苏科版数学九年级下册第五章5.4 二次函数与一元二次方程 课时提优（含答案）

苏科版数学九年级下册第五章5.4二次函数与一元二次方程
课时提优
一、单选题（本大题共11小题，共33分）
1．[2024四川成都·中考真题，3分]如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
2．[2025北京·期中，3分]已知二次函数（m为常数），则该二次函数的图象与轴（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定公共点的个数
3．[2025福建福州·期中，3分]二次函数的图象与轴交点的情况是（ ）
A．与的值有关 B．没有公共点 C．有两个公共点 D．有一个公共点
4．[2025北京·期中，3分]二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 1 2 …
y … c 0 m …
给出下面三个结论：
①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．[2025安徽淮南·期中，3分]已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．[2025安徽亳州·期中，3分]已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．[2025天津滨海新·期中，3分]在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论：
①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；
②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；
③此次训练实心球离地面最大高为2.25m．
其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．[2025天津西青·期中，3分]已知抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两个根分别是，，且，则有．其中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．[2025湖南明德·期中，3分]抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
…… 0 1 2 3 ……
…… 1 1 ……
则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10．[2024天津·中考真题，3分]已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．[2025北京八中·期中，3分]二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（ ）个
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共9小题，共27分）
12．[2024福建福州·期末，3分]如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．

13．[2025广东潮州·期中，3分]已知抛物线，则它与x轴的交点坐标是 ．
14．[2025天津西青·期中，3分]已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．[2025北京大兴·期中，3分]已知抛物线经过不同的两点，且，则b的值为 ．
16．[2025新疆喀什地区·期中，3分]已知二次函数（） 的图象如图所示，则下列结论中正确的有 （填序号）
①，②，③，④，⑤方程的两根和为正数
17．[2025黑龙江大庆·期中，3分]已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 .
18．[2025安徽合肥·期中，3分]若二次函数的图象经过，直线经过，两点．
（1） ；
（2）当时，直线与的图象只有一个交点，则的取值范围 ．
19．[2025安徽安庆·期中，3分]关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
20．[2025安徽淮南·期中，3分]将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，求的值．
三、解答题（本大题共6小题，共40分）
21．[2025新疆喀什地区·期中，5分]已知抛物线的顶点为，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求出这条抛物线与x轴的交点的坐标
22．[2025北京市育才学校·期中，7分]已知二次函数．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
23．[2025北京人大附中·期中，5分]已知二次函数．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
24．[2025福建南平一中·期中，8分]如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使的面积为10，求点P的坐标．
25．[2025安徽安庆·期中，7分]如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点．
（1）求的长；
（2）求的面积．
26．[2025北京朝阳·期中，8分]在平面直角坐标系中，抛物线（）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式；
（3）若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【分析】结合二次函数图象与性质，根据条件与图象，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图象可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图象开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选D．
2．【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，令，则，再求出，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：令，则，
∵，
∴该二次函数的图象与轴有两个公共点，
故选A．
3．【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点个数由判别式决定：时有两个交点，时有一个交点，时没有交点．
先令，得到，然后判断符号即可．
【详解】解：当时，
则，
∵ ，
∴ 恒成立，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故图象与x轴有两个公共点，
故选C．
4．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：，
∵，
∴二次函数图象与y轴正半轴相交，
∵当时，；当时，，
∴二次函数的对称轴为，
∵二次函数图象过点，
∴函数的大致图象为：
∴二次函数图象开口向下，
∴，
故结论①错误，不符合题意；
∵二次函数图象过点，开口向下，
∴当时，，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∵二次函数的对称轴为，函数图象过点，
∴二次函数过x轴的另一个交点为，
∴的两个根分别为，
故结论③正确，符合题意，
∴正确的结论为②③，
故选C．
5．【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，
故选D．
6．【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，并结合系数和图象正确判断各结论．
先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断．
【详解】解：根据函数图象，得，，对称轴在轴的右侧，即，则，与轴交于两点．
①，正确；
②当或时，函数y的值都等于0，正确；
③当时，，故错误；
④图象与有两个不同交点，则方程有两个不同的实数根，则，即，故错误；
正确结论的有2个，
故选B．
7．【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确；
当时，，解得：或；
∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确；
∵，
∴当时，有最大值为：；故③错误；
故选B．
8．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握知识点是解题的关键．
根据对称轴和点可得抛物线经过点，并推导出．结合可得，再逐项分析判断即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，
∴即，
∵抛物线过点，
∴，
将代入，得
，
∴．
∵，
∴，即，故③正确．
∵，
∴，
∵，
∴，由此①是错误的，
，故②错误．
∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点(2，0)，其对称轴是直线，
∴抛物线过点和，且，开口向下，顶点在处，．方程即，
∵在和时，，顶点，
∴方程有两个根，，且时，有，故④正确．
∴正确结论有③和④，共2个．
故选C．
9．【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据，利用二次函数的对称性、开口方向及根的存在性判断各结论即可．
【详解】解：∵当时，，且中时，
∴，故②正确；
∵当和时，，且函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，故③正确；
∵对称轴为直线，且值随增大先减后增（从到，从减至；从到，从增至），
∴抛物线开口向上，即，故①正确；
∵当时，时，
∴方程 在内有一根，即；
∵当时，时，
∴在内有一根，即，故④正确；
因此，所有结论正确；
故选D．
10．【答案】D
【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
11．【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的对称性、二次函数的最值是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据图象利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③正确；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，可得当时，，即可判断②正确；根据抛物线的对称性可知点在抛物线上，由抛物线开口向下，可得时，，即可判断④正确，综上即可得答案．
【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标为，
∵二次函数的对称轴是，
∴，
∴，故①正确；
∵最大值为，
∴，
∴，即，故③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，故②正确；
∵点在此抛物线上，
∴点在抛物线上，
∵抛物线开口向下，
∴时，，
∴关于x的不等式的解集是，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④，共个．
故选D．
12．【答案】
【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
设的另一根为x，
，
∴．
13．【答案】
【分析】由于抛物线与轴的交点的纵坐标为0，所以把代入函数的解析式中即可求解．
【详解】解∶抛物线，
当时，，
，
与轴的交点坐标是．
故答穼为∶．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是把握与x轴的交点坐标的特点才能很好解决问题．
14．【答案】且
【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围，解题的关键是掌握二次函数与x轴有交点得判别式大于等于零，且二次项系数不为零．
根据二次函数定义二次项系数不为0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴，
解得：.
