周测卷（十一）解析几何（2） 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷（十一）
[解析几何(2)]
　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
1．已知圆M：(x＋r)2＋y2＝r2(r>0)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的内部，点A为C上一动点，O为坐标原点．过点A作圆M的一条切线，交C于另一点B，切点为D.若D为AB的中点，且直线MD的斜率为－，则(　　)
A．直线AB的斜率为
B．直线OD的斜率是－2
C．直线OD的斜率是－
D．椭圆的离心率为
解析：AD　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
则2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2，
将点A，B的坐标代入椭圆C的方程，
得
两式相减得（x－x）＋（y－y）＝0，
所以＋××＝0.
因为直线MD的斜率为－，
所以AB的斜率为，A正确；
所以＋×＝0.
如图，设E为椭圆的左顶点，连接OD，
则∠DME＝2∠DOM，
所以tan ∠DME＝tan 2∠DOM＝＝.
解得tan∠DOM＝或－2（舍去），直线OD的斜率为－，B错误，C错误；
所以＋××（－）＝0，
所以＝，故e＝＝，D正确．故选AD.
2．抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为直线l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线交于点P，AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，则说法正确的是(　　)
A．点P在直线y＝－4上
B．点P在直线AB上的投影是定点
C．以A′B′为直径的圆与直线AB相切
D．的最小值为
解析：BCD　对于A，依题意焦点F的坐标为(0，2)，准线为直线l：y＝－2，
不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋2，
联立得x2－8kx－16＝0，
从而x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
y2－y1＝－＝，
y2＋y1＝kx1＋2＋kx2＋2＝8k2＋4.
由题意y＝x2，所以y′＝x，
故抛物线过点A，B的切线方程分别为
y－y1＝x1(x－x1)，
y－y2＝x2(x－x2)，
解得点P的坐标为（，－2），A错误；
对于B，因为＝(x2－x1，y2－y1)，＝（－，4），
所以·＝－＋4(y2－y1)＝0，
所以PF⊥AB，即点P在直线AB上的投影是点F（定点），B正确；
对于C，如图，易证Rt△AFP≌Rt△AA′P，Rt△BFP≌Rt△BB′P，
因此FP＝A′P＝B′P，即以A′B′为直径的圆与直线AB相切，C正确；
对于D，因为|AB|＝y1＋y2＋4＝8k2＋8，
|PF|＝＝＝4，
所以＝＝2＋，
令t＝≥1，由函数y＝2t＋在[1，＋∞）上单调递增，
所以当t＝1，即k＝0时，函数取最小值，D正确．故选BCD.
3．在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线．若a＝2，点P(x0，y0)为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是(　　)
A．双纽线C关于x轴不对称
B．双纽线C关于y轴对称
C．直线y＝x与双纽线C只有一个交点
D．双纽线C上存在点P，使得|PF1|＝|PF2|
解析：BCD　对于A，设M(x，y)到定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之积为4，
可得·＝4，
整理得(x2＋y2)2＝8(x2－y2)，
即曲线C的方程为(x2＋y2)2＝8(x2－y2)，
由x用－x代换，方程没变，可知曲线C关于y轴对称，
由y用－y代换，方程没变，可知曲线C关于x轴对称，
由x用－x代换，y用－y同时代换，方程没变，可知曲线C关于原点对称，图象如图所示，
所以A错误，B正确．
对于C，联立方程
可得x4＝0，即x＝0，所以y＝0，
所以直线y＝x与曲线C只有一个交点O(0，0)，所以C正确．
对于D，原点O(0，0)满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，则|OF1|＝|OF2|，
即曲线C上存在点P与原点O重合时，满足|PF1|＝|PF2|，所以D正确．故选BCD.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
4．已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点A作直线l交y轴于点M，交椭圆于点N，若△AOM是等腰三角形，且|MN|＝2|NA|，则椭圆的离心率为　　　　　.
解析：　由题意，由椭圆对称性不妨设A(a，0)，M(0，a)，且N(x1，y1)，
因为|MN|＝2|NA|，可得＝2，可得(x1，y1－a)＝2(a－x1，－y1)，
可得
解得即N（，），
代入椭圆的方程，可得＋＝1，
解得＝，所以e＝＝＝.
5．抛物线x2＝16y的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，点A(2，0)，则|PF|－|PA|的最大值是　　　　.
