周测卷(五) 解三角形 含解析- 高考一轮总复习数学
文档属性
| 名称 | 周测卷(五) 解三角形 含解析- 高考一轮总复习数学 |
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| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 47.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 00:00:00 | ||
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文档简介
周测卷(五)
(解三角形)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，因为{，} {}，
因此“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.
2．在△ABC中，已知AC＝BC，且A＝，则C＝( )
A． B．
C． D．
解析：B 由正弦定理及AC＝BC，
可得＝＝，
因为A＝，所以sin B＝sin A＝，
又AC所以C＝π－－＝.故选B.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小为( )
A． B．或
C． D．或
解析：B tan B＝，即cos B tan B＝，所以sin B＝，又因为04．在△ABC中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，A＝，b＝3，△ABC的面积为，则a＝( )
A． B．
C．7 D．49
解析：C 由A＝，b＝3，则S△ABC＝bc sin A＝，解得c＝5.在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋25－2×3×5×(－)＝49，解得a＝7.故选C.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝1－，a＝3，b＝2，则sin B＝( )
A． B．
C． D．
解析：D 由＝1－及正弦定理，
得＝1－，可得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
又0又a＝3，b＝2，
由＝，得sin B＝＝.故选D.
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－3c2，则＝( )
A． B．－
C． D．－2
解析：B 由a2＝b2－3c2，
可得a2＋c2－b2＝－2c2，
由余弦定理可得－2c2＝2ac cos B，
即－c＝a cos B，
由正弦定理得－sin C＝sin A cos B，
即－sin (A＋B)＝sin A cos B，
化简得2sin A cos B＝－cos A sin B，
即得＝－.故选B.
7．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：C 因为＋＝2c，
所以由正弦定理可得＋＝2sin C，
而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．
所以2sin C≥2，即sin C≥1，
又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.
又因为sin A＝sin B，可得A＝B，
故三角形为等腰直角三角形．故选C.
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B＝b(2＋cos A)，若△ABC的面积等于4，则△ABC的周长的最小值为( )
A．4＋8 B．3＋8
C．2＋8 D．3＋8
解析：A 由正弦定理结合a sin B＝b(2＋cos A)，
可得sin A sin B＝sin B(2＋cos A)，
因为sin B≠0，
所以sin A－cos A＝2sin (A－)＝2，
即sin (A－)＝1，
注意到－所以只能A－＝，解得A＝.
因为△ABC的面积等于4，
所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝4，解得bc＝16，
在△ABC中，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋16，
△ABC的周长为a＋b＋c＝＋b＋c≥＋2＝4＋8，
当且仅当b＝c＝4的等号成立．
综上所述，△ABC是以顶角A＝的等腰三角形时，△ABC的周长取到最小值，且最小值为4＋8.故选A.
二、解答题：本大题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．(本小题满分13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝4.
(1)若cos B＋2cos A＝c cos C，求C的值；
(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB，cos ∠ACB＝－，求CD的长．
解析：(1)由题意得2cos B＋4cos A＝2c cos C，
所以a cos B＋b cos A＝2c cos C.
由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，
即sin (A＋B)＝2sin C cos C.
又sin (A＋B)＝sin C，
所以sin C＝2sin C cos C，
又sin C≠0，所以cos C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由cos ∠ACB＝－，
得2cos2－1＝－，
解得cos＝.
由S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，
得ab sin ∠ACB＝b·CD sin ＋a·CD·sin ，
即2ab cos ＝(a＋b)CD，
所以CD＝＝＝.
10．(本小题满分15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C－2b cos B＋c cos A＝0.
(1)若a＝3，b＝c，求△ABC的面积；
(2)已知AD为边BC的中线，且AD＝，求a＋c的最大值．
解析：(1)由正弦定理，得sin A cos C－2sin B cos B＋sin C cos A＝0，
所以sin (A＋C)＝2sin B cos B.
又A＋B＋C＝π，所以sin B＝2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B＝，
又B∈(0，π)，故B＝.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B?7c2＝9＋c2－3c，
由c>0，解得c＝1，
所以△ABC的面积S＝ac sin B＝×3×1×＝.
(2)设∠BDA＝θ，则∠BAD＝－θ.
由B＝及正弦定理可得，
＝＝＝2，
所以c＝2sin θ，a＝4sin (－θ)，
故a＋c＝4sin (－θ)＋2sin θ＝4sin θ＋2cos θ＝2(sin θ＋cos θ)＝2sin (θ＋φ)，
其中tan φ＝，φ∈(0，)，
当sin (θ＋φ)＝1时，a＋c的最大值为2.
11．(本小题满分15分)
在△ABC中，AB＝1，BC＝3，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD.
(1)若cos B＋cos D＝0且B＝120°，求△ACD面积的最大值；
(2)若AD＝CD＝2，当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋9－2×1×3·cos 120°＝13.
因为cos B＋cos D＝0，∠B＝120°，
所以∠D＝60°.
则在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 60°≥2AD·CD－AD·CD，
故AD·CD≤13，当且仅当AD＝CD时，等号成立，
所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝AD·CD≤，
故△ACD面积的最大值为.
(2)取∠BAD＝α，∠BCD＝β，
则在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos α＝5－4cos α，
在△BCD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos β＝13－12cos β，
即5－4cos α＝13－12cos β，
所以3cos β－cos α＝2.①
取四边形ABCD的面积为S，
则有S＝AB·AD·sin α＋CB·CD·sin β，
即sin α＋3sin β＝S，②
①2＋②2得S2＋4＝(sin α＋3sin β)2＋(3cos β－cos α)2＝10－6cos (α＋β)，
即S2＝6－6cos (α＋β)，
则当α＋β＝π时，S＝12，Smax＝2，
此时α＝π－β，
则3cos β－cos α＝3cos β－cos (π－β)
＝4cos β＝2，
所以cos β＝，
故BD2＝13－12cos β＝7，
所以BD＝，即对角线BD为.
