
错误表现：
颠倒逻辑顺序，将性质当作判定使用，如“因，故同位角相等”（正确，但误用于判定平行，说“因同位角相等，故”是判定，二者不可混淆）；
表述不严谨，省略前提条件，如仅说“同位角相等” “同旁内角互补”，未说明“两直线平行”或“两条直线被第三条直线所截”。
正确分析：
关键区分：“判定是找平行的理由，性质是用平行推角的关系”；
记忆口诀：“判定‘由角到线’，性质‘由线到角’，前提结论，颠倒不得”；
规范表述：必须完整说明前提，如“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行”（判定），“两直线平行，被第三条直线所截，则同旁内角互补”（性质）。
2. 忽略“两直线平行”的前提条件
错误表现：
直接认为“同位角相等” “内错角相等” “同旁内角互补”，忽略“两直线平行”的核心前提（无平行关系时，这些角的关系不成立）；
复杂图形中，未确认线平行，就盲目套用性质推导角。
示例：错将相交直线被截形成的与（同位角）判定为相等（错误，无平行关系，同位角不一定相等）。
正确分析：
平行线的三大性质均以“两直线平行”为前提，是“平行”带来的特殊角关系；
解题时需先标注平行关系（题目已知或已判定），再套用性质，不可跳过前提。
3. 复杂图形中角的对应关系错误
错误表现：
多条直线相交时，混淆“被截线”与“截线”，找不到对应的同位角/内错角/同旁内角；
漏认“F/Z/U”型结构，误将非对应角当作性质中的角关系。
正确分析：
复杂图形中找角的步骤：① 锁定平行的两条被截线；② 确定贯穿二者的截线；③ 按“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构定位对应角；
可通过“描线法”：用不同颜色笔描出被截线和截线，清晰区分角的位置。
4. 同旁内角性质记忆错误
错误表现：
误将“两直线平行，同旁内角互补”记为“同旁内角相等”，导致角度计算错误。
正确分析：
对比记忆三大性质：同位角、内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为）；
结合推导过程记忆：同旁内角互补是由同位角相等和邻补角互补推导而来，本质是“角相等+角互补=同旁内角互补”。
5. 平行线传递性的逆用错误
错误表现：
逆用平行传递性，认为“若两条直线平行，则它们必平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线，而非唯一一条）；
误将“垂直于同一直线的两条直线平行”（判定）当作性质，说“若两条直线平行，则它们垂直于同一直线”（表述不严谨，需明确“同一条直线”的条件）。
正确分析：
平行传递性是“单向推导”：由“两条直线都平行于第三条直线”推“这两条直线平行”，不可逆用；
垂直于平行线的性质需明确：“垂直于其中一条，必垂直于另一条”，而非“垂直于同一条”。
6. 角度计算时未结合其他角的关系
错误表现：
仅用平行线性质推导，忽略对顶角、邻补角、角平分线等条件，导致无法计算未知角；
计算同旁内角和时，误将“互补”当作“相加等于90°”，或计算失误。
正确分析：
角度计算需“综合运用”：平行线性质提供角的关系，对顶角/邻补角提供角度转化，角平分线提供角的倍数关系；
计算前先标注所有已知角和可转化的角，再结合性质推导，避免孤立使用单一条件。
7. 作图时未体现平行线性质
错误表现：
已知两直线平行，作同位角/内错角时，未保证角度相等；
作平行线的垂线时，未保证与两条平行线都垂直，仅垂直于其中一条。
正确分析：
作图依据：作同位角/内错角时，需用量角器保证角度相等（体现“两直线平行，同位角/内错角相等”）；
作平行线的垂线时，可先作一条垂线，再利用“垂直于平行线的直线必垂直于另一条”，确保两条垂线平行或与两条平行线都成90°。
三、核心逻辑与速记口诀
1. 核心逻辑链
已知平行关系→套用平行线性质（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补）→结合对顶角/邻补角/角平分线转化→计算未知角或证明角关系
2. 速记口诀
性质记忆：“两线平行，同位相等，内错相等，同旁互补”；
判定与性质区分：“判定找平行，性质推角度，前提结论要记牢”；
图形识别：“F同位，Z内错，U同旁，线平行，角登场”。
一、单选题
1．如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线过点A，且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，，点在上，连接，若平分,，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，若，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，已知，d四条直线，，，，则 ．
10．如图，点在直线上．当的度数为 时，．
11．如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）．
12．如图1，熨斗是我们日常生活中常用的工具，图2是该熨斗的示意图，其中，若，则 ．
13．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
15．如图，，，，则的度数为 ．
16．如图，已知，，则 ．
三、解答题
17．如图，已知，，，，求的度数．
18．如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数．
19．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D．
(1)求的度数；
(2)当中有两个相等的角时，求的度数．
20．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒．
(1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；
(2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值．
21．如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F．
【问题引入】（1）若，求证：．
【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若，，求的长．
22．如图，，，则，平行吗？
(1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由：
因为，
所以（①______）
因为，
所以，
所以（②______）；
