周测卷(三) 三角函数 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(三)
(三角函数)
　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sin ，cos )，则cos (α＋)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
解析：B　由题意可得P(，)，
则tan α＝＝，所以α＝＋2kπ，k∈Z，
所以cos (α＋)＝cos (＋2kπ＋)＝cos ＝.故选B.
2．如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(　　)
A．2 B．1
C． D．
解析：B　由圆M与圆N外切，得MN＝2，又圆M，圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，所以劣弧AB长等于OB＝2，所以劣弧AB对应的扇形面积为×2×1＝1.故选B.
3．函数f(x)＝tan x＋，则y＝f(x)的部分图象大致是(　　)
解析：C　函数f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
因为f(－x)＝－tan x－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，A、B错误；
又因为f()＝2>0，D错误．故选C.
4．sin 10°＋tan 10°＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　sin 10°＋tan 10°
＝sin 10°＋·
＝
＝
＝
＝
＝＝.故选A.
5．若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)·sin β，则(　　)
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
解析：C　由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，
即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，
所以tan (α－β)＝－1，故选C.
6．已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)在区间[－，]上单调递减，在区间(－，0)上有零点，则φ的取值范围是(　　)
A．[，] B．[，)
C．(，] D．[，)
解析：C　当x∈[－，]，2x＋φ∈[－＋φ，＋φ]，
又因为φ∈(0，π)，则[－＋φ，＋φ] [0，π]，
即得≤φ≤.
由cos (2x＋φ)＝0得2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
则x＝＋－，
所以－<－<0，解得<φ<.
综上，<φ≤.故选C.
7．已知函数f(x)＝sin (cos －sin )＋1(ω>0)在[，]上单调递减，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，2] B．(，2]
C．[，] D．(，2]
解析：C　由题可得f(x)＝sin ωx－＋1＝sin (ωx＋)＋.
因为f(x)在[，]上单调递减，
依题意有k∈Z，
所以k∈Z，
又所以0<ω≤2.
当k＝0时满足题意，所以≤ω≤，故选C.
8．已知函数f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋1.若关于x的方程f(x)－a＝0有三个连续的实数根x1，x2，x3，且x1A．± B．±
C．±1 D．±2
解析：C　由题可得f(x)＝2sin(2x－)，
则f(x)的最小正周期为π.
当a＝±2时，易得x2＝x1＋π，x3＝x1＋2π，不满足x3＋2x1＝3x2，故舍去，
当－2由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
由＝＋，k∈Z，
代入x2＝x1＋，解得x1＝＋，k∈Z.
所以a＝2sin [2(＋)－]＝2sin (kπ＋)，k∈Z，
当k＝2n，n∈Z时，
2sin (kπ＋)＝2sin (2nπ＋)＝1，n∈Z；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
2sin (kπ＋)＝2sin (2nπ＋)＝－1，n∈Z.
故a的值为±1.故选C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
9．函数f(x)＝sin (ωx＋)的图象(0<ω<4)关于直线x＝对称，将f(x)的图象向左平移个单位长度后与函数y＝g(x)的图象重合，则关于y＝g(x)，下列结论正确的是(　　)
A．函数图象关于x＝对称
B．函数图象关于(－，0)对称
C．在(0，)上单调递减
D．最小正周期为π
解析：BC　对于A，f(x)关于x＝对称，
则ω＋＝＋kπ，k∈Z，
解得ω＝＋6k，k∈Z.
又0<ω<4，故当k＝0时，ω＝，满足要求，其他均不合要求，
故f(x)＝sin (x＋).
将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，
则g(x)＝sin (x＋＋)＝cos x.
令x＝kπ(k∈Z)，
则g(x)图象的对称轴为x＝(k∈Z)，
显然，x＝不满足，A错误；
对于B，令＝＋kπ(k∈Z)，
则x＝＋(k∈Z)，
所以g(x)图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z)，
显然，当k＝－1时，(＋，0)＝(－，0)，B正确；
对于C，令2kπ≤≤π＋2kπ(k∈Z)，
整理得≤x≤＋(k∈Z)，
所以g(x)的单调递减区间为[，＋](k∈Z)，
显然，当k＝0时，单调递减区间为[0，]，C正确；
对于D，g(x)的最小正周期T＝＝，D错误．故选BC.
