2025-2026学年上海七宝中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知全集，集合，则________．
2．函数的定义域为________．
3．已知常数且，则函数必过定点________．
4．计算：________．
5．若，，则的取值范围是________．
6．设，则方程的解集为________．
7．用有理数指数幂表示（其中）：________．
8．已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数________．
9．已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为________．
10．已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是________．
11．已知实数、满足，，则的值为________．
12．已知表示、、中最大的数，若，．则的最小值为________．
二、选择题（共4小题，共18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设、是实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．下列选项中，是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，则函数与的图像可能是（ ）
16．设集合，，，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．当能被分成两个交集为空集的“破晓集”，且这两个“破晓集”的并集恰为时，的最大值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
三．解答题（共5小题，共78分）
17．（第（1）题6分，第（2）题8分，共14分）
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（第（1）题6分，第（2）题8分，共14分）
已知不等式①，②，其中是实数．
（1）若1是不等式②的一个解，求实数的取值范围；
（2）证明：不等式①、②中至多有一个恒成立．
19．（第（1）题6分，第（2）题8分，共14分）
为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研．调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况．
研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓．
若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为则当运动时长（即未运动）时，（表示回复效果与未运动时一致）．
以下是调研收集到的部分数据：
0 10 30
1 1.5 1.7
（1）请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：
①；②；③．
（2）某个篮球场开放时间：1800-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟）
20．（第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分，共18分）
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若、、…、，，、…、为正实数，则，当且仅当时等号成立．若、、都是正实数，且．
（1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；
（提示：即证）
（2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值；
（3）证明：．
21．（第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分，共18分）
已知函数，，若对于定义域内任意实数、，不等式都成立，则称函数是函数，
（1）判断狄利克雷函数是否是函数，并说明理由；
（2）若函数，是函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数（且），证明：“函数是函数”的充要条件是“”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知实数、满足，，则的值为________．
【答案】
【解析】已知实数满足，
在中显然，两边同除以得，
又因为，且由可得，
和是关于的方程的两个不同实数根.
所以，
故.故答案为：．
二、选择题
13.A 14.A 15.B 16.B
15．已知，则函数与的图像可能是（ ）
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以与的单调性相同，选B．
16．设集合，，，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．当能被分成两个交集为空集的“破晓集”，且这两个“破晓集”的并集恰为时，的最大值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，
设和为两个不相交的破晓集，使.
不妨设，则由于，所以，即3，同理可得，．
又推出，但，这与为破晓集相矛盾，
再证满足要求，
当时，，可以分成2个破晓集的并集，
事实上，只要取，
则和都是破晓集，且．
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分为下列2个破晓集的并：，，
当时，集合中，除整数外，
剩下的数组成集合，
可以分为下列2个破晓集的并：，，
最后，集合，中的数的分母都是无理数,它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，
则和是不相交的破晓集，且．综上，的最大值为14．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1）选③， （2）20到40分钟
20．【答案】（1）证明略 （2）1 （3）证明略
21．【答案】（1）不是 （2） （3）证明略