(2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程．
23．如图，已知，点D是上一点．
(1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
24．综合与探究：
如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题：
(1)若，，，求证：．
(2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作．
①若，，则 ．
②请用含和的代数式表示，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页中小学教育资源及组卷应用平台
第7讲 平行线的性质
一、核心知识点
（一）平行线的三大核心性质（核心：平行关系→角度关系）
1. 性质1：两直线平行，同位角相等（基本事实，无需证明）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
符号表示：若，截线为，则（或其他任意一组同位角相等）。
推导依据：通过度量、叠合实验验证（平行线的判定定理逆推，是几何证明的重要基础）。
2. 性质2：两直线平行，内错角相等（推论，由性质1推导）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
符号表示：若，则（或）。
3. 性质3：两直线平行，同旁内角互补（推论，由性质1推导）
文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为）。
符号表示：若，则（或）。
（二）平行线性质的拓展应用
1. 平行线的传递性（与判定推论一致）
若，，则（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
应用：可通过多条平行线传递平行关系，间接推导角的关系。
2. 垂直于平行线的直线特征
若，且，则（垂直于其中一条平行线的直线，必垂直于另一条）。
推导：由得，因，同位角相等故，即。
3. 角度计算的综合应用
步骤：① 由平行线性质推导角的关系（相等或互补）；② 结合对顶角、邻补角转化角度；③ 计算未知角的度数。
二、常见易错知识
1. 混淆判定与性质的因果关系（最核心易错点）
错误表现：
颠倒逻辑顺序，将性质当作判定使用，如“因，故同位角相等”（正确，但误用于判定平行，说“因同位角相等，故”是判定，二者不可混淆）；
表述不严谨，省略前提条件，如仅说“同位角相等” “同旁内角互补”，未说明“两直线平行”或“两条直线被第三条直线所截”。
正确分析：
关键区分：“判定是找平行的理由，性质是用平行推角的关系”；
记忆口诀：“判定‘由角到线’，性质‘由线到角’，前提结论，颠倒不得”；
规范表述：必须完整说明前提，如“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行”（判定），“两直线平行，被第三条直线所截，则同旁内角互补”（性质）。
2. 忽略“两直线平行”的前提条件
错误表现：
直接认为“同位角相等” “内错角相等” “同旁内角互补”，忽略“两直线平行”的核心前提（无平行关系时，这些角的关系不成立）；
复杂图形中，未确认线平行，就盲目套用性质推导角。
示例：错将相交直线被截形成的与（同位角）判定为相等（错误，无平行关系，同位角不一定相等）。
正确分析：
平行线的三大性质均以“两直线平行”为前提，是“平行”带来的特殊角关系；
解题时需先标注平行关系（题目已知或已判定），再套用性质，不可跳过前提。
3. 复杂图形中角的对应关系错误
错误表现：
多条直线相交时，混淆“被截线”与“截线”，找不到对应的同位角/内错角/同旁内角；
漏认“F/Z/U”型结构，误将非对应角当作性质中的角关系。
正确分析：
复杂图形中找角的步骤：① 锁定平行的两条被截线；② 确定贯穿二者的截线；③ 按“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构定位对应角；
可通过“描线法”：用不同颜色笔描出被截线和截线，清晰区分角的位置。
4. 同旁内角性质记忆错误
错误表现：
误将“两直线平行，同旁内角互补”记为“同旁内角相等”，导致角度计算错误。
正确分析：
对比记忆三大性质：同位角、内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为）；
结合推导过程记忆：同旁内角互补是由同位角相等和邻补角互补推导而来，本质是“角相等+角互补=同旁内角互补”。
5. 平行线传递性的逆用错误
错误表现：
逆用平行传递性，认为“若两条直线平行，则它们必平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线，而非唯一一条）；
误将“垂直于同一直线的两条直线平行”（判定）当作性质，说“若两条直线平行，则它们垂直于同一直线”（表述不严谨，需明确“同一条直线”的条件）。
正确分析：
平行传递性是“单向推导”：由“两条直线都平行于第三条直线”推“这两条直线平行”，不可逆用；
垂直于平行线的性质需明确：“垂直于其中一条，必垂直于另一条”，而非“垂直于同一条”。
6. 角度计算时未结合其他角的关系
错误表现：
仅用平行线性质推导，忽略对顶角、邻补角、角平分线等条件，导致无法计算未知角；
计算同旁内角和时，误将“互补”当作“相加等于90°”，或计算失误。
正确分析：
角度计算需“综合运用”：平行线性质提供角的关系，对顶角/邻补角提供角度转化，角平分线提供角的倍数关系；
计算前先标注所有已知角和可转化的角，再结合性质推导，避免孤立使用单一条件。
7. 作图时未体现平行线性质
错误表现：
已知两直线平行，作同位角/内错角时，未保证角度相等；
作平行线的垂线时，未保证与两条平行线都垂直，仅垂直于其中一条。
正确分析：
作图依据：作同位角/内错角时，需用量角器保证角度相等（体现“两直线平行，同位角/内错角相等”）；
作平行线的垂线时，可先作一条垂线，再利用“垂直于平行线的直线必垂直于另一条”，确保两条垂线平行或与两条平行线都成90°。
三、核心逻辑与速记口诀
1. 核心逻辑链
已知平行关系→套用平行线性质（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补）→结合对顶角/邻补角/角平分线转化→计算未知角或证明角关系
2. 速记口诀
性质记忆：“两线平行，同位相等，内错相等，同旁互补”；
判定与性质区分：“判定找平行，性质推角度，前提结论要记牢”；
图形识别：“F同位，Z内错，U同旁，线平行，角登场”。
一、单选题
