人教版九年级数学上册试题 第二十二章《二次函数》单元检测卷（含详解）

第二十二章《二次函数》单元检测卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
4．若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4
6．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．

A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
7．已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
8．二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在 ABC中，∠B=90°，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ．
12．若是的二次函数，则 ．
13．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是 ．
14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）．
15．已知二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足，则下列结论：①；②若，当时，y随x的增大而减小；③若有一个根是大于m的负数，则；④，其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，观察图中的二次函数图象可得：
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当x______时，y随x的增大而减小．
(3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C．
(1)求k的值．
(2)求点C的坐标．
(3)直接写出当x在何范围时，．
18．一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分的高度为，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子处达到距水平面最高，且最高为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)当时，求函数值y的取值范围．
(3)当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是________．
20．学科实践
【驱动任务】为喜迎“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品进入了销售旺季，某校综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目式学习．
【研究步骤】
数据收集：综合实践小组以某款每束进价30元的鲜花礼品为研究对据象展开调查，收集到附近五家花店近期销售相关信息，记录如下表：
花店 售价（元/束） 日销售量（束）
（1）数据整理：请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价/（元/束）
日销售量/（束）
（2）数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，并确定日销售量与售价之间的关系；
【问题解决】
（3）根据以上信息，在销售该款花卉时，
①要想每天获得2000元的利润，应该如何定价？
②当售价为多少时，每天获得利润最大？最大利润是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接．点是上方抛物线上一点，过点作轴的平行线，交于点，分别过两点作轴的平行线，交抛物线的对称轴于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在抛物线对称轴左侧时，求四边形的周长的最大值；
（3）当四边形为正方形时，求的值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
(1)若，则a______0（填“>”或“<”）；
(2)若，求此时二次函数的解析式；
(3)当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
23．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标；
(3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）．
参考答案
一：选择题
1．C
【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．A
【详解】解：的顶点坐标为，
故选：．
3．C
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得．
故选C．
4．C
【详解】解：对于二次函数，
，
该二次函数的图象开口向上．
又∵点，均在该二次函数的图象上，且，
，即线段的中点的横坐标大于1，
又∵，
点A到对称轴的距离较近，
对称轴在直线的左侧，
，
．
故选：C．
5．D
【详解】解：根据得顶点坐标是， ，
∴抛物线开口向下；
故A，B错误；
令，得，
∴图象与轴交点的坐标是；
故C错误；
令，得，
解得，
∴，
故D正确，
故选D．
6．C
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题可得二次函数图象过，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得（舍去），
∴这一过程需要的时间大约是15秒钟，
故选C．
7．D
【详解】解：∵由抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线交y的正半轴，
∴，
∴，
∴①正确；
∵点和都在抛物线上，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴②③正确；
∵当时， ，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
所以④正确．
故选：D．
8．B
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，
∵，
∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴，即，①正确；
∵顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定，
∴②③④都不正确；
∵，且图象开口向下，对称轴为直线，
∴点和点到对称轴的距离都大于1，
∴点和点的距离都大于2，即正确，故⑤正确．
故选：B．
9．D
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴在原点的右边，
∴，
∴，，
∴，
∴①正确；
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
∴③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
解得，故②正确；
∵时函数取最小值，
且
当时，
函数，
故；
∴，
∴，
∴，故⑤错误；
故选D．
10．C
【详解】解：由题意可得：，，
则，
则的面积，
故的面积随出发时间的函数图象是开口向下的抛物线．
故选：C．
二：填空题
11．
【详解】解：∵如图抛物线和直线在同一直角坐标系中
∴将两函数关系式联立可得：
，
解得：，，
由图象可得：时，的取值范围是：．
故答案为：．
12．3
【详解】解：是关于的二次函数，
，
解得或（舍去），
故答案为：3．
13．
【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为，
则这个花园的面积是：，
∴当时，S取得最大值，此时，
故答案为：．
14．①③④
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，
∴当时， ，
∴，所以②错误；
∵时，二次函数有最大值，
∴m为任意实数时， ，
∴，即，所以③正确；
∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
即，
而，
∴，解得，所以④正确．
故答案为：①③④．
15．②④
【详解】解：把代入得：，
∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足，
∴当时，二次函数图象，如图所示：
根据图象可知：当时，，
∴，
当时，二次函数图象，如图所示：
根据图象可知：当时，，
∴，故①错误；
∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴，
∴若，当时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵二次函数与x轴的两交点的横坐标为m，n，
∴二次函数，
可变为，
∴的解可看作直线与交点坐标的横坐标，
∴方程的解也是方程的解，
∵有一个根是大于m的负数，
∴方程有解，
即方程有解，
∴，
整理得：，故③错误；
∵，
∴，，
∴
，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上分析可知：正确的有②④．
故答案为：②④．
三、解答题
16．（1）解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，
设抛物线的解析式为：，
∵二次函数与x轴的一个交点为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）当时，y随x的增大而减小；
（3）当时，y达到最大值9．
17．（1）解：在中，当时，解得或，
∴，
把代入中得：，解得；
（2）解：由（1）可得，
联立，解得或，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当或时，．
18．（1）解：由题意，顶点为，
可设解析式为，
∵抛物线过点．
∴，
解得．
抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）抛物线的解析式为，
令，
．
或（舍去）．
，
当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流不会落到池外．
四、解答题
19．（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，对称轴为：，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数取得最小值：；
当时，函数取得最大值：；
∴函数值y的取值范围为：；
（3）解：∵时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，对称轴为：，
∴时的图象在对称轴的两侧，
∴，当时：；
∵抛物线关于对称，，
∴当时的函数值与的函数值相等，
∵时，y的最大值为7，
∴．
故答案为：．
20．解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
售价/（元/束） 40 45 50 55 60
日销售量/（束） 140 120 100 80 60
（2）如下图：
观察表格中的数据的变化规律可知日销售量是售价的一次函数；
（或通过图中点的位置发现，这些点都在一条直线上，所以日销售量是售价的一次函数）
设销售量为束，售价为元，，
把，代入得：
解得，
；
（3）①当每天获得2000元的利润时，，
解得：或，
答：要想每天获得2000元的利润，定价为50元或55元；
②设每天获得的利润元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值2025，
售价定为元时，每天能够获得最大利润2025元．
21.解：（1）当时，，
∴，
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线与轴分别交于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线BC的解析式为，
把，代入得：，解得
，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，而，
∴四边形的周长，
∴当时，四边形的周长有最大值，最大值为．
（3）当时，，
当时，四边形为正方形，即，
整理得：，
解得：（舍去），，
当时，，
若时，四边形为正方形，即，
整理得：，
解得：（舍去），；
∴当或时，四边形为正方形．
五、解答题
22．（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，
二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
∵-1，
∵，
，
∵存在，使得成立，
∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，
∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
23．（1）解：令，；令，，
，，
依题意得，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意得，，，
，，
∵点G为的三等分点，
或，
当时，，解得，（舍去）；
当时，，解得，（舍去）；
当时，；
当时，．
点M的坐标为或
（3）解：∵另，，解得，
∴，
∵线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段，
∴，，且直线，
令，整理得，
其判别式为，，
①当，即时，直线与抛物线无交点；
②当，即时，直线与抛物线只有一个交点，此交点在线段上；
③当，即时，直线与抛物线有两个交点．
解方程得，
结合函数图象的性质可知，
若时，抛物线与线段只有一个交点，；
若时，抛物线与线段有两个交点，．
综上所述，当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2．