周测卷(四) 复数、平面向量 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(四)
(复数、平面向量)
　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数1＋i＝，则在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：C　由1＋i＝，得到z＝＝＝－＋i，所以＝－－i，其对应点为(－，－)，位于第三象限．故选C.
2．已知a，b∈R，(a＋i)i＝b－2i(i为虚数单位)，则复数z＝a＋bi的共轭复数为(　　)
A．－2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
解析：A　因为(a＋i)i＝ai＋i2＝－1＋ai＝b－2i，所以a＝－2，b＝－1，故z＝a＋bi＝－2－i，
所以复数z＝a＋bi的共轭复数为＝－2＋i，故选A.
3．已知向量a＝(t，2)，b＝(1，－t)，若(a－2b)⊥(a＋b)，则t＝(　　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2或－1 D．－2或1
解析：C　由题意可知，a－2b＝(t－2，2＋2t)，a＋b＝(t＋1，2－t)，
因为(a－2b)⊥(a＋b)，
所以(a－2b)·(a＋b)＝0，
即(t－2)(t＋1)＋(2＋2t)(2－t)＝0，整理得t2－t－2＝0，
所以t1＝2或t2＝－1.故选C.
4．已知a与b为非零向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：D　由题意知，A，B，C三点共线，故＝a－2b，＝(λ－2)a＋(μ＋1)b，且，共线，
故不妨设＝k(k≠0)，
则所以λ－2＝，
解得2λ＋μ＝3，故选D.
5．已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，F(点E，F与所在边的端点均不重合)，设＝x，＝y，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：B　如图，取BC的中点D，
则＝，＝＋，
＝＝(＋)＝＋，
因为E，G，F三点共线，
所以＋＝1，即x＋y＝3，
所以＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥×(2＋2)＝，
当且仅当x＝y＝时，取等号．故选B.
6．如图是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象，且＝＋，则f(0)＝(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：D　由＝＋可得3＝2＋，
则3－3＝－＋，
即3＝.
因为AB＝，所以OB＝×＝＝，
所以f()＝sin (ω·＋φ)＝0，
结合图象可得＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
则φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(0)＝sin φ＝.故选D.
7．已知非零向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：B　因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由(＋)·＝0，可得∠A的平分线与BC垂直，
所以△ABC为等腰三角形，且AB＝AC，
又·＝，
得||·||·cos 〈，〉＝，
所以cos 〈，〉＝，
又〈，〉∈[0，π]，
所以A＝〈，〉＝，
所以△ABC为等边三角形，
所以向量在向量上的投影向量为·＝·＝，故选B.
8．在△ABC中，点M在平面ABC内，且满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，条件p：＝2，条件q：3μ－3λ＝1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　由＝2可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以3μ－3λ＝1，所以p是q的充分条件．
若3μ－3λ＝1，得μ＝λ＋，
代入＝λ＋μ，
得＝λ＋(λ＋)，
所以－＝－λ＋(λ＋)(－)，
所以＝(－2λ)＋(＋λ)，
当λ≠0时，(－2λ)＋(＋λ)≠1，
此时＝2不成立，
所以p不是q的必要条件．故选A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
9．在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则(　　)
A．p＝2 B．x2＝1－i
C．x12＝－2i D．＝i
解析：BD　因为x1＝1＋i且实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，
所以x1x2＝2，可得x2＝＝＝1－i，B正确；
又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，A错误；
由2＝1＋i，所以x12＝(1＋i)2＝2i≠－2i，C错误；
＝＝＝＝i，D正确．故选BD.
10．若z是非零复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若z＋＝0，则＝i
B．若z·＝2|z|，则|z|＝2
C．若z1＝，则1＝z
D．若|z＋z1|＝0，则z1·＋|z|2＝0
解析：BCD　对于A，由z＋＝0，得＝－1，A错误；
对于B，因为z·＝|z|2，所以|z|2＝2|z|，解得|z|＝2或|z|＝0(舍去)，B正确；
对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R，且ab≠0)，
则z1＝＝a－bi，所以1＝a＋bi＝z，C正确；
对于D，由|z＋z1|＝0，得z1＝－z.
设z＝a＋bi(a，b∈R，且ab≠0)，
则z1·＝－z·＝－(a2＋b2)，
|z|2＝a2＋b2，从而z1·＋|z|2＝0，D正确．故选BCD.
11．已知O为△ABC的外接圆圆心，＋＝2，||＝||，下列结论正确的是(　　)
A．B，O，C三点共线
B．B＝60°
C．AB＝AC
D．向量在向量上的投影向量为
解析：ACD　如图，根据平行四边形法则＋＝＋＝＝2，即AD＝2AO，
所以O为AD的中点，即O为AD与BC的交点，
所以O为BC的中点，所以B，O，C三点共线，A正确；
因为O为△ABC的外接圆圆心，所以BC为圆O的直径，
所以∠BAC＝90°，所以||＝||，
又||＝||，所以△AOC是等边三角形，
所以∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，B错误；
在Rt△ABC中，＝tan 60°，所以|AB|＝|AC|，C正确；
过点A作AE⊥BC于点E，则向量为向量在向量上的投影向量，
因为＝sin 60°，
所以|BA|＝|BC|，
|BE|＝|BA|×cos 30°＝|BA|＝|BC|，
所以＝，
即向量在向量上的投影向量为，D正确．故选ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：　因为向量λa＋b与a＋2b平行，
所以λa＋b＝k(a＋2b)，
则所以λ＝k＝.
13．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠)角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ斜坐标系．若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的斜坐标，记为＝(x，y).在θ＝的斜坐标系中，a＝(，)，b＝(，－1)，则a·b＝______________________.
解析：　
a·b＝(e1＋e2)·(e1－e2)
＝e＋(－)e1·e2－e
＝＋cos －
＝.
14．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，＝，＝，过M点作MN∥AB交BC于N点，若E，F分别是MN和CD上的动点，且|EF|＝，则·的最小值为________.
解析：　由题意，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，过点F作FG⊥MN，垂足为G，
则FG＝AD＝2，EG＝＝＝.
由＝，＝，
可设E(x，1)，x∈[0，4]，则F(x＋，3)，
由P(2，0)，所以＝(x－2，1)，＝(x＋－2，3)，
所以·＝(x－2)(x＋－2)＋3＝x2－(4－)x＋7－2，
当x＝2－时，·取得最小值，最小值为(2－)2－(4－)(2－)＋7－2＝.