周测卷(八) 统计 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(八)
(统　　计)
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
1．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩(百分制，均为整数)分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组后，得到如下图的频率分布直方图，则(　　)
A．图中a的值为0.005
B．低于70分的考生人数约为40人
C．考生成绩的平均分约为73分
D．估计考生成绩的第80百分位数为82.5分
解析：ACD　对于A，由(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005，A正确；
对于B，低于70分的考生人数约为(0.005＋0.04)×10×100＝45，B错误；
对于C，考生成绩的平均分约为
0．005×10×55＋0.04×10×65＋0.03×10×75＋0.02×10×85＋0.005×10×95＝73，C正确；
对于D，成绩落在[50，80)内的频率为(0.005＋0.04＋0.03)×10＝0.75，
落在[50，90)内的频率为(0.005＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝0.95，
故考生成绩的第80百分位数落在[80，90)，设为m，
由0.75＋(m－80)×0.02＝0.8，解得m＝82.5，
故考生成绩的第80百分位数为82.5分，D正确．故选ACD.
2．下列命题中正确的是(　　)
A．在经验回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量减少0.1个单位
B．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越差
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1
D．在回归分析模型中，若相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好
解析：BC　对于A，根据回归直线方程中回归系数的含义可知：当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，A错误；
对于B，拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，残差平方和越大，拟合效果越差，则B正确；
对于C，根据相关系数的计算公式可知：两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，C正确；
对于D，根据回归分析的基本思想可知：相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，D错误．故选BC.
3．在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的10个人成绩分别为x1，x2，…，x10，乙班的10个人成绩分别为y1，y2，…，y10.假设这两组数据的中位数相同，方差也相同，则把这20个数据合并后(　　)
A．中位数一定不变
B．均值相同则方差变大
C．中位数可能改变
D．如果均值不同则方差变大
解析：AD　不妨设x1≤x2≤…≤x10，y1≤y2≤…≤y10，则x1，x2，…，x10的中位数为，y1，y2，…，y10的中位数为，因为＝，所以x5≤y5≤y6≤x6或y5≤x5≤x6≤y6，则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变．
设第一组数据的方差为s2，平均数为，第二组数据的方差为s2，平均数为，
合并后总数为20，平均数为，方差为s′2，
s′2＝{10[s2＋(－)2]＋10[s2＋(－)2]}
＝[s2＋(－)2]＋[s2＋(－)2]
＝s2＋(－)2＋(－)2≥s2.
如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大．故选AD.
4．某场市场营销机构为研究需要，统计市场营销两个指标记为变量x，y，变量x，y的数据统计情况如下表：
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn
其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为和，
且计算得相关系数r＝－0.8，经验回归方程为，则下列结论正确的为(　　)
A．点(，)必在回归直线上，即
B．变量x，y负线性相关
C．当x＝x1，则必有
D．
解析：ABD　对于A，因为样本中心点(，)必在回归直线上，所以，A正确；
对于B，因为相关系数r＝－0.8<0，所以变量x，y负相关，B正确；
对于C，因为点(x1，y1)不一定在回归直线上，所以当x＝x1，不一定有，C错误；
对于D，因为相关系数r＝－0.8<0，所以，D正确．故选ABD.
5．下列命题中正确的是(　　)
A．若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.7，则P(3B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为(m，2.8)，则实数m的值是－4
C．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，求得线性回归方程为z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
D．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为16
解析：ABC　对于A，若随机变量X服从正态分布X(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.7，
则P(X>4)＝1－P(X≤4)＝0.3，则P(34)＝0.2，A正确；
对于B，因为线性回归直线必过样本中心点，所以2.8＝0.3m－m，可得m＝－4，B正确；
对于C，由y＝cekx两边取对数可得ln y＝ln c＋kx，
令z＝ln y，求得线性回归方程为z＝0.3x＋4，所以k＝0.3，ln c＝4，则k＝0.3，c＝e4，C正确；
对于D，若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，D错误．故选ABC.
6．下列命题中正确的是(　　)
A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
B．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C．数据a1，a2，a3…，an的方差为M，则数据3a1＋1，3a2＋1，3a3＋1，…，3an＋1的标准差为3
D．在回归分析中，决定系数R2是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中R2＝0.85，则说明该模型的拟合效果较好
解析：ACD　对于A，对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，A正确；
对于B，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量减少0.6个单位，B错误；
对于C，数据a1，a2，a3…，an的方差为M，则数据3a1＋1，3a2＋1，3a3＋1，…，3an＋1的方差为9M，则标准差为3，C正确；
对于D，在回归分析中，决定系数R2越接近1，模型的拟合效果越好，R2＝0.85较为接近1，所以该模型的拟合效果较好，D正确．故选ACD.
二、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
7．(本小题满分15分)
台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美.2025年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；
模型②：.
(1)求出模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1)；
(2)比较模型①，②的决定系数R2的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？(精确到1)
线性回归方程的系数：
,.
模型的决定系数：.
参考数据：令t＝，则，且≈2.46，≈38.86，，；模型①中；模型②中.
解析：(1)令t＝，则模型②为，
由≈2.46，≈38.86，，,，，
所以模型②中y关于x的回归方程是.
(2)模型①中的决定系数
，
模型②的决定系数，
因为182.42>72.98，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好．
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有21.4－13.8>80，
所以x>()2≈19.2，
所以人工投入增量至少需要20人．
8．(本小题满分15分)
某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中Yi＝ln yi，
(1)依据散点图推断，y＝bx＋a与y＝ebx＋a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的回归方程．
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表（单位：人）：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女 8 12 20
男 14 6 20
合计 22 18 40
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：,，χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解析：(1)依据散点图可以判断，y＝ebx＋a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型．
(2)由Yi＝ln yi，得Y＝ln (ebx＋a)＝bx＋a，
依题意得，
，
所以Y＝－0.3x＋3.55，即y＝e-0.3x+3.55.
(3)零假设为H0：市民佩戴头盔与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到：
χ2＝≈3.636>2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.
9．(本小题满分15分)
为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单位：g/m3)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．(表中)
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
－1.40
(1)利用样本相关系数的知识，判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
(2)根据(1)的结果回答下列问题：
(ⅰ)建立y关于x的回归方程；
(ⅱ)样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W(单位：元)与x，y的关系为W＝100(y－ln x)(1≤x≤100)，根据(2)的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
附：线性回归方程的系数
,.
样本相关系数r＝.
解析：(1)因为y＝a＋bx的线性相关系数
，
y＝c＋的线性相关系数
，
因为|r1|<|r2|，
所以y＝c＋更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．
(2)(ⅰ)依题意，可得
，
，
所以，所以y关于x的回归方程为.
(ⅱ)当x＝20时，金属含量的预报值为
＝100－＝99.5 g/m3.
(3)因为W＝1000(y－ln x)＝1000（100－－ln x），
令f(x)＝100－－ln x，
则f′(x)＝－＝，
当1≤x<10时，f′(x)>0，f(x)在[1，10）上单调递增，
当10所以f(x)在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值．
故x为10时，开采成本最大．