周测卷(二) 函数的性质与基本初等函数 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷(二)
(函数的性质与基本初等函数)
　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知幂函数f(x)＝k·xα(k∈R，α∈R)的图象经过点(4，)，则k＋α＝(　　)
A． B．1
C． D．2
解析：A　因为函数f(x)为幂函数，
所以k＝1，则f(x)＝xα，
又因为f(x)的图象经过点(4，)，
所以4α＝，得α＝－，
所以k＋α＝1－＝.故选A.
2．函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是(　　)
A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，3)
C．(－∞，－3)
D．(－∞，3)
解析：B　由函数f(x)＝－(x＋3)0的解析式有意义，
则解得x<3且x≠－3，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).故选B.
3．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．[，2)
解析：C　因为f(x)在R上为增函数，
所以解得1所以实数a的取值范围为(1，]，故选C.
4．已知a＝log52，b＝lg 4，c＝2e-1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b解析：A　因为a＝log52lg ＝，所以a又因为3lg 2＝lg 23＝lg 8<1，3e-1>1，
则3lg 2<3e-1，即lg 2所以2lg 2＝lg 4<2e-1，即b所以a5．已知函数f(x)＝x3＋x，若x∈R，不等式f(2x)＋f(－2)>0恒成立，则正实数m的取值范围为(　　)
A．(3，4) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：B　因为f(x)＝x3＋x，其中x∈R，
则f′(x)＝3x2＋1>0，
所以函数f(x)在R上为增函数，
又因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
由f(2x)＋f(－2)>0可得
f(－2)>－f(2x)＝f(－2x)，
所以－2>－2x，
所以m>2·2x－(2x)2，
令t＝2x>0，因为y＝2t－t2＝－(t－)2＋2≤2，当且仅当t＝时，等号成立，
所以m>2.故选B.
6．大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5000 m，8000 m两地的大气压强分别为54 kPa，36 kPa.若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．295 m B．995 m
C．2085 m D．3025 m
解析：C　由题知54＝p0e-5000k，①
36＝p0e-8000k，②
①÷②得e3000k＝，
所以3000k＝ln ，③
当p＝80 kPa时，由80＝p0e－kh，④
②÷④得ekh-8000k＝，
所以k(h－8000)＝ln ，⑤
由⑤÷③，得＝＝＝＝≈－，
解得h≈2085 m．故选C.
7．已知函数f(x)＝若 x0∈R，使得f(x0)≤10m＋4m2成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－，－]
B．[－，0]
C．(－∞，－]∪[－，＋∞)
D．(－∞，－]∪[0，＋∞)
解析：C　因为函数y＝x2－3x在区间(－∞，]上单调递减，在区间(，3)上单调递增，
所以当x＝时，函数y＝x2－3x(x≤3)取得最小值－.
又因为函数y＝log3x在区间(3，＋∞)上单调递增，
所以当x>3时，log3x>1.
综上可得，函数f(x)＝的最小值为－.
因为 x0∈R，使得f(x0)≤10m＋4m2成立，
所以－≤10m＋4m2，解得m≤－或m≥－.故选C.
8．已知函数f(x)＝e－x，若关于x的方程2f(x)－ln (x＋m)＝0在(0，＋∞)上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，e2) B．(0，e2)
C．(e2，e5) D．(e2，＋∞)
解析：A　关于x的方程2e－x－ln (x＋m)＝0在(0，＋∞)上有解，等价于函数y＝ln (x＋m)与y＝2e－x的图象在(0，＋∞)上有交点．因为函数y＝ln (x＋m)的图象就是函数y＝ln x的图象向左或向右平移|m|个单位长度得到的，如图所示．
当y＝ln x向右平移(或没有平移)，即m≤0时，函数y＝ln (x＋m)与y＝2e－x的图象在(0，＋∞)上有交点，
当y＝ln x向左平移至y＝ln (x＋m)的图象过点(0，2)，与函数y＝2e－x没有交点，此时ln m＝2，解得m＝e2，
所以0所以实数m的取值范围为(－∞，e2).故选A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或者不选得0分．
9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝xf(x)
C．y＝f(x)＋f(－x) D．y＝f(x)＋x2
解析：ABC　因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
对于A，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以y＝f(|x|)为偶函数，故满足题意；
对于B，因为－xf(－x)＝xf(x)，所以y＝xf(x)为偶函数，故满足题意；
对于C，易得y＝f(x)＋f(－x)＝0为偶函数，故满足题意；
对于D，因为f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以y＝f(x)＋x2为非奇非偶函数，故不满足题意．故选ABC.
