2025-2026学年上海交大附中高二上学期数学期中试卷（含答案）

交大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知，不等式的解为 .
2. 已知数列是等差数列，且，，则其前7项和 .
3. 已知虚数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，且=2，则实数的值为 .
4. 函数的单调递减区间是 .
5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 .
6. 直线的倾斜角的大小为 .
7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 .
8. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 .
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为 .
10. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围 .
11. 已知实数，满足，则的取值范围是 .
12． 已知直线与椭圆，交于点A、C，设B(0,b) 为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点则椭圆的方程为 .
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13. 已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
14. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）.
A．4 B．3
C． D．
15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）.
A． B． C． D．
16. 已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
① 任意椭圆都是“自稳定曲线”；② 存在双曲线是“自稳定曲线”，则（ ）.
A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）.
17．（本题满分14分, 第1小题6分，第2小题8分）
已知数列，其前项和为.数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项和.
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点.
（1）求证：FD//平面ABC
（2）求证：AF⊥平面EDB
19、（本题满分14分，第1小题6，第2小题8）
已知函数的最小正周期为π．
(1)求的单调递减区间；
(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设A,B是轨迹上异于原点的两个不同点，若以AB为直径的圆恰过O点，证明直线AB恒过定点, 并求出该定点坐标；
（3）设A,B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标.
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆G的方程；
（2）求动点P的轨迹方程；
（3）过P点作椭圆G的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
交附2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知，不等式的解为 .
答案：
2. 已知数列是等差数列，且，，则其前7项和 .
答案：77
3. 已知虚数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，且=2，则实数的值为 .
答案：4
4. 函数的单调递减区间是 .
答案：和；和
5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 .
答案：
6. 直线的倾斜角的大小为 .
答案：
7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 .
答案：
8. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 .
答案：①②③
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为 .
答案：
【解析】而，得
代入得：，即，不妨，则，
故，则，因此.
10. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围 .
答案：
11. 已知实数，满足，则的取值范围是 .
答案：
【解析】因为实数，满足，
当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分；
当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分；
当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分；
当，时，方程为，图象不存在，
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是，
令，即直线与渐近线平行，
当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，
联立方程组，
可得，
当直线与椭圆相切时，则有，解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，
当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，
此时，则，
综上可得，的取值范围为，所以的取值范围为，
即的取值范围是．故答案为：
12． 已知直线与椭圆，交于点A、C，设B(0,b) 为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点则椭圆的方程为 .
答案：，利用点差法，结合AB中点在直线上，计算会简单
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13. 已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
答案：C
14. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）.
A．4 B．3 C． D．
答案：B
15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）.
A． B． C． D．
答案：D
【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，由正弦定理得：
，
所以，故选：D.
16. 已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
① 任意椭圆都是“自稳定曲线”；② 存在双曲线是“自稳定曲线”，则（ ）.
A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题
答案：B
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）.
17．（本题满分14分, 第1小题6分，第2小题8分）
已知数列，其前项和为.数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）当时，.
又满足，所以.
由题意
，经检验也满足，所以.
（2），，
，①
②.
①-②得
，
所以.
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点.
（1）求证：FD//平面ABC
（2）求证：AF⊥平面EDB
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】(1) 作AB的中点H，连接FH与CH
因为F，H分别为BE与AB的中点，所以
因为EA，CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a,
所以所以，
所以四边形是平行四边形
因为，且是平面ABC内的直线，是平面ABC外的直线，
所以平面ABC
(2) 因为是等边三角形，所以
又因为垂直于平面，且，所以，
因为同时垂直于平面中的两条相交直线；
所以垂直于平面；
又因为，所以垂直于平面；又因为，所以
又因为为等腰三角形，且为中点，所以；
因为同时垂直于平面中的两条相交直线，所以垂直于平面.
19、（本题满分14分，第1小题6，第2小题8）
已知函数的最小正周期为π．
（1）求的单调递减区间；
（2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），． （2）
【解析】（1）因为的最小正周期为，所以，所以．
令，，得，，
故的单调递减区间为，．
（2）由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得函数，再将所得图象向左平移个单位长度，
得到函数，
令，
令，，则，
因为，所以当时，取得最大值，
所以，解得或，故实数m的取值范围为．
20、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设A,B是轨迹上异于原点的两个不同点，若以AB为直径的圆恰过O点，证明直线AB恒过定点, 并求出该定点坐标；
（3）设A,B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1） （2）证明见解析，过定点. （3）证明见解析，过定点
【解析】（1）；
（2）【解法1】易见直线斜率都存在.
因为以为直径的圆恰过点，所以
不妨设直线：，则直线：。
、
同理，
直线的一个法向量为
直线的为，即
直线过定点.
【解法2】由于直线不垂直于轴，可设直线：。
，此方程应有二相异实根，即，
韦达定理，于是
，
即直线的方程为直线过定点.
3、显然直线不垂直于轴，轴，可设直线：。
则的坐标满足：，
此方程应有二相异实根，即，韦达定理，
此方程的解的几何意义是的斜率，依题意，
，
整理得直线：，
过定点就是要使得。
所以直线恒过定点，该定点的坐标为。
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆G的方程；
（2）求动点P的轨迹方程；
（3）过P点作椭圆G的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1） （2） （3）是，
【解析】（1）因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，，
由椭圆的性质得，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）设，而关于原点对称，则，
可得，，
因为，所以，解得，
可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
而，，
因为，所以，
解得，则，
因为在椭圆上，所以其坐标满足，则，
化简得，两式相加可得，即.
（3）如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为，
联立方程组，得到，
因为直线与椭圆相切，所以，
可得，
化简得，
设过的两条切线的斜率分别为，
因为的轨迹方程为，所以解得，
由韦达定理得.