人教版九年级数学上册试题 24.3 《正多边形和圆》同步练习（含详解）

24.3 《正多边形和圆》同步练习
一、单选题
1.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）
A．3 B．12 C．4π D．12π
2.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
4.如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6.如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
7.如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（ ）

A． B． C． D．
10.如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为
12.如图，正五边形内接于，则的度数为 ．
13.由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为
14.如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．

15.如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ．
三、解答题
16.如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
17.如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
18.在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．

(1)如图①，求证：点H，G三等分．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：是①所作圆的切线．
19.如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动．
(1)图①中，______，图②中，______，图③中，______；
(2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）．
20.如图，正六边形内接于．

(1)若是上的动点，连接，求的度数；
(2)已知的面积为．
求的度数；
求的半径．
21.如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
22.如图，正方形内接于，M为弧中点，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求的度数．
23.如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．
(1)求的度数；
(2)求线段的长；
(3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．
24.如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、．
(1)图①中的度数是_____；
(2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____；
(3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____．
参考答案
一、单选题
1.B
【详解】如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为 ，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：B．
2.C
【详解】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故选：C．
3.A
【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：A
4.C
【详解】连接、，设交于点G，
∵正六边形中，，，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正三角形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5.D
【详解】解：正五边形内接于，
，
四边形是内接四边形，
，
，
故选：D．
6.A
【详解】解：连接，
依题意，
∵，
∴
故选：A．
7.D
【详解】解：如图，连接，
∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D
8.C
【详解】解：连接，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9.B
【详解】解：如图，连接，，，
则，°，
，
则．
故选:B．

10.B
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题
11.九
【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
12.
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴,
故答案为：．
13.
【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1，
∴小正六边形的面积为：
，
故答案为：．
14.
【详解】解：如图，连接，

∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵正五边形的外接圆为，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∴；
故答案为：．
15.
【详解】连接、，
∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16.（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
17.（1）如图所示，在取一点，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
18.（1）证明：在圆内接正六边形中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形，
∴．
∴点H，G三等分．
（2）①解：如图，即为所求作．

②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴．
∴是①所作圆的切线．
19.（1）解：图①中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是正三角形，
∴，
∴，
同理图②中，，
，
图③中，，
，
故答案为：；；；
（2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角，
∵正n边形的每一个内角等于，
．
20.（1）如图所示，在取一点，连接 ，

∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
21.（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22.（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵M为弧的中点，
∴，
∴．
23.（1）解：如图1，连接，
正六边形为的内接正六边形，
是的直径，，
，
；
（2）与相切，是的直径，
，
正六边形为的内接正六边形，
，
在中，，
；
（3）正六边形为的内接正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24.（1）解：如图1中，连接．
，
分别为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图②，连接，
为正方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
；
如图③，连接，
为正五边方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
，
故答案为：，；
（3）在图①中，，
在图②中，，
在图③中，，
故在正n边形中，的度数为，
故答案为：．