人教版九年级数学上册试题 第二十四章《圆》单元检测卷（含详解）

第二十四章《圆》单元检测卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )

A． B． C． D．
8．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 m．

12．如图，在正六边形中，连接，则 度．
13．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．

14．如图，是半圆的直径，是弦，点为上一点，以点为圆心，为半径的半圆交于另一点，与相切于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
17．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
18．如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．
20．如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
21．如图1，已知是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图2，若恰好经过圆心，求的度数．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
23．如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结
(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2)若四边形的面积为求直线的函数关系式；
(3)抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一：选择题
1．C
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．

中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
2．D
【详解】解：连接，
是直径，
，
，
，
是的中点，
．
故选：D．
3．C
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
4．C
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
5.C
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
6．B
【详解】解：如图取中点O，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
7．C
【详解】解：五边形是正五边形，
，
切，于点M，N，
，
又五边形的内角和为，
，
，
故选C．
8．B
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．
9．D
【详解】解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
10．A
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a )，B(b，b )，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴，
∴，
即，
，
设AB的解析式为：，代入A(a，a )，
解得：，
∴，
∵，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为，
故选：A．
二：填空题
11．4
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
12．30
【详解】
连接BE，交CF与点O，连接OA，
在正六边形中，
，
，
故答案为：30．
13．66
【详解】解：连接，如图所示：

∵是的直径，且是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：66．
14．
【详解】如图，连接
是切线
．
故答案为：．
15．8
【详解】设点O为的中点，由题意可知，点E在以为直径的半圆O上运动，
作半圆O及线段关于的对称图形（半圆），点O的对称点为，点E的对称点为，
连接，，则，
易知当点D，P，，共线时，的值最小，为的长，
如图所示，
在中，，，
∴
又∵
∴，即的最小值为8
三、解答题
16．（1）证明：∵，且过圆心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直径是．
17．（1）解：方法不唯一，如图所示．

（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
18．（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
四、解答题
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴;
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，,
∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，
∴的度数时135°．
20．（1）证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
21．（1），理由为：
证明：点、点在⊙上，
，
又 ，
，
；
（2）
如图，连接，
，，
直径，
，
，
又 ，
，
又 是⊙的直径，，
．
（3）
如图，连接，
是⊙的直径，，
，
，
恰好经过圆心，
，
，
．
五、解答题
22．（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
23．（1）解：因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线与轴交于点
∴
∴
所以，抛物线的函数关系式为：
又
因此，抛物线的顶点坐标为
（2）连结
∵是的两条切线，
∴∴
又四边形的面积为∴∴
又∴
因此，点的坐标为或
当点在第二象限时，切点在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
过切点作垂足为点
∴
因此，切点的坐标为
设直线的函数关系式为将的坐标代入得
解之，得
所以，直线的函数关系式为
当点在第三象限时，切点在第四象限.
同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为
因此，直线的函数关系式为
或
（3）若四边形的面积等于的面积
又
∴
∴两点到轴的距离相等，
∵与相切，∴点与点在轴同侧，
∴切线与轴平行，
此时切线的函数关系式为或
当时，由得，
当时，由得，
故满足条件的点的位置有4个，分别是