1．如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，结合，，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B．
2．如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，；
故选B．
3．如图，直线过点A，且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等或两直线平行，同旁内角互补，逐个排除选项即可得出结果．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
,（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
故A，B，D正确，C错误．
故选：C．
4．如图，，点在上，连接，若平分,，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
先根据平行线的性质求出，，再根据角平分线的定义求出，继而得到，即可得到答案．
【详解】解．，
，，
平分，
，
，
故选：C．
5．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解．
【详解】解：由题得，，，，
，，
，，
在中，，
则，
故选：C．
6．如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案．
【详解】过点E作，过点F作，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
7．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据，可得，由，等量代换得到，进而推出，再结合平行线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∴，
∵与不一定相等，
∴不一定等于，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
8．如图，若，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案．
【详解】过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：C．
二、填空题
9．如图，已知，d四条直线，，，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据，得到，由对顶角相等得到，由，得到，即，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
10．如图，点在直线上．当的度数为 时，．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线性质和判定，结合图形得到要，即要满足，进而即可求得的度数．
【详解】解：要，
即要，
则有，
，
；
故答案为：．
11．如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，故正确；
③添加无法证明，故错误；
④∵，
∴，故正确；
故答案为：①②④．
12．如图1，熨斗是我们日常生活中常用的工具，图2是该熨斗的示意图，其中，若，则 ．
【答案】132
【分析】本题考查平行公理的推论，平行线的性质，根据，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：132
13．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，，
又∵是和的角平分线，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
故答案为：．
14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
【答案】/160度
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，，，，则的度数为 ．
【答案】90
【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点作的平行线，结合平行线的性质即可解决问题．
熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的平行线，
，，
，
，．
，
．
，
，
．
故答案为：90．
16．如图，已知，，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键．
如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答．
【详解】解：如图：过B作，过C作，即,,
∵，
∴．
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，已知，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键．
如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点作，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数．
【答案】．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
由得，则，由得，结合求出，即可得的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
19．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D．
(1)求的度数；
(2)当中有两个相等的角时，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论．
（1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出；
（2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
；
（2）解：，，
∴，
当时，
；
当时，
，
，
；
或．
20．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒．
(1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；
