周测卷(一) 集合、常用逻辑用语、不等式 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(一)
(集合、常用逻辑用语、不等式)
　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题p： x∈[－1，1]，x＋|x|<0的否定是(　　)
A． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
B． x∈[－1，1]，x＋|x|≥0
C． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|≥0
D． x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x＋|x|<0
解析：B　因为命题 x∈[－1，1]，x＋|x|<0，则其否定为 x∈[－1，1]，x＋|x|≥0.故选B.
2．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{a＋1，a－1，3}，若A∪B＝B，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：B　集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，集合B＝{a＋1，a－1，3}，
因为A∪B＝B，所以A B，
又a＋1>a－1，所以解得a＝0.故选B.
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|≥0}，那么A∩B＝(　　)
A．[－2，4) B．(－1，3]
C．[－2，－1] D．[－1，3]
解析：B　由题意可知，A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，
B＝{x|≥0}＝{x|－1所以A∩B＝{x|－14．(2024·山东聊城三模)“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C　若a<－1，且b<－1，根据不等式的加法和乘法法则可得a＋b<－2，且ab>1，即必要性成立；当a＝－3，b＝－，满足a＋b<－2，且ab>1，但是b＝－>－1，故充分性不成立，所以“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的必要不充分条件．故选C.
5．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3解析：D　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2由韦达定理得

代入ax2－bx＋c>0，得ax2＋ax－6a>0 x2＋x－6<0 －36．若命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，则实数x的取值范围为(　　)
A．[－1，4]
B．[0，]
C．[－1，0]∪[，4]
D．[－1，0)∪(，4]
解析：C　命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．
令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，
则即
解得
所以实数x的取值范围为[－1，0]∪[，4].故选C.
7．已知正实数a，b，则“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　取a＝，b＝，满足a＋2b≤2，
但a2＋4b2＝＋4×＝＋＝>2，
故“a＋2b≤2”推不出“a2＋4b2≤2”，
因为a2＋4b2≥2＝2·2ab＝4ab，当且仅当“a＝2b”时取等，
当a2＋4b2≤2时，a2＋4b2＋4ab≤2＋4ab≤2＋a2＋4b2≤4，
所以a2＋4b2＋4ab≤4，即(a＋2b)2≤4，因为a＋2b>0，
所以0故“a＋2b≤2”是“a2＋4b2≤2”的必要不充分条件．故选B.
8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<△x<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝{x|0A．1 B．2
C．1或2 D．2或3
解析：C　因为此数为小于5的正整数，所以A＝{x|0<△x<2}＝{x|0，解得≤△<3，所以“△”表示的数字是1或2，故选C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
9．已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若aab
C．若c>a>b>0，则<
D．若a>b>0，则a－>b－
解析：ABD　对于A，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，A正确；
对于B，因为a－b>0，两边同乘以－a得(－a)2>(－a)(－b)，即a2>ab，B正确；
对于C，因为c>a>b>0，所以0>0，
又a>b>0，两式相乘得>，C错误；
对于D，(a－)－(b－)＝(a－b)＋(－)，因为a>b>0，所以>，－>0，所以(a－b)＋(－)>0，即a－>b－，D正确．故选ABD.
10．已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且MNP，则(　　)
A．M∪P＝P B．N(P∩M)
C． RP RN D．M∩ RN＝
解析：ACD　因为MNP，
对于A，可知M∪P＝P，A正确；
对于B，因为P∩M＝M，所以P∩M为N的真子集，B错误；
对于C，可知 RP为 RN的真子集，C正确；
对于D，因为 RN为 RM的真子集，且M∩ RM＝ ，所以M∩ RN＝ ，D正确．故选ACD.