10．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)·f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝2，f(x＋1)为偶函数，则(　　)
A．f(3)＝2
B．f(x)为奇函数
C．f(2)＝0
D．f(k)＝0
解析：BCD　令x＝1，y＝0，则有f(1)·f(1)＝f2(1)－f2(0)，故f2(0)＝0，即f(0)＝0，
令x＝0，y＝x，则f(x)·f(－x)＝f2(0)－f2(x)，
即f(x)·[f(－x)＋f(x)]＝0恒成立，
故f(－x)＝－f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数，B正确；
则f(－1)＝－f(1)＝－2，
又f(x＋1)为偶函数，
故f(x＋1)＝f(－x＋1)，
则f(－1)＝f(3)＝－2，A错误；f(2)＝f(0)＝0，C正确；
又f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，故函数f(x)的周期为4，
f(4)＝f(0)＝0，则f(k)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝506×(2＋0－2＋0)＝0，D正确．故选BCD.
11．定义区间(α，β)的长度为β－α，记函数f(x)＝lg [ax－(1＋a2)x2](其中a>0)的定义域I的长度为L(a)，则下列结论正确的是(　　)
A．L(a)＝
B．L(a)的最大值为
C．L(a)在(0，＋∞)上单调递增
D．给定常数k∈(0，1)，当a∈[1－k，1＋k]时，L(a)的最小值为
解析：ABD　由ax－(1＋a2)x2>0，得0设0因为00，所以L(a1)同理可证，L(a)在[1，＋∞)上是减函数，所以L(a)在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，C错误；
L(1)＝为最大值，B正确；
因为k∈(0，1)，所以0<1－k<1，1＋k>1，L(a)在[1－k，1]上是增函数，在[1，1＋k]上是减函数，
L(a)的最小值为L(1－k)和L(1＋k)中较小者，
L(1－k)－L(1＋k)
＝
＝<0.
L(a)的最小值为L(1－k)＝，D正确．故选ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝log2(2－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(2x)的定义域为__________.
解析：[0，1)　由f(x)＝log2(2－x)值域为(－∞，1]，得log2(2－x)≤1，所以0<2－x≤2，解得0≤x<2，即f(x)的定义域为[0，2)，由0≤2x<2得0≤x<1，故f(2x)的定义域为[0，1).
13．求值：(log32＋log92)(log43＋log83)＋(log3)2＋ln －lg 100＝________.
解析：0　(log32＋log92)(log43＋log83)＋(log3)2＋ln －lg 100
＝(log32＋log32)(log23＋log23)＋＋－2
＝×log32·log23－
＝0.
14．f(x)在R上非严格递增，满足f(x＋1)＝f(x)＋1，g(x)＝若存在符合上述要求的函数f(x)及实数x0∈[4，＋∞)，满足g(x0＋4)＝g(x0)＋1，则实数a的取值范围是__________.
解析：(2，4)　因为f(x＋1)＝f(x)＋1，即f(x＋1)－f(x)＝1，
对 n∈N*，
则f(x＋n)＝[f(x＋n)－f(x＋n－1)]＋[f(x＋n－1)－f(x＋n－2)]＋…＋[f(x＋1)－f(x)]＋f(x)＝1＋1＋…＋1＋f(x)＝n＋f(x)，
故对 n∈N*，则f(x＋n)＝f(x)＋n，
因为g(x0＋4)＝g(x0)＋1，则有当4≤x0<8时，
则8≤x0＋4<12，可得f(x0＋4－a)＝f(x0－a)＋4，
又f(x0＋4－a)＝g(x0＋4)＝g(x0)＋1＝f(x0)＋1，
则f(x0)＝f(x0－a)＋3，若a＝3，符合题意；
例如f(x)＝k，x∈[k，k＋1)，k∈Z，取x0∈{4，5，6，7}，则2例如f(x)＝k，x∈(k，k＋1]，k∈Z，取x0∈{4，5，6，7}，则3故实数a的取值范围为(2，4).
当x0≥8时，则x0＋4≥12，可得f(x0＋4－a)＝f(x0－a)＋4＝f(x0－a)＋1，不成立．
综上所述，实数a的取值范围是(2，4).