(2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值．
【答案】(1)t ；
(2)45
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论．
（1）根据题意求出和即可；
（2）过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可
【详解】（1）解：∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，
∴；；
故答案为：t，；
（2）解：过点H作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即．
解得．
21．如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F．
【问题引入】（1）若，求证：．
【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2
【分析】（1）作于M，由，可得出，由角平分线的性质定理了得出，即可得出．
（2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，证明，由全等三角形的性质即可得出．方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，利用角平分线的定义可推出，
再利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再证明即可得出．
（3）由方法二（2）可得出，再根据即可得出答案．
【详解】证明：（1）作于M，如图．
∵，，
∴，
∵和分别平分和，，
∴，
∴．
（2）成立，
方法一：过点P作于G，交于H，如图．
则，
∵，
则，
∴，
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴．
方法二：延长交于点M，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的定义以及性质，等腰三角形三角形合一的性质以及平行线的性质等知识， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
22．如图，，，则，平行吗？
(1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由：
因为，
所以（①______）
因为，
所以，
所以（②______）；
(2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程．
【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补
②同旁内角互补，两直线平行
(2)见解析（方法不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键．
（1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出；
（2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可．
【详解】（1）解：因为，
所以（①两直线平行，同旁内角互补），
因为，
所以，
所以（②同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行；
（2）解：方法不唯一，如：
法：如图，连接，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
法：如图，延长至点，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
法：如图，延长至点，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
法：如图，延长至点，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
法：如图，延长至点，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
23．如图，已知，点D是上一点．
(1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作已知角的等角，角平分线的性质，平行线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用作已知角的等角的步骤进行作图即可；
（2）根据同位角相等两直线平行得出，根据平行的性质和角平分线的性质得出角的度数，然后再根据两直线平行内错角相等即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图所示，
由（1）得，，
，
∴，
∵平分，
∴，
，
．
24．综合与探究：
如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题：
(1)若，，，求证：．
(2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作．
①若，，则 ．
②请用含和的代数式表示，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)①;②，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差计算以及分类讨论思想的应用．解题的关键是根据图形特点合理作辅助线（如作平行线），利用平行线的传递性和性质（同位角相等、同旁内角互补等）建立角之间的关系，同时在多情况问题中注意分类讨论．
（1）通过计算求出的度数，结合的度数，利用同位角相等证明；
（2）①作辅助线构造平行线，利用平行线性质将转化为与的和，进而求出②借助辅助线得到角之间的和差关系，推导出关于和的代数式；
（3）根据（2）的结论确定的度数，结合的条件，分点F在左侧和右侧两种情况计算的度数．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）如图，作，则，
①解：∵，即，
∵，即，
∴．
故答案为：．
②解：．
理由：∵
∴，
∴，
即
∴，
∴
∴．
（3）如图，由（2）结论知，，当时，分两种情况：
情况1：当点F位于左侧时，，
情况2：当点F位于右侧时，
．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
