人教版九年级数学上册试题 24.4《弧长和扇形面积》（含详解）

24.4《弧长和扇形面积》
题型一：弧长公式的计算
1．如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（ ）

A．1 B．2 C． D．
题型二：扇形面积公式
4．如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
5．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A． B． C． D．
6．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型三：圆锥的计算
7．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
8．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
10．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
题型五：求图像旋转后扫过的面积问题
13．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则边在旋转过程中扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．在中，已知．如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）

A． B． C． D．
15．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型六：求弓形面积
16．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
17．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
18．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：阴影面积的计算
19．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
21．如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：弧长和 扇形面积综合
22．如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，且，的半径为4，求阴影部分的面积．
23．如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧．
(1)求的半径；
(2)当时，求的长度；
(3)如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积．
24．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
参考答案
题型一：弧长公式的计算
1．B
【详解】解：连接
∵，
∴是等边三角形
∴
∵C为的中点，
∴
∴
∴的长
故选：B．
2．C
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意：，
解得，
∴扇形的弧长，
故选：C．
3．C
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
扇形的面积是，
故选：C．
题型二：扇形面积公式
4．D
【详解】解：，，
，
，
橡胶部分扫过的图形面积
．
故选：D．
5．C
【详解】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：．
故选：C．
6．B
【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是：
，
故选：B
题型三：圆锥的计算
7．C
【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米，
∴圆锥的侧面积为平方厘米，
故选：．
8．B
【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得，
解得，
即围成的圆锥的底面圆的半径为．
故选：B．
9．D
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故选：D．
题型四：求圆周侧面展开后的圆心角或者最短路径问题
10．C
【详解】解：设圆锥的母线长为，
∵
∴
∴
解得：
故选：C．
11．A
【详解】∵圆锥的底面周长为2π
∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图
∴∠BAD=90゜
∵D为AC的中点
∴
在Rt△BAD中，由勾股定理得
即最短路线长为
故选：A
12．B
【详解】解：∵底面半径是，母线长为，
∴，
∴侧面扇形圆心角为：，
∴，
∵为母线中点，
∴，
由两点间线段距离最短得，
，
故选：B．
题型五：求图像旋转后扫过的面积问题
13．B
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
∴边在旋转过程中扫过的面积为，
故选：B．
14．B
【详解】解：，，，
，，
图中阴影部分面积
，
故选：B．

15．A
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到，
∴，
∴点B′、C、A共线，
∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
．
故选：A．
题型六：求弓形面积
16．B
【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴∠，
∴．
故选：B．
17．A
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
18．B
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
题型七：阴影面积的计算
19．A
【详解】解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，E为的中点，
∴，是等边三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
20．A
【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G，
连接，，则．
过点E作，交于点H．
四边形是矩形，
，．
由题意可得，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
在和中，
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
，
，
，
故选：A．
21．C
【详解】如图，连接．
，．
是等边三角形．
，
，
，
．
．
．
四边形是平行四边形，
故选：C
题型八：弧长和 扇形面积综合
22．（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，是的弦，
∴，
即.
又∵，
∴.
∵，
∴，
即.
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的切线，点B为切点，
∴.
在中，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴是正三角形，
∴
，
答：阴影部分的面积为．
23．（1）∵AB是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为4．
（2）连接，，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
24．（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．