(解三角形)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，因为{，} {}，
因此“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.
2．在△ABC中，已知AC＝BC，且A＝，则C＝( )
A． B．
C． D．
解析：B 由正弦定理及AC＝BC，
可得＝＝，
因为A＝，所以sin B＝sin A＝，
又AC
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小为( )
A． B．或
C． D．或
解析：B tan B＝，即cos B tan B＝，所以sin B＝，又因为0
A． B．
C．7 D．49
解析：C 由A＝，b＝3，则S△ABC＝bc sin A＝，解得c＝5.在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋25－2×3×5×(－)＝49，解得a＝7.故选C.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝1－，a＝3，b＝2，则sin B＝( )
A． B．
C． D．
解析：D 由＝1－及正弦定理，
得＝1－，可得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
又0
由＝，得sin B＝＝.故选D.
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－3c2，则＝( )
A． B．－
C． D．－2
解析：B 由a2＝b2－3c2，
可得a2＋c2－b2＝－2c2，
由余弦定理可得－2c2＝2ac cos B，
即－c＝a cos B，
由正弦定理得－sin C＝sin A cos B，
即－sin (A＋B)＝sin A cos B，
化简得2sin A cos B＝－cos A sin B，
即得＝－.故选B.
7．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：C 因为＋＝2c，
所以由正弦定理可得＋＝2sin C，
而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．
所以2sin C≥2，即sin C≥1，
又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.
又因为sin A＝sin B，可得A＝B，
故三角形为等腰直角三角形．故选C.
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B＝b(2＋cos A)，若△ABC的面积等于4，则△ABC的周长的最小值为( )
A．4＋8 B．3＋8
C．2＋8 D．3＋8
解析：A 由正弦定理结合a sin B＝b(2＋cos A)，
可得sin A sin B＝sin B(2＋cos A)，
因为sin B≠0，
所以sin A－cos A＝2sin (A－)＝2，
即sin (A－)＝1，
注意到－
因为△ABC的面积等于4，
所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝4，解得bc＝16，
在△ABC中，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋16，
△ABC的周长为a＋b＋c＝＋b＋c≥＋2＝4＋8，
当且仅当b＝c＝4的等号成立．
综上所述，△ABC是以顶角A＝的等腰三角形时，△ABC的周长取到最小值，且最小值为4＋8.故选A.
二、解答题：本大题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．(本小题满分13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝4.
(1)若cos B＋2cos A＝c cos C，求C的值；
(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB，cos ∠ACB＝－，求CD的长．
解析：(1)由题意得2cos B＋4cos A＝2c cos C，
所以a cos B＋b cos A＝2c cos C.
由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，
即sin (A＋B)＝2sin C cos C.
又sin (A＋B)＝sin C，
所以sin C＝2sin C cos C，
又sin C≠0，所以cos C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由cos ∠ACB＝－，
得2cos2－1＝－，
解得cos＝.
由S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，
得ab sin ∠ACB＝b·CD sin ＋a·CD·sin ，
即2ab cos ＝(a＋b)CD，
所以CD＝＝＝.
10．(本小题满分15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C－2b cos B＋c cos A＝0.
(1)若a＝3，b＝c，求△ABC的面积；
(2)已知AD为边BC的中线，且AD＝，求a＋c的最大值．
解析：(1)由正弦定理，得sin A cos C－2sin B cos B＋sin C cos A＝0，
所以sin (A＋C)＝2sin B cos B.
又A＋B＋C＝π，所以sin B＝2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B＝，
又B∈(0，π)，故B＝.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B?7c2＝9＋c2－3c，
由c>0，解得c＝1，
所以△ABC的面积S＝ac sin B＝×3×1×＝.
(2)设∠BDA＝θ，则∠BAD＝－θ.
由B＝及正弦定理可得，
＝＝＝2，
所以c＝2sin θ，a＝4sin (－θ)，
故a＋c＝4sin (－θ)＋2sin θ＝4sin θ＋2cos θ＝2(sin θ＋cos θ)＝2sin (θ＋φ)，
其中tan φ＝，φ∈(0，)，
当sin (θ＋φ)＝1时，a＋c的最大值为2.
11．(本小题满分15分)
在△ABC中，AB＝1，BC＝3，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD.
(1)若cos B＋cos D＝0且B＝120°，求△ACD面积的最大值；
(2)若AD＝CD＝2，当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋9－2×1×3·cos 120°＝13.
因为cos B＋cos D＝0，∠B＝120°，
所以∠D＝60°.
则在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 60°≥2AD·CD－AD·CD，
故AD·CD≤13，当且仅当AD＝CD时，等号成立，
所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝AD·CD≤，
故△ACD面积的最大值为.
(2)取∠BAD＝α，∠BCD＝β，
则在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos α＝5－4cos α，
在△BCD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos β＝13－12cos β，
即5－4cos α＝13－12cos β，
所以3cos β－cos α＝2.①
取四边形ABCD的面积为S，
则有S＝AB·AD·sin α＋CB·CD·sin β，
即sin α＋3sin β＝S，②
①2＋②2得S2＋4＝(sin α＋3sin β)2＋(3cos β－cos α)2＝10－6cos (α＋β)，
即S2＝6－6cos (α＋β)，
则当α＋β＝π时，S＝12，Smax＝2，
此时α＝π－β，
则3cos β－cos α＝3cos β－cos (π－β)
＝4cos β＝2，
所以cos β＝，
故BD2＝13－12cos β＝7，
所以BD＝，即对角线BD为.
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