人教版九年级数学上册试题 第二十一章《一元二次方程》单元检测卷（含详解）

第二十一章《一元二次方程》单元检测卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
2．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+4）2＝3 C．（x+2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣5
3．若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2016 B．2017 C．2014 D．2019
4．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
6．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
8．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为 ．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
14．已知，则 ．
15．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ．
16．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ．
17．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．）
18．解方程
(1) (2) (3) (4)
19．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．
20．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
21．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
22．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个根分别为，，且，求k的值．
24．如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，的长度等于？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
25．阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
参考答案
一：选择题
1．B
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
2．A
【详解】∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x= 1，
∴x2+4x+4= 1+4，
∴(x+2) 2=3.
故选A.
3．C
【详解】解：a，b是方程的两根，
，
，
故选：C．
4．C
【详解】解：，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故选C．
5．C
【详解】设道路的宽应为x米，由题意有
（100-x）（80-x）=7644，
故选：C．
6．C
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
7．D
【详解】解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
8．B
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：B．
9．B
【详解】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
10．D
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
根据题意，得，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
，
∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故选：D．
二：填空题
11．
【详解】解：是一元二次方程，
且，
解得：且，
，
原不等式为：，即
∴，
故答案为：．
12．且
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
13．3
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
14．3．
【详解】解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
15．
【详解】解：设，
则原方程可化为，
∵关于x的一元二次方程的解为，
∴，
∴或，
解得．
故答案为：．
16．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
17．-3或29
【详解】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得
，
两式相加得，
即，
所以或
解得或
又因为
所以；或者，
故或29．
故答案为-3或29
三、解答题
18．（1）∵,∴, ∴，
解得：，；
（2）∵，∴ ,即，
两边开平方得， ，
解得：，；
（3）移项得，，因式分解得，，∴或，
解得：，；
（4）这里，，，∴，∴，解得：，．
19．（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
（2）解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
20．（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
21．（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
22．（1）解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得：，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
（2）解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得：，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
23．（1）∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴方程有两个实数根；
（2）设方程的两个根分别为，，
则，，
∵，
∴
解得，．
24．（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，的长等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于 ABC面积的，
的面积等于 ABC面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于 ABC面积的，的值为2．
25．（1）解：，
设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，解得：，，
当时，，解得：，，
∴原方程的解为，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵实数，满足：，且，
当时，，解关于的一元二次方程，
得：，
∴；
当时，则、是方程的两不相等的实数根，
∴，，
∴；
∴的值为或或．