11．已知正实数a，b满足a2＋b2－(a＋b)＋ab＝1，则(　　)
A．a＋b的最大值为2
B．a＋b的最小值为
C．a2＋b2的最小值为2
D．a2＋b2的最大值为3
解析：AC　因为正实数a，b满足a2＋b2－(a＋b)＋ab＝1，
所以1<(a＋b)2－(a＋b)＝1＋ab≤1＋()2，
a＋b>0，解得因为a2＋b2－(a＋b)＋ab＝(a＋b)2－(a＋b)－＝1，
所以a2＋b2＝－(a＋b)2＋2(a＋b)＋2，
令t＝a＋b∈(，2]，则函数y＝－t2＋2t＋2在(，2]上单调递减，
所以a2＋b2＝－(a＋b)2＋2(a＋b)＋2∈[2，)，C正确，D错误．故选AC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设集合A＝{1，n，5}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若{1} (A∩B)且B A，则m＋n＝________.
解析：6　因为集合A＝{1，n，5}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，
若{1} (A∩B)，则1∈A且1∈B，可得1－4＋m＝0，解得m＝3，
即有B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，
又B A，所以n＝3，所以m＋n＝6.
13．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________.
解析：－　由题意得Δ＝0，即a2＋4b＝0，
所以f(x)＝－(x－)2，
由f(x)>c－1得c<1，
(x－)2<1－c －因此－＝m－4，＋＝m＋1，
所以2＝5，c＝－.
14．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，g(x)＝2x－a， x1∈[－1，1]， x2∈[－1，1]，使f(x2)＝g(x1)，则实数a的取值范围是____________.
解析：[－2，－1]　 x1∈[－1，1]， x2∈[－1，1]，使f(x2)＝g(x1)，即g(x)的值域是f(x)的子集．
由题易得g(x)∈[－2－a，2－a]，f(x)＝x2－2ax＋a2－1＝(x－a)2－1，x∈[－1，1].
①当a≤－1时，f(x)∈[a2＋2a，a2－2a]，
即a2＋2a≤－2－a，2－a≤a2－2a，解得a∈[－2，－1]；
②当－1即－1≤－2－a，2－a≤a2－2a，不等式组无解；
③当0即－1≤－2－a，2－a≤a2＋2a，不等式组无解；
④当a>1时，f(x)∈[a2－2a，a2＋2a]，
即a2－2a≤－2－a，2－a≤a2＋2a，不等式组无解．
综上所述，实数a的取值范围为[－2，－1].
四、解答题：本大题共1小题，共17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分17分)
(2024·广东模拟预测)已知集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①xz；③x＋y＋z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn＝{1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a＋b，b＋c，c＋a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”．
(1)试判断集合A＝{1，2，3，5，7，9}是否具有性质P，并说明理由．
(2)若集合B＝{3，4，a}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”．
(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”．
解析：(1)集合A＝{1，2，3，5，7，9}不具有性质P，理由如下：
(ⅰ)从集合A中任取三个元素x，y，z均为奇数时，x＋y＋z为奇数，不满足条件③.
(ⅱ)从集合A中任取三个元素x，y，z有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设y＝2，x则有z－x≥2，即z－x≥y，不满足条件②.
综上所述，可得集合A＝{1，2，3，5，7，9}不具有性质P.
(2)证明：由3＋4＋a是偶数，得实数a是奇数．
当a<3<4时，由a＋3>4，得1当3<4a，得4因为3＋4＋5＝12是偶数，所以集合B＝{3，4，5}，
令a＋b＝3，b＋c＝4，c＋a＝5，解得a＝2，b＝1，c＝3，
显然a，b，c∈S4＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以集合B是集合S4的“期待子集”，得证．
(3)证明：先证充分性．
当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a，b，c，使得a＋b，b＋c，c＋a均属于M，
不妨设a因为x＋y－z＝(a＋b)＋(a＋c)－(b＋c)＝2a>0，所以x＋y>z，即满足条件②，
因为x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，所以x＋y＋z为偶数，即满足条件③，
所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P.
再证必要性．
当集合M具有性质P，则存在x，y，z，同时满足①xz；③x＋y＋z为偶数．
令a＝－z，b＝－y，c＝－x，则由条件①得a由条件②得a＝－z＝>0，
由条件③得a，b，c均为整数，
因为z－c＝z＋x－＝>＝z－y>0，
所以0因为a＋b＝x，a＋c＝y，b＋c＝z，所以a＋b，b＋c，c＋a均属于M，
所以当集合M具有性质P时，集合M是集合Sn的“期待子集”．
综上所述，集合M是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合M具有性质P.