2025-2026学年上海建平中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

建平中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1.用分数指数幂表示：______．
2.函数的定义域为______．
3.已知实数、，“且”的否定是______．
4.函数图像的对称中心为______．
5.已知集合，，则______．
6.不等式的解集是______．
7.已知，，用表示为______．
8.已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为______．
9.函数的图象恒过定点______．
10.已知，写出不等式等号成立的所有条件______．
11.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．”根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了，则的值大约为（参考数据:）______．
12.已知正数满足，则的最大值是______．
二、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
13.若且，将指数式转化为对数式为（ ）
A. B. C. D.
14.如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图像，已知分别取四个值，则与曲线相应的依次为（ ）.
A.
B.
C.
D.
15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.至到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了持续2000多年的数学史上的第大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割.下列选项中，不可能成立的是（ ）.
A.没有最大元素，有一个最小元素
B.有一个最大元素，有一个最小元素
C.没有最大元素，也没有最小元素
D.有一个最大元素，没有最小元素
16.设集合
其中，下列说法正确的是（ ）.
A.存在不是的子集；存在，使得是的子集；
B.存在不是的子集；对任意，不是的子集；
C.对任意不是的子集；对任意，不是的子集；
D.对任意是的子集；存在，使得是的子集；
三、解答题：本题共5小题，共52分.
17.（本题6分）已知都是正实数，证明：
18.（本题共7分，第一小题3分，第二小题4分）
已知集合，集合，命题，命题．
（1）当实数为何值时，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.（本题7分）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，占地面积为20平方米．现需要对母婴室三面外墙进行装修．其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元；外墙两个侧面普通装修即可，因此外墙侧面每平方米造价600元，母婴室墙高3米．若游乐场母婴室正面长设为米，该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元），请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？
20.（本题共14分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）
已知幂函数在上为严格增函数．
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围；
（3）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．
21.（本题共18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可调和集合”．
（1）判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）；
（2）求证：集合，其中不是“可调和集合”；
（3）若集合，其中是“可调和集合”．
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．”根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了，则的值大约为（参考数据:）______．
【答案】
【解析】
则
12.已知正数满足，则的最大值是______．
【答案】
【解析】因为正数满足，
则,
令，则,
则
当且仅当时取等号．故答案为：．
二、选择题
13.C 14.A 15.B 16.D
15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.至到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了持续2000多年的数学史上的第大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割.下列选项中，不可能成立的是（ ）.
A.没有最大元素，有一个最小元素
B.有一个最大元素，有一个最小元素
C.没有最大元素，也没有最小元素
D.有一个最大元素，没有最小元素
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若
则没有最大元素，有一个最小元素0，故正确；
对于有一个最大元素，有一个最小元素，
设的最大元素为的最小元素为，有，不能满足错误；
对于，若；
则没有最大元素，也没有最小元素，故正确；
对于，若；
有一个最大元素，没有最小元素，故正确；故选：B．
三、解答题
17.证明略
18.（1） （2）
19.正面长4米，侧面长5米，元
20.（本题共14分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）
已知幂函数在上为严格增函数．
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围；
（3）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意得：，且，
解得（舍去）或，所以；
（2）不等式即：有五个整数解，
令，因为该函数开口向上，对称轴为，
所以解集内的整数为，
由二次函数的性质可知：只需解得，
故的取值范围是；
（3）可化为：恒成立，
时，，显然不恒成立；
时，要使该二次不等式恒成立，只需解得，
即所求的范围是．
21．【答案】（1）都不是 （2）证明略 （3）①证明略，②7