2025-2026学年上海杨浦高级中学高三上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

杨高2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则______．
2.不等式的解集为______．
3.若，则______．
4.已知向量，满足，则m的值为______．
5.若，则______．
6.已知的二项展开式中常数项为60，则实数______．
7.已知是公差不为0的差数列的前n项和，且，，成等比数列，则______．
8.若正数x，y满足，则的最小值是______．
9.已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______．
10.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
11.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角满足，在斜坡AB上的B处测得满足，已知斜坡AB与地面的夹角为满足，，，则浮雕CD的高度（上下沿之间的距离）为______．
12.已知平面向量，，，，其中，为单位向量，且，若，向量满足，则对于任意满足条件的向量，，的最小值
是______．
二、单选题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分准满分18分）
13.若l，m是两条不同的直线，m平行于平面，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组（每名学生必须且只加入一个小组），则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ）
A. B. C. D.
15.若，，则（ ）
A.1 B. C. D.0
16.在梭长为1的正方体中放入一个球体（A、B、C、D在同一平面，、垂直平面ABCD），使之恰与平面ABCD、平面、平面、平面均相切，则其半径长为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区城内写出必要的步骤，满分78分）．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：
（1）求该公司员工年龄的平均数和第25百分位数；
（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件A，所抽取员工年龄在区间内为事件B，判断事件A与B是否互相独立，并说明理由．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求面积的最大值．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，，，且．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E．
（1）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（2）在线段BD上是否存在一点F，使得平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A，B在椭圆E上，的周长为6，C为AB的中点，O为坐标原点，直线OA，OC，AB的斜率分别为k，，，且．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：为定值；
（3）求面积的最大值．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（ⅰ）满分6分，（ⅱ）满分8分）
已知函数．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角满足，在斜坡AB上的B处测得满足，已知斜坡AB与地面的夹角为满足，，，则浮雕CD的高度（上下沿之间的距离）为______．
【答案】
【解析】过作于点，则四边形是矩形，
在Rt中，，所以，
在Rt中，，所以，
所以，
所以，
在Rt中，
，而，所以，
所以．
12.已知平面向量，，，，其中，为单位向量，且，若，向量满足，则对于任意满足条件的向量，，的最小值
是______．
【答案】
【解析】根据题意，设，
因为与夹角为，所以，
整理得，即向量对应的轨迹为射线或，
因为向量满足，所以，
即向量对应的轨迹为抛物线：，则即为上的点与射线或上的点之间的距离，如图，
当最小值时，对应的点在上，
设直线，由图可知，
当直线与相切时，切点设为，
此时最小，联立方程，得，
由得，则，解得，
故，则到射线的距离为，
所以的最小值为．
二、选择题
13.B 14.C 15.A 16.B
15.若，，则（ ）
A.1 B. C. D.0
【答案】A
【解析】根据诱导公式，则可化为①．
对，可得，即②
设，其定义域为R，关于原点对称．
且，所以是奇函数．
对求导，，
若，所以；
若，则，所以在R上单调递增．
由①式可得，由②式可得，所以．
因为是奇函数，所以．
又因为在R上单调递增，所以，即．
将代入，可得．的值为1．
16.在梭长为1的正方体中放入一个球体（A、B、C、D在同一平面，、垂直平面ABCD），使之恰与平面ABCD、平面、平面、平面均相切，则其半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
在正方体中，平面，
因为平面，
根据线面垂直的性质可知．
又因为四边形是正方形，所以．
由于，且平面，所以平面．
而平面，根据线面垂直的性质可知．
在正方体中，平面，
因为平面，可知．
又因为四边形是正方形，所以．
由于，且平面，所以平面．
而平面，根据线面垂直的性质可知．
因为，且平面，所以平面．
取截面，设平面，球的球心为，
由对称性：，则到平面的距离为，过作，垂足为，
设，所以，
则Rt，则，即，解得：，
即半径长为
三、解答题
17.（1） （2）相互独立
18.（1） （2）
19.（1） （2）存在，
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A，B在椭圆E上，的周长为6，C为AB的中点，O为坐标原点，直线OA，OC，AB的斜率分别为k，，，且．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：为定值；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1） （2）证明见解析， （3）
【解析】（1）因为的周长为6，所以，
又，所以，故，所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设，
则，
所以，即，
得，因为，所以，
又，所以，为定值．
（3）由（2）知，所以．由题可得直线的方程为，
将与联立，消去并整理得，所以，
则．
因为，所以直线的方程为，即，
又，所以直线的方程为，与联立，
消去并整理得，
则，
所以
故的面积为
令，则，，
当，即时取等号，因此面积的最大值为．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（ⅰ）满分6分，（ⅱ）满分8分）
已知函数．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）
【解析】（1）若为偶函数，有恒成立，则，
若为奇函数，有恒成立，则，
故时为偶函数，时为奇函数，
且时既不是奇函数也不是偶函数；
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则，
令可得或，所以，解得且．
令，则有：
可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
（ii）由，可得，
所以且有，
由题意可得对恒成立，
由于此时，则，
所以，则，
令，其中，
则，
令，则．
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即时，
设方程的两根分别为且，
则，则，
则当时，，则在上单调递减，
所以当时，，即，不合题意．
综上所述，的取值范围是．