人教版九年级数学上册试题 第21章《一元二次方程》单元复习题（含详解）

第21章《一元二次方程》单元复习题
一、单选题
1.已知方程，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0 B． C．2 D．8
2.已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）
①，，，是该四元方程的一组解；
②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解；
③若，则该四元方程有15组解；
④若，则该四元方程有504组解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
4.某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
5.已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则；
②，则x需要满足的条件是；
③，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.已知两个多项式、，（其中x为实数），
①若，则；
②存在实数x，使得；
③已知，则的值为1562；
④当时，若，则的值为．
以上结论中正确的个数有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
8.如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当点和点距离是时， ．
（2）当 ，为直角三角形（）．
9.已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
10.若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个．
11.如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题
12.用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法) (2) (配方法)
(3) (公式法) (4) (因式分解法)
（5）（公式法） （6）（配方法）
（7）（因式分解法）
13.阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
14.如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．
(1)当点落到边上时，求的值；
(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值．
15.关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是，，且，求．
16.已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
17.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；
(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
18.电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值．
19.如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．

(1)当时，四边形面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
20.如图，在 ABC中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
21.已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数．
(1)求k的取值范围；
(2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由．
22.阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
23.阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值．
解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，
∴，， 则．
材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值．
解：依题意得：a与b为方程的两根，
∴，，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
24.阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法
.配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）．
诸根据阅读材料解决下列问题：
(1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）；
(2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值；
①． ②；
(3)已知，求的值．
25.已知关于x的方程有两个实数根，其中．
(1)若，求的值；
(2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值；
(3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积．
一、单选题
1.A
【详解】解：①当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），；
②当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），，
③当时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：
．
故选：A．
2.B
【详解】解：把，，，，代入方程，得：，
方程的左边等于右边；故①正确；
设四个连续的奇数为，代入方程得：
方程左边等于，
方程右边
左边不等于右边；故②错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，方程成立，
且m，n，p，q为正整数时：
当时，，为别为：或或或或共5组方程的解；
当时，，为别为：或或或共4组方程的解；
当时，，为别为：或或共3组方程的解；
当时，，为别为：或共2组方程的解；
当时，，为别为：共1组方程的解；
综上：当时，共有组方程的解；故③正确；
由③可知：当时，方程成立，
∵，
∴，
∴，
∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组，
又∵，
∴这一组数不是方程的解，
∴共有503组解；故④错误；
综上：正确的是①③，共2个；
故选B．
3.B
【详解】解：①，
整理得：，
∴，
∴或，
∴或，
故①正确，符合题意；
②，
∵方程的解为、，
∴，，
∴，
∴，则
当时，，
当时，，
∴的值为或，
故②不正确，不符合题意；
③∵，方程有两个不相等的实数解，
∴，
当时，整理得：，
∴，解得：；
当时，整理得：，
∴，解得：；
∴，
故③不正确，不符合题意；
综上：正确的有①，共1个；
故选：B．
4.A
【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得：
，
解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元
设每套驱蚊器降价a元，由题意得：
，
解得： , （舍去），
故选：A.
5.C
【详解】解：∵，，
∴①当时，则，解得：，故①错误；
②当，则，
当时，，解得：；
当，，解得：；
当，，解得：（舍去）；
综上所述：，故②正确；
③若，则或，
当时，，，无解；
当时，，，无解；
∴，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵，
若为整数，则是整数，
∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故选：C
6.A
【详解】解：将代入可得，，即
解得或，即或，①错误；
由可得，
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，②正确；
两式相加可得：
即
令，则，解得，
即或，③错误；
由可得
正整数解为：
，总共有个，④错误
正确的个数为1，
故选：A
7.D
【详解】解：①∵、，
∴，
化简得：，
解得：，
故①错误；
②∵、，
∴，
∴不存在实数x，使得，
故②错误；
③∵
即
令得：①，
令得：②，
由①-②得：，
∴，
故③正确；
④∵，
即，
化简得：
∵
∴两边除以x并整理得：，
∴，
∴
故④错误．
正确的为③，共1个，
故选：D．
二、填空题
8. 或 或或
【详解】解：（1）如图1，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
如图2，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
综上：或．
（2）如图，
点P，Q，D为顶点的三角形是直角三角形且．
当，
，，
由（1）可知，
，
，
解得：或；
如图，当时，
，，
，
解得：，
综上所述，或或时，为直角三角形．
9.
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
10.3
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，
∴且，
解得且，
∴方程的根为，
根据根与系数的关系可得，，且为正整数，
∴，
∵为完全平方数且为正整数，
∴或或，
解得或6或13，
即满足条件的共有3个，
故答案为：3．
11.
【详解】解：∵关于 的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
解分式方程得，，
∵关于的分式方程有正整数解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴符合条件的整数有，
∴为，
故答案为：．
三、解答题
12.（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
（5），
∴，
，
，．
（6）方程变形得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，；
（7）
解得：，．
13.（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
14.（1）当点落到边上时，
则点与点重合，
∴，
∴；
（2）当时，如图，
，
当时，如图，
，
当时，如图，
，
综上可知：；
（3）如图，，
（）时，即，
整理得：，
解得：（舍去），，
（），即，
无解，
如图，当，延长交于点，
（）时，即，
解得：，，
以上解均不符合题意，
（），即，
整理得：，
解得：（舍去），，
综上可知：或．
15.（1）证明：化简一元二次方程得，，
，
a，b，c是的三条边，
，，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是，，
，，
，
，
即，
，
，
，
化简得，
，
，
．
16.（1）证明：∵，
∴，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，
∵，
∴方程都有两个不相等的实数根，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴也为整数，
∵m为整数，
∴或，
∴整数m所有可能的值为，，，．
17.（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
∴当时，，
∴当时，写出与的关系式为：；
（2）由题意得，销售量为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为，
综上所述，当时，取最大值为，
答：当为第天时日销售额最大，最大为元；
（3）当时，
，
当时，取最大值为：，
∵，
∴时不可能获得较大利润．
当时，，
当时，取最大值为，得：，
当时，
解得：或，
∴当时，，
∴获得较大利润天数为天，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴的最小值为元．
18.（1）由题意得：，
整理得：．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴．
（2）由题意，得：，
解之得：， ，
∵，
∴．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为：．
∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当时，．
∴，
解得．
答：m的值为5．
19.（1）如图，四边形是矩形，
，，．
，，
．
．
∴四边形面积是，
故答案为：4；
（2）如图1，作于，

