2025-2026学年上海建平中学高二上学期数学期中试卷（含答案）

建平中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．复数的虚部是 .
2．抛物线的准线方程为 .
3．复数，则 .
4．椭圆的长轴长为 .
5．直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 .
6．已知直线，则与的夹角大小是 .
7．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为 .
8．设，点在轴上，则的最小值为 .
9．若复数满足，则的最大值为 .
10．如图，与分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与交于点，弦与交于点，连接，若，则双曲线的离心率为 .
11．如图，是两个齿轮转动的示意图，已知左右两个齿轮的齿轮中心在同一水平线上，距离为4，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端．已知左齿轮中心到点距离为1、右齿轮中心到点距离为2．试问在履带带动齿轮逆时针转动过程中两点之间距离的最小值为 .
12．已知实数满足，则的取值范围为 .
二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．点与椭圆的位置关系为（ ）.
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定
14．已知复数满足，则满足条件的复数的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
15．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，己知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ）.
A．19 B．20
C．21 D．22
16．已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题：
命题①：曲线关于原点对称；
命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部．
则下列判断正确的是（ ）.
A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题
C．①为真命题②为真命题 D．①②均为假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
若复数，其中为虚数单位，为实数．
（1）当复数为纯虚数时，求实数的值：
（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知点，圆．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求的值．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感.已知（单位：弧度制），设栈道总长度为（单位：米）．
（1）求函数并写出其定义域；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）.
20．（本期满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线 由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合．
（1）直接写出椭圆和双曲线的离心率；
（2）已知直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的＂特征点＂，记的所有＂特征点＂的集合为．
（1）若，求；
（2）若，求证：函数的所有＂特征点＂在一条定直线上，并求；
（3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.D 15.B 16.A
15．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，己知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ）.
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【解析】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，
如图，分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，
由抛物线的准线方程为，再由抛物线定义可得
所以
即因此光线从点到点经过的总路程为20．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本期满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线 由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合．
（1）直接写出椭圆和双曲线的离心率；
（2）已知直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值．
【答案】（1） （2）直线方程为； （3）
【解析】（1）因为椭圆，所以
所以离心率
双曲线，所以，所以离心率
（2）设，易知
因为，所以，即，所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，则，
所以成立；
当直线斜率存在时，易知交点必定在直线两侧，
即左侧为与椭圆的交点，右侧为直线与双曲线的交点，
易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段）之间时，，
此时，所以不可能，舍去；
因为双曲线的渐近线方程为
所以直线与双曲线没有横坐标大于2的交点，
即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；
同理，当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去，
综上所述，直线方程为；
（3）设直线的方程为，），
易知，
因为，所以
即．
因为
易知均为直线与椭圆的交点，
联立，消去并整理得
由韦达定理得,此时
，
令，
此时
因为在时成立，所以单调递增且，
所以递减，则当时，取得最大值，最大值为，
又．则的最大值为．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的＂特征点＂，记的所有＂特征点＂的集合为．
（1）若，求；
（2）若，求证：函数的所有＂特征点＂在一条定直线上；
（3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）假设存在＂特征点＂，则存在两条互相垂直的切线，
设为和处的切线，因为，所以，
所以不存在＂特征点＂，所以．
（2）证明：设＂特征点＂是在和处的切线的交点，
因为，所以，
所以在和处的切线方程为，
联立，解得，即,
因为两条切线相互垂直，所以，所以，
所以的所有＂特征点＂在一条定直线上．
（3）因为，
所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是＂特征点＂，
先证明：对任意的实数，若图象上的点是＂特征点＂，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点不是切点，
则存在切线，它与函数图象交于点，
所以，化简得，
因为，所以，同理可得，
所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点，
假设处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由上可知，所以，
，
因为，所以，
即，
设，则，即
由题意可知图象上的点都不是＂特征点＂，即不存在这样的点，
所以方程对无解，
设，其对称轴为
所以当时，取最小值，
要使得无解，只需，解得，
所以实数的取值范围．