周测卷（九）概率 含解析- 高考一轮总复习数学

周测卷（九）
（概　　率）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则E(4X＋1)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　随机变量X服从两点分布且P(X＝0)＝，
所以P(X＝1)＝1－＝，
所以E(X)＝0×＋1×＝，
所以E(4X＋1)＝4E(X)＋1＝4×＋1＝，故选D.
2．若事件M，N相互独立，P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　因为事件M，N相互独立，所以P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(M∩N)＝＋－×＝.故选D.
3．若x10＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a10(x－2)10，则a7＝(　　)
A．960 B．480
C．360 D．180
解析：A　因为x10＝[(x－2)＋2]10，所以其展开式的通项为Tk＋1＝C·(x－2)10-k·2k(k＝0，1，2，…，10).令10－k＝7，则k＝3，所以a7＝C×23＝960.故选A.
4．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜恰有2人选用的情形共有(　　)
A．72种 B．96种
C．144种 D．288种
解析：D　A菜恰有2人选用的情形共有C×4×4×C＝3×4×4×6＝288（种）.故选D.
5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由题意可知，当X>0时，X的可能取值为1，3，5，且X～B（5，），
所以P(X>0)＝P(X＝5)＋P(X＝3)＋P(X＝1)＝（）5＋C（）4×（）1＋C（）3×（）2＝.故选C.
6．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(A∩C)＝10，n(A∪D)＝60，则(　　)
A．A与B不互斥
B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥
D．A与C相互独立
解析：D　由n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，即n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，故A，B互斥，A错误；
由n(A∪D)＝n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，A，D互斥且对立，B错误；
又n(C)＝20，n(A∩C)＝10，则n(D∩C)＝10，C与D不互斥，C错误；
由P(A)＝＝，P(C)＝＝，
P(A∩C)＝＝，
所以P(A∩C)＝P(A)P(C)，即A与C相互独立，D正确．故选D.
7．某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，A1＝“所选学生来自甲班”，A2＝“所选学生来自乙班”，A3＝“所选学生来自丙班”．
由题可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，P(B|A3)＝ ，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝.故选D.
8．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则该棋手获胜的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题知P3＝＋×＝，P2＝，P1＝1，
因为Pn＝Pn－2＋Pn－1(3≤n≤8)，
故＝－，由P2－P1＝－，
所以Pn－Pn－1＝（－）n-1，n≥2，累加可得P8＝1＋（－）＋（－）2＋…＋（－）7＝＝，P10＝P8＝.故选B.
二、解答题：本大题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分15分）
某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
解析：(1)设A同学答对的题数为X，则随机变量X的所有可能取值为2，3.
则P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
设B同学答对的题数为Y，则随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3.
P(Y＝0)＝（）3＝，
P(Y＝1)＝C××（）2＝，
P(Y＝2)＝C×（）2×＝，
P(Y＝3)＝（）3＝.
所以A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率为
P(X＝2)P(Y＝0)＝×＝.
(2)由(1)知，E(X)＝2×＋3×＝，
E(Y)＝3×＝.
D(X)＝（2－）2×＋（3－）2×＝，
D(Y)＝3××＝.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)所以应该选择学生A.
10．（本小题满分15分）
为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表．
类别 乙 丙 丁
比赛的次数 60 60 50
甲获胜的次数 20 30 40
以上表中的频率作为概率，求解下列问题．
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛．
(ⅰ)求甲至少胜一场的概率；
(ⅱ)如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为X，求X的分布列与期望；
(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为p，那么以什么样的出场顺序才能使概率p最大，并求出p的最大值．
解析：(1)甲与乙比赛获胜的概率为p1＝＝；
甲与丙比赛获胜的概率为p2＝＝；
甲与丁比赛获胜的概率为p3＝＝.
(ⅰ)则甲至少胜一场的概率p＝1－（1－）×（1－）×（1－）＝.
(ⅱ)X的可能取值为0，2，4，6，
则P(X＝0)＝（1－）×（1－）×（1－）＝，
P(X＝2)＝×（1－）×（1－）＋（1－）××（1－）＋（1－）×（1－）×＝，
P(X＝4)＝××（1－）＋（1－）××＋×（1－）×＝，
P(X＝6)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝.
(2)若出场顺序为乙丙丁：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
若出场顺序为乙丁丙：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
若出场顺序为丙乙丁：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
若出场顺序为丙丁乙：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
若出场顺序为丁丙乙：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
若出场顺序为丁乙丙：p＝××（1－）＋（1－）××＝.
故出场顺序为乙丁丙或丙丁乙时，概率p最大，最大值为.
11．（本小题满分15分）
甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X).
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
解析：(1)由题可知，X的取值为－1，0，1，
P(X＝－1)＝（1－）×（1－）＝；
P(X＝0)＝×（1－）＋（1－）×＝；
P(X＝1)＝×＝.
故X的分布列为
X －1 0 1
P(X)
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝.
(2)由题可知，P1＝1，P2＝1，P3＝1－（）3＝，P4＝1－3×（）4＝.
经分析可得
若第n轮没有得1分，则Pn＝Pn－1；
若第n轮得1分，且第n－1轮没有得1分，则Pn＝Pn－2；
若第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分，则Pn＝Pn－3.
故Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3(n≥4)，
所以a＝，b＝，c＝.
因为Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3，
所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1＋Pn－2，
故Pn＋1－Pn＝－Pn＋Pn－1＋Pn－2
＝－（Pn－1＋Pn－2＋Pn－3）＋Pn－1＋Pn－2
＝－Pn－3<0，
所以Pn＋1P3>P4，
则P1＝P2>P3>P4>P5>…，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．