，
，
四边形是矩形，
，．
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：或（舍去）．
如图2，作于，

．
，
四边形是矩形，
，．
，
在中，由勾股定理，得
，
解得：或（舍去），
综上所述：；
（3）如图3，当时，作于，

，
，
四边形是矩形，
，．
，
．．
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
如图4，当时，作于，

，．
，
四边形是矩形，
．，
，
．
，
解得：；
如图5，当时，

，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得，（舍去）．
综上所述：或或或．
20.（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）∵，，
，
∴，
整理，得，
解得，
当运动时间为或运动时间为时，的长度等于．
（3）∵，，
，
∴，
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的．
21.（1）解：解分式方程①得．
方程①的根为非负数，
，解得且．
又一元二次方程中，，所以．
综上所述可知且，；
（2）解：成立．理由如下：
是负整数，且，2，
．
方程②有两个实数根，，
．
化简，得，
将代入，得，
，③，
△④，
把③代入④得，
整理，可得．
22.（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
23.（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，
故答案为：3；．
（2）解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
．
（3）解：实数s，t满足，且，
s，t是一元二次方程的两个实数根，
．
，
．
24.（1）解：；
；
，
故答案为：；；；
（2）解：由得：
，，
①根据完全平方公式可得；
②；
（3）解：，
可得，
解得，
．
25.（1）当时，方程为，
，
，
即；
（2）将代入可得，
又，
故，
，
即，，
，
，
，
；
（3）∵直角三角形两直角边为整数，
为平方数，
不妨令(为正整数)，
，
，
，
当①∴，
解得（不合题意舍去）；
当②，
解得，
∴方程，
，则斜边为13，
即；
当③，
解得，
∴方程，
，则斜边为10，
即，
综上所述：该直角三角形的面积为30或24．