周测卷（十）解析几何（1） 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷（十）
[解析几何(1)]
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l：f(x，y)＝0，P(x0，y0)是直线l外一点，那么直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0(　　)
A．过点P且与直线l斜交
B．过点P且与直线l重合
C．过点P且与直线l平行
D．过点P且与直线l垂直
解析：C　P(x0，y0)在直线外，所以f(x0，y0)≠0，方程f(x，y)＝0与f(x，y)－f(x0，y0)＝0两方程变量的系数完全相同，而f(x0，y0)≠0，即常数项不同，它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，所以直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0必过点P，所以直线过点P且与直线l平行．故选C.
2．若圆C1：x2＋y2－2ay＝0(a>0)与圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0有且仅有三条公切线，则a的值为(　　)
A． B．3
C． D．
解析：A　由x2＋y2－2ay＝0(a>0)，
可得x2＋(y－a)2＝a2，
所以圆C1的圆心为(0，a)，半径为a.
由x2＋y2－4x＋3＝0，
可得(x－2)2＋y2＝1，
所以圆C2的圆心为(2，0)，半径为1.
因为两圆有且仅有三条公切线，所以两圆外切，
所以＝a＋1，解得a＝.故选A.
3．已知直线mx－y＋2m＋1＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝16相交于M，N两点，则当|MN|取最小值时，实数m的值为(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：C　由圆的方程(x＋1)2＋(y－2)2＝16，可知圆心A(－1，2)，半径R＝4，
直线y－1＝m(x＋2)过定点B(－2，1).
因为(－2＋1)2＋(1－2)2＝2<16，
则定点B(－2，1)在圆内，
则当AB⊥MN时，|MN|取得最小值，因为AB的斜率为＝1，所以m＝－1.故选C.
4．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的渐近线有公共点，则双曲线D的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，2) B．(1，2]
C．（2，＋∞) D．[2，＋∞）
解析：D　圆C：(x－2)2＋y2＝1，
双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为ax±by＝0.
因为圆与双曲线的渐近线有公共点，所以圆心C(2，0)到渐近线的距离d＝≤1，
所以3a2≤b2，所以c2＝a2＋b2≥4a2，
即≥4，所以e＝≥2.故选D.
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：C　如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，过焦点F作FC垂直AB于点C.
由题意可知p＝2，∠AFx＝∠FAC＝，
根据抛物线的定义有
|AF|＝|AB|＝|AC|＋|CB|，
在Rt△AFC中，
|AC|＝|AF|·cos ＝|AF|，
又|BC|＝p＝2，
所以|AF|＝|AB|＝|AF|＋2，
解得|AF|＝4.故选C.
6．已知点P为抛物线x2＝8y上一点，过点P作圆C：x2＋(y－5)2＝1的两条切线，切点分别为M，N，则cos ∠MPN的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由题意可得∠MPN＝2∠MPC，
sin ∠MPC＝＝.
设P（t，），
则|PC|2＝t2＋（－5）2＝－＋25
＝(t2－8)2＋24，
当t2＝8时，|PC|min＝2，
此时∠MPN最大，cos ∠MPN最小，
且(cos ∠MPN)min＝1－2sin2∠MPC＝1－2×（）2＝.故选D.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线交椭圆于点P，若直线PF1的斜率为，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由题意得，C：＋＝1(a>b>0)中令x＝c，得y＝±，
由于直线PF1的斜率为，故P（c，），
则kPF1＝＝＝，①
又a2＝b2＋c2，②
联立①②得，3c2＋8ac－3a2＝0，所以3e2＋8e－3＝0，
解得e＝或－3（舍去）.故选D.
8．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
解析：D　不妨设|PF1|>|PF2|，
由题意得|PF1|＝2|PF2|.
若曲线是椭圆，
则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，
则|PF1|＝，|PF2|＝，
故a－c<而A中离心率为，B中离心率为，均不满足；
若曲线是双曲线，
则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，
则|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
故4a>a＋c即1<<3，
而C中离心率为4，D中离心率为，故D满足题设要求，故选D.