解析：4　根据抛物线方程x2＝16y，可得F(0，4)，准线方程为y＝－4，如图，作PM⊥准线l，M为垂足．
又知A(2，0)，由抛物线的定义可得|PF|－|PA|＝|PM|－|PA|≤|AM|，
故当P，A，M三点共线时，|PM|－|PA|＝|AM|取最大值，最大值为|AM|＝4.
6．已知M(－2，0)，圆C：x2－4x＋y2＝0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是　　　　　　　　　　．
解析：x2－＝1
圆C：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，半径r＝2.
设动圆P的半径为R，若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，
所以|PM|＝R，|PC|＝R－2，
所以|PM|－|PC|＝2<|MC|＝4，
所以动点P是以M(－2，0)，C(2，0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝2，
所以b＝＝，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2－＝1(x≥1)，
若动圆P与圆C相外切，
所以|PM|＝R，|PC|＝R＋2，
所以|PC|－|PM|＝2<|MC|＝4，
所以动点P是以M(－2，0)，C(2，0)为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝2，
所以b＝＝，
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2－＝1(x≤－1)，
综上，动圆圆心P的轨迹方程是x2－＝1.
三、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
7．（本小题满分15分）
已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点F(1，0)的距离比点T到y轴的距离大1.设点T的轨迹为C.
(1)求点T的轨迹C的方程．
(2)设直线l：x＝－1，过点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E.记△AMN的面积为S1，△EPQ的面积为S2，证明：S1＝S2.
解析：(1)设T(x，y)，由题意得＝x＋1，化简得y2＝4x，
故所求动点T的轨迹方程C：y2＝4x.
(2)证明：由题设条件可设直线AB：x＝my＋1，A（，y1），B（，y2），
由得y2－4mx－4＝0，
Δ＝16m2＋16>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
线段AB的中点为M，
则M（，），Q（－1，）.
又直线OA：y＝x，令y＝，
则x＝＝，
故N（，）.
同理P（，），
则|MN|＝|－|＝，
|PQ|＝|－(－1)|＝，
所以|MN|＝|PQ|.
又直线OB：y＝x，令x＝－1，
则y＝＝＝y1，即E(－1，y1).
因为S1＝|MN||y1|，S2＝|PQ||y1|，
所以S1＝S2.
8．（本小题满分15分）
已知椭圆C：＋y2＝1，右焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为，求|AB|；
(2)记线段AB的垂直平分线交直线x＝－1于点M，当∠AMB最大时，求直线l的方程．
解析：(1)由题意可得F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为直线l的倾斜角为，
所以k＝tan ＝1，
因此l的方程为y＝x－1.
联立方程消去y得3x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
所以A(0，－1)，B（，），
所以|AB|＝＝.
（或|AB|＝·|x1－x2|＝）
(2)由题意得，直线l的斜率不为0，故设l为x＝my＋1，
联立方程消去x得，
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|AB|＝
＝
＝.
设线段AB的中点为G，
则yG＝＝－，
xG＝myG＋1＝，
所以|MG|＝|－1－|＝，
所以tan ＝＝.
设t＝，
则tan ＝＝≤，
当且仅当t＝，即m＝±时等号成立，
当最大时，∠AMB也最大，
此时直线l的方程为x＝±y＋1，
即x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
9．（本小题满分17分）
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F2M交另一条渐近线于点N，且|F2M|＝|MN|.
(1)求双曲线C的方程．
(2)如图，过A(6，0)作直线l（l不与x轴重合）与曲线C的两支交于P，Q两点，直线F1P，F1Q与C的另一个交点分别为S，T，求证：直线ST经过定点．
解析：(1)渐近线l1：y＝x，
渐近线l2：y＝－x.
如图，O为坐标原点，由题意，不妨设M在l1上，N在l2上，则OM是线段NF2的中垂线，△F2OM≌△NOM，
所以∠F2OM＝∠NOM.
由对称性知，∠F2OM＝∠F1ON，
所以∠F2OM＝∠NOM＝∠F1ON，从而∠F2OM＝，即＝tan ∠F2OM＝.
由得
故双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，
设直线PQ：y＝k(x－6).
由题设条件可知直线PS：y＝(x＋4).
联立方程
得[3(x1＋4)2－y]x2－8yx－16y－12(x1＋4)2＝0，
则x1＋x3＝.
又y＝3x－12，
所以x1＋x3＝＝＝，
所以x3＝－，y3＝·（－＋4）＝·＝，
所以S（－，），
同理T（－，）.
则kST＝
＝
＝
＝
＝－.
直线ST：y－＝－[x－（－）]，
令y＝0，得x＝－＝－，
所以直线ST过定点（－，0）.