周测卷(六) 数列 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(六)
(数　　列)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝若bn＝a2n－1，则b4＝(　　)
A．18 B．16
C．11 D．6
解析：B　b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故选B.
2．已知等差数列{an}满足a1a3＋a2a7＋a3a9＋a7a8＝100，则a5＝(　　)
A． B．5
C．5或－5 D．或－
解析：C　由题a1a3＋a2a7＋a3a9＋a7a8＝a3(a1＋a9)＋a7(a2＋a8)＝2a5a3＋2a5a7＝2a5(a3＋a7)＝4a＝100，解得a5＝±5，故选C.
3．已知{an}是单调递增的等比数列，a4＋a5＝24，a3a6＝128，则公比q的值是(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：A　因为{an}是等比数列，所以a4a5＝a3a6＝128，则解得或又因为{an}是单调递增的等比数列，所以所以公比q＝＝2.故选A.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a6＝16，S6＝21，则S2＝(　　)
A．1 B．4
C．8 D．25
解析：A　因为S6＝21，a5＋a6＝16，所以S4＝21－16＝5，因为{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以(5－S2)2＝S2(21－5)，解得S2＝1或S2＝25(舍，若成立q2为负值不合题意).故选A.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，其前n项和为Sn，若S4，Sk，S9成等比数列，则k＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：B　因为S4，Sk，S9成等比数列，所以S4·S9＝S，由于数列{an}的通项公式为an＝2n－1，故{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且前n项和为Sn＝，
所以×＝S，所以Sk＝36(舍去负值)，
所以＝36，k＝6(舍去负值)，故选B.
6．已知等差数列{an}中，a1＝3，a2＋a6＝18，则a20＋a25＋a30＋…＋a55＝(　　)
A．600 B．608
C．612 D．620
解析：B　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝3，a2＋a6＝18，得3＋d＋3＋5d＝18，解得d＝2，因此an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，
a20＝2×20＋1＝41，a55＝2×55＋1＝111，
显然a20，a25，a30，a35，a40，a45，a50，a55构成等差数列，
所以a20＋a25＋a30＋…＋a55＝×8＝4×(41＋111)＝608.故选B.
7．已知数列{an}，则“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　充分性：因为an－2＋an＋2＝2an，所以an＋2－an＝an－an－2(n≥3，n∈N*)，
令n＝2k(k∈N*)，则a2k＋2－a2k＝a2k－a2k－2＝…＝a4－a2，
所以数列{an}的偶数项成等差数列，
令n＝2k－1(k∈N*)，
则a2k＋1－a2k－1＝a2k－1－a2k－3＝…＝a3－a1，
所以数列{an}的奇数项成等差数列，但数列{an}不一定是等差数列，如1，1，2，2，3，3，
所以“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”不是“数列{an}是等差数列”的充分条件．
必要性：若数列{an}是等差数列，
则2an＝an－1＋an＋1＝＋＝an＋＋，
所以2an＝an－2＋an＋2，
所以“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的必要条件．
综上，“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的必要不充分条件．故选B.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若对任意正整数n，Sn＋1＝－3an＋1＋an＋3，Sn＋an>(－1)na，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，) B．(－1，)
C．(－2，) D．(－2，3)
解析：C　因为Sn＋1＝－3an＋1＋an＋3，a1＝1，
当n＝1时，S2＝－3a2＋a1＋3，解得a2＝，
当n≥2时，Sn＝－3an＋an－1＋3(n≥2)，
则an＋1＝－3an＋1＋4an－an－1，
即2an＋1－an＝(2an－an－1)，
又2a2－a1＝，
所以{2an＋1－an}是首项为，公比为的等比数列，
所以2an＋1－an＝，
则2n+1an＋1－2nan＝1，
又2a1＝2，所以{2nan}为首项为2，公差为1的等差数列，
则2nan＝n＋1，则an＝，
所以Sn＋1＋an＋1＝－2·＋＋3＝3－，
又S1＋a1＝2＝3－，
则Sn＋an＝3－(n∈N*)，
又Sn＋an>(－1)na，所以3－>(－1)na，
当n为奇数时，3－>－a，又3－≥2，则2>－a，解得a>－2；
当n为偶数时，3－>a，又3－≥，则a<.
综上所述，实数a的取值范围为(－2，).故选C.