15．【答案】2
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意可知，m和n是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可知，结合和，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过不同的两点，
∴m和n是方程的两个根，
∴，
又∵，
∴，
即.
16．【答案】①③④⑤
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：根据抛物线开口向上可得，，
故①正确，符合题意；
根据对称轴位于轴的右侧，
∴异号，
∴，
故②错误，不符合题意；
③根据抛物线交轴于负半轴，
∴，
故③正确，符合题意；
④根据抛物线与轴有两个交点得，
，
故④正确，符合题意；
⑤方程的两根为抛物线与轴交点的横坐标，
∴两根之和为，
故⑤正确，符合题意；
综上，正确选项为：①③④⑤.
17．【答案】
【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m可得m的值，然后再解可得解.
【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x2+2x+m，代入，得
-32+2×3+m=0，
解得m=3，
把m=-3代入一元二次方程，得
，
解得x1=3，x2=-1；
18．【答案】；或
【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合．
（1）将代入即可求解；
（2）结合图象分别求出直线经过，两点时，经过，两点时，经过，两点时，n的值即可解答．
【详解】解：（1）将代入得：，
解得：.
（2）由（1）得，二次函数解析式为，
令，则，二次函数与y轴交点坐标为，
令，则，
当直线经过，两点时，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得：，
故此时直线的解析式为，
令，则，
即，，此时，直线与的图象有两个交点，
当直线经过，两点时，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得：，
故此时直线的解析式为，
令，则，
即，，此时，直线与的图象只有一个交点，
∵，
∴顶点坐标为，
根据图象可得，当直线经过，两点时，直线与的图象只有一个交点，
此时直线的解析式为，
故，；
综上，根据图象可得：当，直线与的图象只有一个交点时，或，
19．【答案】且
【分析】关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-1）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac＞0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得k＞- 且k≠2．
故答案是：k＞-且k≠2．
20．【答案】或
【分析】分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得：，，
∴抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
∴，解得：；
当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解，
整理得：，
∴，
解得，
∴的值为或．
21．【答案】（1）
（2）、
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式；
（2）当时，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
即，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，即，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，．
22．【答案】（1）顶点坐标
（2）与x轴的交点坐标为、
（3）或
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
（1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标；
（2）解方程可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标；
（2）解：当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为；
（3）解：二次函数的函数图象如图所示：
结合函数图象得或时，．
23．【答案】（1）见详解；（2）．
【分析】（1）先计算对应一元二次方程的根的判别式的值，然后依此进行判断即可；
（2）先把m看成常数，解出对应一元二次方程的解，再根据该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数列出不等式，求出m的取值范围，再把这个范围的整数解写出即可.
【详解】（1）由题意，得 △=，
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
（2）∵ ，
∴ ，．
∵该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数，
∴ ，
即．
∵ m取最小整数；
∴．
24．【答案】（1）；
（2）或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，得到，设，则面积，解得，分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得：，
∴ 抛物线解析式为；
（2）解：令，得，
解得：，
∴，
∴，
设，
∴面积，
解得： ，
当时，，
解得：或，
当时，，方程无实根，
∴或．
25．【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数图象与轴交点坐标求法、平面直角坐标系中三角形面积求法等知识，熟记二次函数相关问题解法是解决问题的关键．
（1）根据二次函数图象与轴交点坐标求法求解即可得到答案；
（2）根据平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在二次函数中，
当时，，
即，
则，
解得或，
∴，，
∴；
（2）解：在二次函数中，
当时，则，
∴点，即，
∴．
26．【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）根据对称轴的公式，进行计算即可；
（2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案；
（3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大，
∴
将代入二次函数中，
得，
解得，
二次函数表达式为．
（3）解：把代入中，得，
将代入中，
得，
解得，
，
令，
解得，
点在点的下方，
的取值范围是．
点的坐标可分别表示为，，
．
，对称轴为直线，
当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是．
综上所述，的取值范围是．
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