10．若＝1，则(　　)
A．tan x＝2 B．sin x＝
C．tan 2x＝ D．sin 2x＝
解析：AD　因为＝1，分子分母同乘以，
所以＝＝1，
可得tan x＝2，A正确；
因为＝2，sin2x＋cos2x＝1，
所以sinx＝±，B错误；
tan 2x＝＝＝－，C错误；
因为＝2，sin2x＋cos2x＝1，
所以sin2x＝，
所以sin2x＝2sin x cos x＝sin2x＝，D正确．故选AD.
11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则(　　)
A．ω＝2
B．φ＝
C．对任意的x都有f(x)≥f()
D．f(x)在区间[－π，π]上的零点之和为
解析：AB　由题图可知函数f(x)的最小正周期为T＝(－)＝π，
则ω＝＝2，
所以f(x)＝sin (2x＋φ).
将(，1)代入得1＝sin (＋φ)，
则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
得φ＝＋2kπ(k∈Z).
因为|φ|<，所以φ＝，A，B正确；
f(x)＝sin (2x＋)，当x＝时，f(x)＝0，不满足对任意的x都有f(x)≥f()，C错误；
因为x∈[－π，π]，
所以2x＋∈[－，]，
则f(x)共有4个零点，不妨设为a，b，c，d，且a则2a＋＋2b＋＝2×(－)，
2c＋＋2d＋＝2×，
两式相加，整理得2a＋2b＋2c＋2d＝，
故f(x)的所有零点之和为a＋b＋c＋d＝，D错误．故选AB.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．以Ox为始边作锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将角α的终边逆时针旋转得到角β.角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则y1＋y2的取值范围为________________．
解析：(，]
根据三角函数的定义得y1＝sin α，α∈(0，)，
由于角α的终边逆时针旋转得到角β，故β＝α＋，
所以y2＝sin β＝sin (α＋)，
所以y2＋y1＝sin (α＋)＋sin α＝sin α＋cos α＝sin (α＋).
因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，
所以sin (α＋)∈(，1]，即y1＋y2∈(，].
13．已知角α的终边经过点P(－6，－8)，f(α)＝，则f(α)＝__________.
解析：－　
f(α)＝
＝
＝－
＝－cos2α.
因为角α的终边经过点P(－6，8)，
所以cosα＝＝－.
所以f(α)＝－cos2α＝－(－)2＝－.
14．已知α∈(0，)，若 β∈(0，2π)，使sin(α＋β)＋cos (α＋β)－＝(α－)2成立，则β＝________________．
解析：－
由sin (α＋β)＋cos (α＋β)－＝(α－)2，
可得sin (α＋β＋)＝(α－)2＋，
设f(β)＝sin (α＋β＋)，
g(α)＝(α－)2＋.
依题意，－≤f(β)≤，
而g(α)≥，故f(β)＝g(α)＝，
由g(α)＝，α∈(0，)，可得α＝，
又由f(β)＝sin (＋β＋)＝，
可得sin (＋β＋)＝1，
因为β∈(0，2π)，
则＋<＋β＋<＋，
<＋<π，<＋<3π，
故β＋＋＝，解得β＝－.
四、解答题：本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分15分)
已知函数f(x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.
(1)求f(x)的单调递增区间以及f(x)图象的对称中心坐标．
(2)是否存在锐角α，β，使α＋2β＝，f(α＋)·f(2β＋)＝同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)f(x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)－
＝sin2ωx＋sinωx cos ωx－
＝＋sin 2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝sin (2ωx－)，
由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，得f(x)的最小正周期T＝4π＝，
解得ω＝，
所以f(x)＝sin (x－)，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z).
令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ(k∈Z).
所以f(x)图象的对称中心的坐标为(＋2kπ，0)(k∈Z).
(2)存在．因为f(α＋)＝sin ，
f(2β＋)＝sin (β＋)＝cos β，
所以f(α＋)·f(2β＋)＝sin cos β＝，
所以sin cos β＝.
又α＋2β＝，α＝－2β，
所以sin cos β＝sin (－β)cos β＝，
即(cos β－sin β)cos β＝，
即cos2β－sinβcos β＝，
即×－sin 2β＝，
即cos 2β－sin 2β＝0，
所以tan 2β＝，由β为锐角，得0<2β<π，
所以2β＝，β＝，从而α＝－2β＝.
故存在α＝，β＝符合题意．