二、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分15分）
已知M为圆x2＋y2＝9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程；
(2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A，B两点，点Q(0，1)，若点H（，0）恰好是△ABQ的垂心，求直线l的方程．
解析：(1)设G(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0).因为G为△OMN的重心，
所以有解得x0＝，y0＝3y，
代入x＋y＝9，化简得＋y2＝1，
又x0y0≠0，故xy≠0，
所以G的轨迹方程为＋y2＝1(xy≠0).
(2)因为H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ，AH⊥BQ，
又kHQ＝＝－，
所以kl＝，故设直线l的方程为y＝x＋m(m≠±1)，
与＋y2＝1联立消去y，
得13x2＋8mx＋4m2－4＝0，
由Δ＝208－16m2>0得m2<13.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
由AH⊥BQ，得·＝－1，
所以x2（x1－）＋（x1＋m）（x2＋m－1）＝0，
所以4x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0，
所以4(4m2－4)－24m(m－1)＋13(m2－m)＝0，
化简得5m2＋11m－16＝0，
解得m＝1（舍去）或m＝－（满足Δ>0），
故直线l的方程为y＝x－.
10．（本小题满分15分）
已知抛物线C：y2＝－8x，过点A(－1，1)的直线l交C于M，N两点．
(1)当点A平分线段MN时，求直线l的方程．
(2)已知点B(1，0)，过点D(－1，0)的直线交C于P，Q两点，证明：|BP|·|DQ|＝|BQ|·|PD|.
解析：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以(y1－y2)(y1＋y2)＋8(x1－x2)＝0.
又因为点A是MN的中点，所以y1＋y2＝2，
所以＝＝－4，
所以kMN＝－4，所以直线l的方程为y－1＝－4(x＋1)，即4x＋y＋3＝0，
联立消x，得y2－2y－6＝0，
方程y2－2y－6＝0的判别式Δ＝4＋24>0，
即直线l与抛物线相交，满足条件，故直线l的方程为4x＋y＋3＝0.
(2)证明：设直线PQ的方程为x＝my－1，则
所以y2＋8my－8＝0，
方程y2＋8my－8＝0的判别式Δ1＝64m2＋32>0.
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
所以y3＋y4＝－8m，y3y4＝－8，
所以kBP＋kBQ＝＋
＝，
所以y3x4＋y4x3－(y3＋y4)
＝y3(my4－1)＋y4(my3－1)－(y3＋y4)
＝2my3y4－2(y3＋y4)
＝－16m－2(－8m)＝0，
所以kBP＋kBQ＝0，
所以BD是∠PBQ的平分线，
所以＝，
即|BP|·|DQ|＝|BQ|·|PD|.
11．（本小题满分15分）
已知双曲线C：－＝1经过点(2，－3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，在x轴上是否存在定点M(m，0)，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为两条渐近线的夹角为60°，
所以渐近线的斜率±＝±或±，
即b＝a或b＝a；
当b＝a时，由－＝1得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1；
当b＝a时，方程－＝1无解．
综上所述，双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意得F2(2，0)，设存在定点M(m，0)满足题意，
则·＝0恒成立．
（方法1）①当直线l的斜率存在时，
设l：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得
(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，
所以
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝(1＋k2)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝－＋m2＋4k2
＝0，
所以(4k2＋3)(1＋k2)－4k2(2k2＋m)＋(m2＋4k2)(k2－3)＝0，
整理可得k2(m2－4m－5)＋(3－3m2)＝0，
由得m＝－1，
所以当m＝－1时，·＝0恒成立．
②当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，则A(2，3)，B(2，－3)，
当M(－1，0)时，＝(3，3)，＝(3，－3)，
所以·＝0成立．
综上所述，存在M(－1，0)，使得以线段AB为直径的圆恒过M点．
（方法2）①当直线l的斜率为0时，l：y＝0，则A(－1，0)，B(1，0)，
因为M(m，0)，
所以＝(－1－m，0)，＝(1－m，0)，
所以·＝m2－1＝0，解得m＝±1.
②当直线l的斜率不为0时，
设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得
(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
所以
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2
＝(ty1＋2)(ty2＋2)－m(ty1＋2＋ty2＋2)＋m2＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋(2t－mt)(y1＋y2)＋4－4m＋m2
＝－＋4－4m＋m2
＝＋(2－m)2
＝0.
当＝，即m＝－1时，·＝0成立．
综上所述，存在M(－1，0)，使得以线段AB为直径的圆恒过M点．