二、解答题：本大题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．(本小题满分13分)
在数列{an}中，a1＝1，a2＝9，且an＋2＋an＝2an＋1＋8，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b＝an，bnbn＋1<0，求Sn.
解析：(1)因为an＋2＋an＝2an＋1＋8，
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＋8，
所以数列{an＋1－an}是公差为8的等差数列，其首项为a2－a1＝8，
于是an＋1－an＝8n，
则an－an－1＝8(n－1)，an－1－an－2＝8(n－2)，…，a3－a2＝8×2，a2－a1＝8，
所以an－a1＝8(1＋2＋…＋n－1)＝8×＝4n2－4n，
所以an＝4n2－4n＋1(n≥2).
又a1＝1符合该式，故an＝4n2－4n＋1.
(2)由(1)知，an＝(2n－1)2，则bn＝±(2n－1)，
又bnbn＋1<0，则bn＋1bn＋2<0，
两式相乘得bnbbn＋2>0，即bnbn＋2>0，
因此bn与bn＋2同号．
因为b1b2<0，所以当b1＝1时，b2＝－3，此时bn＝
当n为奇数时，Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－2＋bn－1)＋bn＝bn－2×＝n，
当n为偶数时，Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝－2×＝－n.
当b1＝－1时，b2＝3，此时bn＝
当n为奇数时，Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－2＋bn－1)＋bn＝bn＋2×＝－n，
当n为偶数时，Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝2×＝n.
综上，当b1＝1时，Sn＝(－1)n-1·n；当b1＝－1时，Sn＝(－1)n·n.
10．(本小题满分15分)
函数y＝f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n－1≤y≤n(n∈N*)时，该函数的图象是斜率为bn(b≠0)的一条线段．已知数列{an}由f(an)＝n(n∈N*)定义．
(1)用b表示a1，a2.
(2)若b＝2，记Tn＝a1＋2a2＋…＋nan，求证：Tn>.
解析：(1)由已知可得函数y＝f(x)过点(0，0)，(a1，1)，(a2，2)，
又当n－1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为bn(b≠0)的一条线段，
所以＝b，＝b2，
所以ba1＝1，b2a2－b2a1＝1，所以a1＝，a2＝＋.
(2)证明：因为函数y＝f(x)过点(an－1，n－1)，(an，n)，
又当n－1≤y≤n(n∈N*)时，
该函数的图象是斜率为bn(b≠0)的一条线段，
所以＝bn.
又b＝2，所以＝2n，即an－an－1＝，
所以a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝，
所以当n≥2时，an－a1＝＋＋…＋，又a1＝，
所以当n≥2时，an＝＋＋…＋＝＝1－，
又n＝1时，a1＝也满足关系式an＝1－，
所以an＝1－，n∈N*，所以nan＝n－，
所以Tn＝1－＋2－＋…＋n－，
所以Tn＝1＋2＋…＋n－(＋＋…＋).
设Sn＝＋＋…＋，
则Sn＝＋＋…＋，
所以Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
所以Sn＝2－，
又1＋2＋3＋…＋n＝，
所以Tn＝－(2－)＝＋>.
11．(本小题满分15分)
已知等差数列{an}的首项为a1＝1，且a1＋a5＝a3＋3，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，n∈N*.
(1)求an和bn.
(2)设cn＝bn－a，记Tn＝＋＋…＋，证明：当n∈N*时，4Tn＋≤7.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＋a5＝a3＋3，所以a1＋a1＋4d＝a1＋2d＋3.
因为a1＝1，所以d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＝2，所以b1＝2.
当n≥2时，anbn＝－＝2n·3n-1，
结合an＝n可知bn＝2·3n-1.
经检验，b1＝2也适合上式．
所以bn＝2·3n-1.
(2)证明：由(1)可知，3bn－a＝2·3n－(n＋1)2.
所以要证明原不等式成立，
只需证明：Tn≤－·成立．
易得cn＝bn－a＝2·3n-1－n2，
所以当n＝1时，左边＝＝1，右边＝1，左边＝右边．
当n≥2时，(n＋1)2－(2n＋1)＝n2－n－>0，
此时<.
所以＝
＝
＝·[－
]
<·[－]，
所以＋＋…＋
<1＋[－]
＝－·，
于是，当n∈N*时，Tn≤－·成立．
综上所述，当n∈N*时，4Tn＋≤7.