人教版九年级数学上册试题 第二十三章《旋转》单元检测卷（含详解）

第二十三章《旋转》单元检测卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
3．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．如图所示，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O，点F的坐标是，则点N的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．把抛物线绕原点旋转后所得的图象的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将以点A为旋转中心逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为D、E．当点D落在边上时，交于点F，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ．
12．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，若，则四边形的面积为 ．
13．在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ．
14．如图，四边形中，，则四边形的面积为 ．
15．如图，中，，，，，M为直线上的一个动点，如图作得到线段且，则的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，在小正方形组成的网格中（每一小格为1个单位长度）， 和 的顶点都在格点上．根据图形解答下列问题：
(1)将 向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的
(2)将 绕点 D 逆时针旋转 ，画出旋转后的
(3)判定 与 是否关于某点成中心对称？若是，画出对称中心点 M．
17．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
18．中，，，将绕点A逆时针旋转后至．
(1)求的度数；
(2)若，线段与，分别交于、，求的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在中，，将绕点沿顺时针旋转得到，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，当四边形是平行四边形时，求的长．
20．如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．

(1)在图1中，______；
(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
21．如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数；
(3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标；
(3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标．
23．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当不与点重合时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接、，设点运动了，
(1)点的运动过程中，线段与的数量关系是______，请以图情形为例（当点在线段上时，点与点不重合），说明理由，
(2)当时，如图，周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由．
(3)当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时的值．
参考答案
一：选择题
1．D
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．C
【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称，
则①这两个图形一定全等，此结论正确；
②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确；
③对称点到对称中心的距离相等，此结论正确；
④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误；
故选：C．
3．A
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴；
故选A．
4．C
【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：

②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误；
③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：

故正确的有：①③
故选C．
5．A
【详解】解：∵的两条对角线交于原点O，
∴，
则点N和点F，关于原点成中心对称，
∵点F的坐标是，
∴点N的坐标为，
故选：A
6．B
【详解】解：由抛物线可知，抛物线的顶点坐标是，其关于原点对称的坐标为
故绕原点旋转后得到的图象为：.
故选B．
7．A
【详解】解：由题意得，平移前，
∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
8．C
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．A
【详解】解：如图，过作于，
由，，
，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
∴A到的距离为1．
故选：A．
10．D
【详解】解：在上截取，连接，过B作交延长线于H，则，
由旋转性质得，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，，
∵，，，
∴，，
∴ ，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
故选：D．
二：填空题
11．1
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：1．
12．
【详解】解：如图，连接．
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
13．
【详解】解：设，
∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，
∴即，
∵把点绕点旋转得到点，
∴，，
解得，，
∴
故答案为：
14．
【详解】解：∵CD=CB，∠DAB=∠BCD=90°，
∴将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，
由旋转的性质可得
∴,，，，
∵∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠D+∠ABC=180°，∠DCA+∠ACB=90°
∴∠CBE+∠ABC=180°，∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°
∴A、B、E三点共线，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
过点E作于点G，
根据垂线段最短，得当点M与点G重合时，取得最小值，
∵，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：与成中心对称，如图所示，点即为对称中心．
17．（1）解：轴对称图形如图1所示；
（2）解：轴对称图形如图2所示．
18．（1）解：∵，，
∴，
由旋转知：，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
由旋转知，，，
∴，，
∴，，，
∴，
得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
四、解答题
19．（1）解：连接．
∵将绕点沿顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
．
，，
．
．
在中，
，
．
（2）四边形是平行四边形，
．
．
，
．
．
由勾股定理，可求得．
，
．
20．（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴
，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
21．（1）解：是等腰直角三角形.
理由：由旋转的性质，得，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
由旋转的性质，得，
∴，
又∵ 四边形的内角和为，，
；
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
由（）知
①若，则 ，
解得；
②若，则1 ，
解得；
③若，则 ，
解得；
综上，当为或或时，为等腰三角形．
五、解答题
22．（1）解：在中，当时，，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入中得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：如图所示，作点C关于x轴的对称点H，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
∴点M即为直线与x轴的交点，
同理可得直线的解析式为，
在中，当时，，
∴；
（3）解：当把线段绕点逆时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作y轴的垂线，垂足分别为H、G，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得，
∴
当把线段绕点顺时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、G，
同理可证明，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得，
∴；
综上所述，或．
23．（1）解：，理由如下：
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：存在，当时，
由（1）知，，
，
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
∴是等边三角形，
，
，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴根据三线合一可知：，
∴根据勾股定理可知：，
的最小周长；
（3）解：存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时，由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
根据解析（1）可知：此时，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴中只能，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
；
当时，点D在上运动，不可能是直角三角形．
如图，当时，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中只能，
此时，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
综上所述：当或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形．